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19．4　函数的初步应用
知识点1　函数的初步应用
1．(河北衡水武邑县月考)如图所示的容器内装满水后，打开容器底部的出水孔，水从小孔匀速地流出直至全部流完，在这一过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是(A)
2．某城市出租车的起步价为10元(即行驶距离在4千米及以内付10元车费)，超过4千米后，每行驶1千米加3元(不足1千米按1千米计).小张在该市乘出租车从甲地到乙地，支付车费28元，问从甲地到乙地的路程最多有几千米？(B)
A．11 B．10 C．9 D．8
3．(山东菏泽东明县期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→A→B→C→D→P运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是(D)
A． B．
C． D．
4．(四川遂宁大英县期末)某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I(A)与电阻R(Ω)的函数表达式为I＝.当R＝12 Ω时，I的值为4A.
5．(河北秦皇岛卢龙县期中)根据图中的程序，当输入x＝2时，输出结果y＝2．
易错易混点　对圆周上运动对应的函数图象选择错误
6．(黑龙江牡丹江开学)如图，点A，B是以点O为圆心的圆上两点，若点P沿O→A→B→O路线匀速运动，则能反映点P与点O之间的距离y与行驶时间x之间函数关系图象的是(C)
点P从点O到点A，随着时间的增加，P到O的距离越来越大，当点P从点A到点B，随着时间的增加，P到O的距离不变，当点P从点B到点O，随着时间的增加，P到O的距离越来越小，由于点P匀速运动且OA＝OB，综上选C.
7．(河南中考)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是(C)
图1　 图2
A.当P＝440 W时， I＝2 A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1 A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
8．如图①所示，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，函数图象如图②所示，则△ABC的面积为16．
由题图可知BC＝4，CD＝5，AD＝5.如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，由题意知∠B＝90°，∠C＝90°，∴DE＝BC＝4，BE＝DC＝5，在直角三角形AED中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE＋EB＝3＋5＝8，∴S△ABC＝AB×BC＝×8×4＝16.
9．(河北唐山滦南县期末)如图1，点E为矩形ABCD中AD边的中点，点P从点A出发，沿A→E→B以2 cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间t(s)变化的函数图象，
图1 图2
(1)∠A＝90°；
(2)点C到AD的距离是6_cm．
(3)a的值为4．
(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°；
(2)∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴当点P在边AE上运动时，y的值不变，∴AE＝2a.
∵点E为矩形ABCD中AD边的中点，∴BC＝AD＝2AE＝4a，×4a·AB＝12a，解得AB＝6，∴CD＝6，即点C到AD的距离是6 cm；
(3)当点P在EB上运动时，y逐渐减小，∴EB＝5×2＝10.
在Rt△ABE中，AE2＋AB2＝BE2，∴(2a)2＋62＝102，解得a＝4.
【母题P55习题B组T4】某市规定如下用水收费标准，当每户每月的用水量不超过10 m3时，水费按a元/立方米收费；当超过10 m3时，不超过的部分仍按a元/立方米收费，超过的部分按c元/立方米(c>a)收费．该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如下表所示：
月份 用水量/m3 水费/元
3月 8 36
4月 12 58
(1)求a，c的值．
(2)设某户1个月的用水量为x(m3)，应交水费为y(元).
①分别写出用水量不超过10 m3和超过10 m3时，y与x之间的函数关系式．
②已知一户5月份的用水量为14 m3，求该户5月份的水费．
(1)由3月份的用水量和水费，可知a＝＝4.5.
由4月份的用水量和水费，可知10×4.5＋(12－10)c＝58，所以c＝6.5.
(2)①当x≤10时，y＝4.5x.
当x>10时，y＝4.5×10＋6.5(x－10)，即y＝6.5x－20.
②当x＝14时，y＝6.5×14－20＝71.
答：该户5月份的水费为71元．
【变式】某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠.
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元．
由题意，知付款480元，实际标价为480元或480×＝600(元)，付款520元，实际标价为520×＝650(元)，
①当小红买标价为480元，她母亲买标价为650元时，总买标价480＋650＝1 130(元)，应付款800×0.8＋(1 130－800)×0.6＝838(元).
②当小红买标价为600元，她母亲买标价为650元时，总买标价600＋650＝1 250(元)，应付款800×0.8＋(1 250－800)×0.6＝910(元).
答：她们总共只需付款838元或910元．
10.(抽象能力&应用意识)(山东青岛南区期中)某数学兴趣小组在一组课题学习活动中以“钟表上时针与分针的重合时刻”为课题展开了研究．
【问题提出】如图①是某钟表，图②是该钟表的简
化平面示意图，设时针、分针所在直线在同一平面内，直线l表示钟表的数轴线．在1：00～1：15之间求时针与分针的重合时刻．
【问题探究】设钟表中心为O，表示“12”的点为A，表示“1”的点为B，表示“3”的点为C，表示“6”的点为D，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路：建立函数关系的方法求解．
(1)设自变量x和因变量y：设1：00后再经过x min(0≤x≤15)，时针、分针分别与OA所成夹角度数为y1°，y2°，直接写出y1，y2关于x的关系式；
【问题解决】(2)请按照小颖的思路解答此问题；
【问题拓展】(3)求该钟表在1：15～1：30之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻．
图①
　　
图②
(1)y1＝30＋x；y2＝6x.
(2)根据题意，得6x＝30＋x，解得x＝.
答：在1：00到1：15之间时针与分针重合时刻为1时分．
(3)根据题意，得6x＝30＋x＋90，解得x＝.
答：在1：15到1：30之间时针与分针所在直线互相垂直的时刻为1时分．19．4　函数的初步应用
知识点1　函数的初步应用
1．(河北衡水武邑县月考)如图所示的容器内装满水后，打开容器底部的出水孔，水从小孔匀速地流出直至全部流完，在这一过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是( )
2．某城市出租车的起步价为10元(即行驶距离在4千米及以内付10元车费)，超过4千米后，每行驶1千米加3元(不足1千米按1千米计).小张在该市乘出租车从甲地到乙地，支付车费28元，问从甲地到乙地的路程最多有几千米？( )
A．11 B．10 C．9 D．8
3．(山东菏泽东明县期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→A→B→C→D→P运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是( )
A． B．
C． D．
4．(四川遂宁大英县期末)某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I( )与电阻R(Ω)的函数表达式为I＝.当R＝12 Ω时，I的值为 A.
5．(河北秦皇岛卢龙县期中)根据图中的程序，当输入x＝2时，输出结果y＝ ．
易错易混点　对圆周上运动对应的函数图象选择错误
6．(黑龙江牡丹江开学)如图，点A，B是以点O为圆心的圆上两点，若点P沿O→A→B→O路线匀速运动，则能反映点P与点O之间的距离y与行驶时间x之间函数关系图象的是( )
7．(河南中考)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是( )
图1　 图2
A.当P＝440 W时， I＝2 A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1 A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
8．如图①所示，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，函数图象如图②所示，则△ABC的面积为 ．
9．(河北唐山滦南县期末)如图1，点E为矩形ABCD中AD边的中点，点P从点A出发，沿A→E→B以2 cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间t(s)变化的函数图象，
图1 图2
(1)∠A＝ °；
(2)点C到AD的距离是 _ ．
(3)a的值为 ．
【母题P55习题B组T4】某市规定如下用水收费标准，当每户每月的用水量不超过10 m3时，水费按a元/立方米收费；当超过10 m3时，不超过的部分仍按a元/立方米收费，超过的部分按c元/立方米(c>a)收费．该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如下表所示：
月份 用水量/m3 水费/元
3月 8 36
4月 12 58
(1)求a，c的值．
(2)设某户1个月的用水量为x(m3)，应交水费为y(元).
①分别写出用水量不超过10 m3和超过10 m3时，y与x之间的函数关系式．
②已知一户5月份的用水量为14 m3，求该户5月份的水费．
【变式】某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠.
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元．
10.(抽象能力&应用意识)(山东青岛南区期中)某数学兴趣小组在一组课题学习活动中以“钟表上时针与分针的重合时刻”为课题展开了研究．
【问题提出】如图①是某钟表，图②是该钟表的简
化平面示意图，设时针、分针所在直线在同一平面内，直线l表示钟表的数轴线．在1：00～1：15之间求时针与分针的重合时刻．
【问题探究】设钟表中心为O，表示“12”的点为A，表示“1”的点为B，表示“3”的点为C，表示“6”的点为D，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路：建立函数关系的方法求解．
(1)设自变量x和因变量y：设1：00后再经过x min(0≤x≤15)，时针、分针分别与OA所成夹角度数为y1°，y2°，直接写出y1，y2关于x的关系式；
【问题解决】(2)请按照小颖的思路解答此问题；
【问题拓展】(3)求该钟表在1：15～1：30之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻．
图①
　　
图②

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