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21．4　三角形的中位线
知识点1?　三角形的中位线
1．如图，△ABC的中线BE，CF相交于点O，AO的延长线交BC于点D.下列说法：①AD是△ABC的中线；②DE是△ABC的中位线；③DF是△ABC的中位线．其中正确的说法是①②③．
知识点2?　三角形的中位线定理
2．(河北沧州青县校级月考)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是(D)
A．8 B．10 C．12 D．14
3.(河北张家口桥西区期末)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝8 m，则AB的长是(B)
A．14 m B．16 m C．18 m D．20 m
4．(河北石家庄期中)在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为300米．
易错易混点　运用三角形的中位线定理不灵活
5．(山东威海环翠区期末)如图，F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝ 80°，则∠GHF＝(A)
A．25° B．30° C．35° D．40°
∵F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，∴FG，GH分别是△ABD，△BDC的中位线，∴GF＝AB且GF∥AB，GH＝CD且GH∥CD ，∴∠FGD＝∠ABD＝30°，∠BGH＝∠BDC＝80°，∴∠HGE＝180°－80°＝100°，∴∠FGH＝130°.又∵AB＝CD，∴GF＝GH，∴∠GHF＝∠GFH＝×(180°－∠FGH)＝25°.
6．(河北沧州南皮县期末)如图，在四边形ABCD中，M是AD上一动点，N是CD上一定点，E，F分别是BM，NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是(C)
A．线段EF的长度逐渐减小
B．线段EF的长度逐渐增大
C．线段EF的长度不变
D．线段EF的长度不能确定
7．(河北邯郸丛台区月考)如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，E为AH的中点，F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为(D)
A．2 B． C．1 D．
如图，连接AG.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝180°－120°＝60°.
∵E，F分别是AH，GH的中点，∴EF是△AGH的中位线，∴EF＝AG.
当AG最小时，EF有最小值，当AG⊥BC时，AG最小，则∠BAG＝30°，此时BG＝AB＝1，AG＝BG＝，
∴EF＝AG＝，即EF的最小值是.
8．(河北张家口宣化区期中)如图，在△ABC中，AB＝10 cm，动点P在AB边上从点A开始向终点B运动，则线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为5cm.
如图，取AC的中点M，BC的中点N，连接MN.
当动点P和点A重合时，则点Q与点M重合，当动点P和点B重合时．则点Q与点N重合，由三角形中位线定理可知MN＝AB＝5 cm.
由题意可知线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路径即为线段MN，∴线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为5 cm.
【母题P130练习T2】如图，EF为△ABC的中位线，BD平分∠ABC，交EF于点D，AB＝4，BC＝6，求DF的长．
∵EF是△ABC的中位线，AB＝4，BC＝6，
∴EF＝BC＝3，EF∥BC，BE＝AB＝2.
∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.
∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE＝2，
∴DF＝EF－DE＝1.
【变式】(河北邯郸临漳县期末)如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.
(1)求证：BN＝DN；
(2)求△ABC的周长．
(1)∵AN平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°.
在△ABN和△ADN中，
∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN.
(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10.
又∵M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，
∴CD＝2MN＝6，故△ABC 的周长＝AB＋BC＋CD ＋AD＝10＋15＋6＋10＝41.
9.(几何直观&创新意识)(河北石家庄桥西区期末)【三角形中位线定理】
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图2，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG.
求证：AC＝BD.
图1 图2 图3
【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC.
图1
【应用】如图1所示，连接BD，
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°.
∵BC＝5，CD＝3，BD＝4，
∴BD2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°.
【拓展】如图2，取DC的中点H，连接MH，NH.
图2
∵M，H分别是AD，DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MH＝AC.
同理可得NH∥BD且NH＝BD.
∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF.
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，　
∴∠HMN＝∠HNM，∴MH＝NH，∴AC＝BD.21．4　三角形的中位线
知识点1?　三角形的中位线
1．如图，△ABC的中线BE，CF相交于点O，AO的延长线交BC于点D.下列说法：①AD是△ABC的中线；②DE是△ABC的中位线；③DF是△ABC的中位线．其中正确的说法是 ．
知识点2?　三角形的中位线定理
2．(河北沧州青县校级月考)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
3.(河北张家口桥西区期末)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝8 m，则AB的长是( )
A．14 m B．16 m C．18 m D．20 m
4．(河北石家庄期中)在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 米．
易错易混点　运用三角形的中位线定理不灵活
5．(山东威海环翠区期末)如图，F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝ 80°，则∠GHF＝( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．(河北沧州南皮县期末)如图，在四边形ABCD中，M是AD上一动点，N是CD上一定点，E，F分别是BM，NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是( )
A．线段EF的长度逐渐减小
B．线段EF的长度逐渐增大
C．线段EF的长度不变
D．线段EF的长度不能确定
7．(河北邯郸丛台区月考)如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，E为AH的中点，F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为( )
A．2 B． C．1 D．
8．(河北张家口宣化区期中)如图，在△ABC中，AB＝10 cm，动点P在AB边上从点A开始向终点B运动，则线段CP的中点Q从开始到停止所经过的路线长为 cm.
【母题P130练习T2】如图，EF为△ABC的中位线，BD平分∠ABC，交EF于点D，AB＝4，BC＝6，求DF的长．
【变式】(河北邯郸临漳县期末)如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.
(1)求证：BN＝DN；
(2)求△ABC的周长．
9.(几何直观&创新意识)(河北石家庄桥西区期末)【三角形中位线定理】
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图2，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG.
求证：AC＝BD.
图1 图2 图3

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