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21．3　平行四边形的判定
第1课时　由边的关系判定平行四边形
知识点1?　两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是(D)
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
2．(河北沧州盐山县校级模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A．AB＝BC B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠B＋∠C＝180°
知识点2?　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．(河北邯郸成安县期末)根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是(C)
A． B．
C． D．
4．(陕西西安雁塔区期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向D点运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝1或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
由已知梯形，当点Q运动到点E和点B之间，设运动时间为t，则得2t－＝3－t，解得t＝，当点Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得－2t＝3－t，解得t＝1，故当运动时间t为1或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝∠B.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
在△DAC和△BCA中，
∴△DAC≌△BCA，∴AD＝BC.即AD綊BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
易错易混点　误以为一组对边平行另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠A＝55°.则∠C的度数为(C)
A．55° B．35°
C．55°或125° D．35°或145°
如图①，过点B作BN∥CD交DA于点N.
　　　图①
∵AD∥BC，∴四边形BCDN是平行四边形，∴BN＝CD.
∵AB＝CD，∴AB＝BN，∴点A与点N重合，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝55°；
如图②，过点B作BM∥CD交AD于点M.
图②
∵AD∥BC ，∴四边形BCDM是平行四边形，∴MB＝CD，∠C＝∠BMD.
∵AB＝CD，∴AB＝MB，∴∠AMB＝∠A＝55°，∴∠BMD＝180°－55°＝125°，∴∠C＝125°，∴∠C的度数是55°或125°.
7．(河北石家庄裕华区期末)如图，在 ABCD中，要在对角线BD上找两点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，
甲：只需要满足BF＝DE，
乙：只需要满足AE＝CF，
丙：只需要满足AE∥CF，
则正确的方案是(B)
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.
甲：∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，
∴四边形 AECF为平行四边形，故甲正确；
乙：由AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能使四边形AECF为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEB＝∠CFD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故丙正确．
8．(浙江衢州柯城区校级期中)在平面直角坐标系中，有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，2)，C(x，2)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝－2或4.
9．(江苏盐城盐都区三模)如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求 ABCD的周长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵AE＝CF，∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE.
∵DE为∠ADC的平分线，∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝3，
∴AB＝AE＋EB＝3＋2＝5，
∴ ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2×(5＋3)＝16.
【母题P123习题A组T3】已知：如图，BD是 ABCD的对角线，点E和点F在BD上，且BE＝DF.
求证：四边形AECF是平行四边形．
连接AC交BD于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式】(河北廊坊霸州市期末)如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，连接BE，BF，DE，DF，∠BEF＝∠DFE.
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若∠BEF＝90°，AB＝3，AD＝4，AE＝1，求EF的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD.
∵∠BEF＝∠DFE，
∴△BCE≌△DAF(AAS)，∴BE＝DF.
∵∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
(2)∵∠BEF＝90°，∴∠BEA＝90°，
∴BE＝＝＝2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，∴EC＝＝＝2.
∵△BCE≌△DAF，∴EC＝FA＝2，
∴AE＝CF＝1，
∴EF＝EC－CF＝2－1.
10．(空间观念)(河北保定易县期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， ∠B＝45°，BC＝10, 过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
(1)若PE⊥BC，求BQ的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(1)作AM⊥BC于点M，设AC交PE于点N.如图所示．
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，
∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5.
∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°.
∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5－t.
∵CE＝CQ－QE－2t－2，
∴5－t＝2t－2，解得t＝，
∴BQ＝BC－CQ＝10－2×＝；
(2)存在，t＝4或12.理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10－2t＋2或t＝2t－2－10，解得t＝4或12，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12.
第2课时　由边、对角线的关系判定平行四边形
知识点1?　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．(河北唐山路南区期末)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(C)
2．下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A．∠A＝∠B，∠C＝∠D
B．AB＝AD，BC＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB∥CD，AD＝BC
3．(福建泉州鲤城区校级期末)如图，已知∠B＝∠E＝90°，点B，C，F，E在一条直线上，AC＝DF，AB＝DE.求证：四边形ACDF是平行四边形．
∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，∴BC＝EF.
∵点B，C，F，E在一条直线上，
∴BC＋CF＝EF＋CF，∴BF＝EC.
在△ABF和△DEC中，
∴△ABF≌△DEC(SAS)，∴AF＝DC.
又∵AC＝DF，∴四边形ACDF是平行四边形．
知识点2?　两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．(山东泰安泰山区期末)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A．OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝CD, AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OC
D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
易错易混点　对平行四边形的判定方法掌握不牢导致判断错误
5．(河北唐山乐亭县期末)如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是(C)
A．∠1＝∠2 B．AD＝BC
C．OA＝OC D．AD＝AB
6．(河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝ AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB＝ AC，∴∠ABC＝∠3.
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴①________．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB(②________)，
∴MD＝ MB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①②应分别为(D)
A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA
7．(内蒙古巴彦淖尔磴口县月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，∠ADC＝30°，则以下结论正确的是①②③(填序号).
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是10＋2；
④四边形ACEB的面积是16.
①∵ ∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴∠ACD＝∠CDE＝90°，∴AC∥DE.∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC＝EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC＝2，∠ADC＝30°，∠ACD＝90°，∴AD＝4，∴CD＝＝＝2.∵四边形ACED是平行四边形，∴CE＝AD＝4.∵CE＝EB，D是BC的中点，∴EB＝4，BC＝2CD＝2×2＝4，∴AB＝＝＝2，∴四边形ACEB的周长＝2＋4＋4＋2＝10＋2，故③正确；
④四边形ACEB的面积＝×2×4＋×4×2＝8，故④错误；综上所述，结论正确的是①②③.
8．(河北邯郸魏县期末)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)请写出BE与CD的数量关系BE＝CD；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
(3)若BF⊥AE，∠BEA＝60°， AB＝4，则BF的长是2．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∴BE＝CD；
(2)由(1)知BE＝AB，∵BF平分∠ABE，
∴AF＝EF.
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(ASA)，∴DF＝CF.
又∵AF＝ EF，∴四边形ACED是平行四边形；
(3)由(1)知BE＝AB，又∵∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝4.
∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝AE＝2.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝＝＝2.
【母题P127习题B组T5】
已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA的中点，H是OC的中点．求证：四边形EGFH是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DO＝BO，OA＝OC，
∴∠ADO＝∠CBO.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，∴OE＝OF.
又∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG＝OA，OH＝OC，∴OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【变式】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在线段BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
求证：四边形AECD是平行四边形．
在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD(ASA)，∴OE＝OD.
又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形．
9．(几何直观&模型意识)(河北沧州泊头市期末)在①AE＝CF；②DE＝BF；③DE∥BF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，①或③(填写序号).
求证：四边形DEBF是平行四边形．
选择①AE＝CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
选择③DE∥BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB.
∵DE∥BF
∴∠DEO＝∠BFO，
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(AAS)，∴DE＝BF.
∴四边形DEBF是平行四边形．21．3　平行四边形的判定
第1课时　由边的关系判定平行四边形
知识点1?　两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
2．(河北沧州盐山县校级模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝BC B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠B＋∠C＝180°
知识点2?　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．(河北邯郸成安县期末)根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
4．(陕西西安雁塔区期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向D点运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝∠B.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
易错易混点　误以为一组对边平行另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠A＝55°.则∠C的度数为( )
A．55° B．35°
C．55°或125° D．35°或145°
7．(河北石家庄裕华区期末)如图，在 ABCD中，要在对角线BD上找两点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，
甲：只需要满足BF＝DE，
乙：只需要满足AE＝CF，
丙：只需要满足AE∥CF，
则正确的方案是( )
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
8．(浙江衢州柯城区校级期中)在平面直角坐标系中，有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，2)，C(x，2)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝ .
9．(江苏盐城盐都区三模)如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求 ABCD的周长．
【母题P123习题A组T3】已知：如图，BD是 ABCD的对角线，点E和点F在BD上，且BE＝DF.
求证：四边形AECF是平行四边形．
【变式】(河北廊坊霸州市期末)如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，连接BE，BF，DE，DF，∠BEF＝∠DFE.
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若∠BEF＝90°，AB＝3，AD＝4，AE＝1，求EF的长．
10．(空间观念)(河北保定易县期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， ∠B＝45°，BC＝10, 过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
(1)若PE⊥BC，求BQ的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第2课时　由边、对角线的关系判定平行四边形
知识点1?　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．(河北唐山路南区期末)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
2．下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A＝∠B，∠C＝∠D
B．AB＝AD，BC＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB∥CD，AD＝BC
3．(福建泉州鲤城区校级期末)如图，已知∠B＝∠E＝90°，点B，C，F，E在一条直线上，AC＝DF，AB＝DE.求证：四边形ACDF是平行四边形．
知识点2?　两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．(山东泰安泰山区期末)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝CD, AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OC
D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
易错易混点　对平行四边形的判定方法掌握不牢导致判断错误
5．(河北唐山乐亭县期末)如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是( )
A．∠1＝∠2 B．AD＝BC
C．OA＝OC D．AD＝AB
6．(河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝ AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB＝ AC，∴∠ABC＝∠3.
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴①________．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB(②________)，
∴MD＝ MB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①②应分别为( )
A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA
7．(内蒙古巴彦淖尔磴口县月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，∠ADC＝30°，则以下结论正确的是 (填序号).
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是10＋2；
④四边形ACEB的面积是16.
8．(河北邯郸魏县期末)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)请写出BE与CD的数量关系 ；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
(3)若BF⊥AE，∠BEA＝60°， AB＝4，则BF的长是 ．
【母题P127习题B组T5】
已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA的中点，H是OC的中点．求证：四边形EGFH是平行四边形．
【变式】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在线段BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
求证：四边形AECD是平行四边形．
9．(几何直观&模型意识)(河北沧州泊头市期末)在①AE＝CF；②DE＝BF；③DE∥BF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上， (填写序号).
求证：四边形DEBF是平行四边形．

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