资源简介

21．2　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形及其边角性质
知识点1?　平行四边形的有关定义
1．如图所示，在 ABCD中，AC，BD相交于O点，则 ABCD有 条对角线，是线段 ，点O是 ABCD的 ．
2．如图所示，AB∥GH∥DC，AD∥EF∥BC，EF交GH于点O.图中有几个平行四边形？请你写出它们的名称．
知识点2?　平行四边形边的对称性
3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对角线的交点O与原点重合，若顶点B(－1，－2)，则点D的坐标为 ．
知识点3?　平行四边形边的性质
4．(福建漳州期末)已知平行四边形相邻两边的长分别是3，5，则它的周长是( )
A．8 B．15 C．16 D．20
5．(河北保定安新县期末)如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为( )
A．15 B．11 C．20 D．52
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D在BC边上，以BD，BA为边作 BAED，则DE的长度为 .　
知识点4?　平行四边形角的性质
7．(河北张家口张北县期末)如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC延长线上一点，若∠BAD＝130°，则∠DCE的度数为( )
A．50° B．80° C．100° D．130°
易错易混点　忽视分类讨论出错
8．(黑龙江牡丹江阳明区月考)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A(0，2)，B(1，0)，BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D′的坐标为 ．
9．(河北保定市莲池区月考)如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝10，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，则EF长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．(河北唐山路南区月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则四边形ABCD的周长为 .
11．(吉林白山期末)已知：如图，E，F分别为 ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF.
【母题P116B组T4】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，DE的延长线与AB的延长线相交于点F.求证：B为AF的中点．
【变式】(河北承德期末)如图，已知在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数．
12．(模型意识&几何直观)(河北沧州运河区校级月考)如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于点F.
(1)若∠F＝24°，求∠A的度数；
(2)直接写出图中所有等腰三角形；
(3)若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求BE的长．
第2课时　平行四边形的对角线性质
知识点　平行四边形的对角线性质
1．(河北唐山路北区期末)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，图中一定相等的线段有( )
A.1对 B．2对
C．3对 D．4对
2．(河北邢台南宫市期末)如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝12，则△BOC的周长为( )
A．8 B．9 C．12 D．15
3．(河北唐山路南区月考)在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是( )
A．3≤AB≤4 B．2C．14．(四川达州期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AC＝6，AB⊥AC，则BD＝ ．
易错易混点　考虑不全面致错
5．(陕西模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，则图中的全等三角形共是( )
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
6．(湖南邵阳洞口县校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．5
7．(河北邯郸丛台区月考)如图， 在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE, 若△ABE的周长为15, 则 ABCD的周长为 .
8.(创新意识)(河南驻马店确山县期末)如图，在平行四边形ABCD中，E在AD边上，且DE＝CD，仅用无刻度的直尺作图并保留作图痕迹，不写画法．
(1)在图1中，画出∠C的平分线，并说明理由；
(2)沿用(1)中解决问题的思路并结合平行四边形的性质，在图2中，画出∠BAD的平分线，并说明理由．
图1 　图221．2　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形及其边角性质
知识点1?　平行四边形的有关定义
1．如图所示，在 ABCD中，AC，BD相交于O点，则 ABCD有2条对角线，是线段AC，BD，点O是 ABCD的中心．
2．如图所示，AB∥GH∥DC，AD∥EF∥BC，EF交GH于点O.图中有几个平行四边形？请你写出它们的名称．
图中有9个平行四边形，分别是 AEOG， BEOH， DGOF， CFOH， ABHG， ADFE， BCFE， DCHG， ABCD.
知识点2?　平行四边形边的对称性
3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对角线的交点O与原点重合，若顶点B(－1，－2)，则点D的坐标为(1，2)．
知识点3?　平行四边形边的性质
4．(福建漳州期末)已知平行四边形相邻两边的长分别是3，5，则它的周长是(C)
A．8 B．15 C．16 D．20
5．(河北保定安新县期末)如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为(A)
A．15 B．11 C．20 D．52
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D在BC边上，以BD，BA为边作 BAED，则DE的长度为2.　
知识点4?　平行四边形角的性质
7．(河北张家口张北县期末)如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC延长线上一点，若∠BAD＝130°，则∠DCE的度数为(A)
A．50° B．80° C．100° D．130°
易错易混点　忽视分类讨论出错
8．(黑龙江牡丹江阳明区月考)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A(0，2)，B(1，0)，BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D′的坐标为(3，－3)或(－1，3)．
如图，连接BD，过点D作DE⊥BC于点E.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵A(0，2)，B(1，0)，BC＝4，∴AD＝BC＝4，
∴点D(4，2)，∴DE＝2，BE＝3.
若将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°，过点D′作D′F⊥BC于点F，∴BD＝BD′，∠DBD′＝90°＝∠DEB＝∠D′FB，
∴∠DBE＋∠D′BE＝90°＝∠DBE＋∠BDE ，∴∠BDE＝∠D′BE，
∴△DBE≌△BD′F(AAS)，
∴DE＝BF＝2，D′F＝BE＝3，∴点D′(3，－3).
若将平行四边形ABCD绕点B逆时针旋转90°，过点D″作D″N⊥BC于点N，同理可求D″(－1，3).
9．(河北保定市莲池区月考)如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝10，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，则EF长为(A)
A．2 B．3 C．4 D．5
10．(河北唐山路南区月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则四边形ABCD的周长为12.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC.
∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝6，
∴ ABCD的周长＝2×6＝12.
11．(吉林白山期末)已知：如图，E，F分别为 ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE＝CF.
【母题P116B组T4】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，DE的延长线与AB的延长线相交于点F.求证：B为AF的中点．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠FBE＝∠DCE.∵BE＝CE，∠FBE＝∠DCE，∠BEF＝∠CED，
∴BF＝CD，∴△BEF≌△CED，∴BF＝AB.
∵A，B，F三点共线，∴点B为AF的中点．
【变式】(河北承德期末)如图，已知在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC ，∴∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC ，
∴∠DEC＝∠EDC ，∴CD＝CE；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠C＝110°，∴∠B＝180°－110°＝70°.
∵BE＝CE，CE＝CD，∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝(180°－70°)÷2＝55°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝110°－55°＝55°.
12．(模型意识&几何直观)(河北沧州运河区校级月考)如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于点F.
(1)若∠F＝24°，求∠A的度数；
(2)直接写出图中所有等腰三角形；
(3)若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求BE的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE＝∠F＝24°.
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABC＝2∠ABE＝48°，
∴∠A＝180°－∠ABC＝180°－48°＝132°，
∴∠A的度数是132°.
(2)△ABE，△CBF，△DEF.
理由：∵∠AEB＝∠CBE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，∴△ABE为等腰三角形；
∵∠F＝∠ABE＝∠CBE，
∴CB＝CF，∴△CBF为等腰三角形；
∵∠F＝∠CBE＝∠DEF，∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
(3)∵CE⊥AD，∴∠BCE＝∠CED＝90°.
∵CD＝AB＝AE＝5，AD＝BC＝8，
∴DE＝AD－AE＝8－5＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴BE＝＝＝4，
∴BE的长为4.
第2课时　平行四边形的对角线性质
知识点　平行四边形的对角线性质
1．(河北唐山路北区期末)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，图中一定相等的线段有(D)
A.1对 B．2对
C．3对 D．4对
2．(河北邢台南宫市期末)如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝12，则△BOC的周长为(B)
A．8 B．9 C．12 D．15
3．(河北唐山路南区月考)在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是(C)
A．3≤AB≤4 B．2C．14．(四川达州期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AC＝6，AB⊥AC，则BD＝10．
易错易混点　考虑不全面致错
5．(陕西模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，则图中的全等三角形共是(C)
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
∵四边形ABCD为平行四边形，其对角线相互平分，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，∠DAO＝∠BCO.
又∠AOB＝∠COD，∠AOD＝∠COB，∠AOE＝∠COF，
∴△AOB≌△COD(SSS)，△AOD≌△COB(SSS)，△AOE≌△COF(ASA)，△DOE≌△BOF(ASA)，△ABC≌△CDA(SSS)，△ABD≌△CDB(SSS)，故图中的全等三角形共有6对．
6．(湖南邵阳洞口县校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为(A)
A．4 B．6 C．8 D．5
如图，连接CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，OA＝OC.
∵OE⊥AC，∴CE＝AE＝4.
∵DE＝3，AB＝5，
∴CE2＋DE2＝CD2，
∴△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AC＝＝＝4.
7．(河北邯郸丛台区月考)如图， 在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE, 若△ABE的周长为15, 则 ABCD的周长为30.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△ABE的周长为15，∴AB＋BE＋AE＝15.
∵OE⊥BD，∴OE是线段BD 的垂直平分线，∴BE＝ED，∴AB＋BE＋AE＝AB＋AD＝15，∴ ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2×15＝30.
8.(创新意识)(河南驻马店确山县期末)如图，在平行四边形ABCD中，E在AD边上，且DE＝CD，仅用无刻度的直尺作图并保留作图痕迹，不写画法．
(1)在图1中，画出∠C的平分线，并说明理由；
(2)沿用(1)中解决问题的思路并结合平行四边形的性质，在图2中，画出∠BAD的平分线，并说明理由．
图1 　图2
(1)如图1，∵DE＝DC，
图1
∴∠DEC＝∠DCE.
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠BCE，
即CE平分∠BCD，则CE为所求作．
(2)如图2，延长EO交BC于点F，则AF为所求作．
图2
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OD＝OB，AB＝CD，
∴∠EDO＝∠FBO，∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE(ASA).
又∵DE＝CD，∴BF＝DE＝CD＝AB，
∴∠BAF＝∠BFA＝∠FAD，
则AF是所求作的角平分线．

展开更多......

收起↑