资源简介

21．5　矩　形
第1课时　矩形及其性
知识点1?　 矩形的对称性
1．矩形是轴对称图形，它有 条对称轴．
2．矩形是中心对称图形，其对称中心是 ．
知识点2?　矩形的角的性质
3．(河北衡水桃城区期末)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28° C．62° D．56°
4．(河北唐山路北区校级月考)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝120°，则∠2＝( )
A.60° B．45°
C．40° D．50°
知识点3?　矩形的对角线性质
5．(河北沧州泊头市期末)下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．任意两个邻角互补 D．对角线相等
6．(河北秦皇岛卢龙县期末)已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝ ．
易错易混点　点的位置不确定而导致漏解
7．(河北秦皇岛青龙县期末)矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积是( )
A．4 cm2 B．6 cm2
C．12 cm2 D．4 cm2或12 cm2
8．已知四边形ABCD是矩形，E是矩形ABCD边上的点，且EA＝EC.若AB＝3，AC＝，则DE的长度为 ．
9．(河北石家庄长安区期末)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，以点O为原点建立平面直角坐标系，AC所在直线为y轴，AB＝2，∠ABD＝60°，则点C的坐标为( )
A.(0，－2) B．(0，2)
C．(0，－) D．(0，－1)
10．(河北张家口万全区期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝6，AB＝3.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点D在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点A始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AD的中点，连接OM，CM.下列判断正确的是( )
结论Ⅰ：在移动过程中，OC的最大值为3＋3；
结论Ⅱ：当∠ODA＝45°时，四边形OMCD是平行四边形．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确
B．结论Ⅰ、Ⅱ都错误
C．只有结论Ⅰ正确
D．只有结论Ⅱ正确
11．(四川成都双流区期中)如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PA，PC.若BE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为 .
【母题P135T5】
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.求PE＋PF的值．
【变式】(内蒙古呼伦贝尔鄂伦春旗期末)如图，矩形ABCD的面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则PE＋PF＝( )
A．4 　　　　B．5　　　　C．8　　　　D．10
12.(空间观念)(广西北海期末)几何与探究
　 　
图1 图2 图3
【初步感知】(1)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，EC＝3，求BC的长；
【深入探究】(2)如图2，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，求AE的长；
【拓展延伸】(3)如图3，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在边AB上，点Q在边BC上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处．若DQ⊥PQ，连接DE.当DQ＝DE时，求BQ的长．
第2课时　矩形的判定
知识点1?　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.(河北石家庄栾城区校级期末)在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，求证：BO＝AC.　
证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD.
…
∴AC＝BD＝2OB，
∴BO＝AC.
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：
①∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵∠ABC＝90°；
③∵OA＝OC，OB＝OD；
④∴平行四边形ABCD是矩形．
则正确的顺序为( )
A．③①②④ B．③②①④
C．②③①④ D．②①③④
2．(河北保定曲阳县期末)如图，在 ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形.
知识点2?　有三个角是直角的四边形是矩形
3．(安徽黄山期中)在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形．下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个内角是否都为直角
4．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，请你添加一个条件： ，就可以判定四边形ABCD是矩形．
知识点3?　对角线相等的平行四边形是矩形
5．在 ABCD中，添加一个条件： ，就可以判定 ABCD是矩形．
6．(福建南平建阳区期中)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OC，点E，F分别为线段OB，OD的中点，连接AE，EC，CF，FA，求证：四边形AECF是矩形．
易错易混点　对矩形的判定方法掌握不牢固导致出错
7．下列说法中：
(1)四个角都相等的四边形是矩形．
(2)两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．
(3)对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．
(4)一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形．
正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC　
D．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°
9．(河北石家庄一模)依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( )
　
10．(四川雅安中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 .
11．(河北石家庄赵县期末)如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点(不与点A，C重合)，过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA，∠DCA的平分线交于点E，F.
(1)OE与OF相等吗？证明你的结论．
(2)试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
12．(空间观念)(内蒙古通辽开鲁县期末)如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．21．5　矩　形
第1课时　矩形及其性
知识点1?　 矩形的对称性
1．矩形是轴对称图形，它有2条对称轴．
2．矩形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点．
知识点2?　矩形的角的性质
3．(河北衡水桃城区期末)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为(D)
A．31° B．28° C．62° D．56°
4．(河北唐山路北区校级月考)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝120°，则∠2＝(A)
A.60° B．45°
C．40° D．50°
知识点3?　矩形的对角线性质
5．(河北沧州泊头市期末)下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(D)
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．任意两个邻角互补 D．对角线相等
6．(河北秦皇岛卢龙县期末)已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝2．
易错易混点　点的位置不确定而导致漏解
7．(河北秦皇岛青龙县期末)矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积是(D)
A．4 cm2 B．6 cm2
C．12 cm2 D．4 cm2或12 cm2
如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE.
①当AE＝1 cm时，AB＝1 cm＝CD，AD＝1＋3＝4(cm)＝BC，此时矩形的面积是1×4＝4(cm2).
②当AE＝3 cm时，AB＝3 cm＝CD，AD＝4 cm＝BC ，
此时矩形的面积是3×4＝12(cm2).
综上所述这个矩形的面积为4 cm2或12 cm2.
8．已知四边形ABCD是矩形，E是矩形ABCD边上的点，且EA＝EC.若AB＝3，AC＝，则DE的长度为或．
如图，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC，
∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝1，∴AD＝1.
当点E在CD上时，∵AE2＝ DE2＋AD2＝EC2，
∴(3－DE)2＝DE2＋1，∴DE＝；
当点E′在AB上时，∵CE′2＝BE′2＋BC2＝E′A2，∴AE′2＝(3－AE′)2＋1，∴AE′＝，
∴DE′＝＝＝，
综上所述，DE＝或.
9．(河北石家庄长安区期末)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，以点O为原点建立平面直角坐标系，AC所在直线为y轴，AB＝2，∠ABD＝60°，则点C的坐标为(A)
A.(0，－2) B．(0，2)
C．(0，－) D．(0，－1)
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵∠ABD＝60°，
∴△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝OC＝2，∴点C的坐标为(0，－2).
10．(河北张家口万全区期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝6，AB＝3.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点D在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点A始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AD的中点，连接OM，CM.下列判断正确的是(D)
结论Ⅰ：在移动过程中，OC的最大值为3＋3；
结论Ⅱ：当∠ODA＝45°时，四边形OMCD是平行四边形．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确
B．结论Ⅰ、Ⅱ都错误
C．只有结论Ⅰ正确
D．只有结论Ⅱ正确
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°.
∵M是AD的中点，AD＝6，
∴AM＝DM＝OM＝3，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴CM＝CD＝3，∴OC≤OM＋CM，
即当O，M，C三点共线时，OC有最大值，
此时，OC＝OM＋CM＝3＋3，
∴结论Ⅰ错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，△CDM是等腰直角三角形，
∴∠CMD＝45°，CM＝CD＝3.
∵∠ODA＝45°，∴∠ODA＝∠CMD，
∴CM∥OD.
∵∠ODA＝45°，∠AOD＝90°，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴OD＝OA＝AD＝3，∴OD＝CM，
∴四边形OMCD是平行四边形，故结论Ⅱ正确．
11．(四川成都双流区期中)如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PA，PC.若BE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为12.
作PM⊥AD于点M，交BC于点N.如图，
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴CF＝BE＝2，
∴S△ABD＝S△CDB，S△MPD＝S△DFP，
S△EBP＝S△NPB，
∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF.
∵S△AEP＝S△AMP，S△CFP＝S△CNP，
∴S△AEP＝S△CFP＝×PF×CF＝×6×2＝6，
∴图中阴影部分的面积S阴＝6＋6＝12.
【母题P135T5】
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.求PE＋PF的值．
如图，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB＝OD，S△AOD＝S矩形ABCD＝3.
∵AB＝3，AD＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝5.
∴OA＝OD＝OB＝.
∵S△AOD＝3，S△AOD＝S△AOP＋S△DOP，
∴·AO·PE＋·OD·PF＝3.
∵OA＝OD＝，∴PE＋PF＝.
【变式】(内蒙古呼伦贝尔鄂伦春旗期末)如图，矩形ABCD的面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则PE＋PF＝(A)
A．4 　　　　B．5　　　　C．8　　　　D．10
12.(空间观念)(广西北海期末)几何与探究
　 　
图1 图2 图3
【初步感知】(1)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，EC＝3，求BC的长；
【深入探究】(2)如图2，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，求AE的长；
【拓展延伸】(3)如图3，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在边AB上，点Q在边BC上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处．若DQ⊥PQ，连接DE.当DQ＝DE时，求BQ的长．
(1)∵AC＝8，EC＝3，∴AE＝AC－EC＝5.
由折叠，可知BE＝AE＝5.
∵∠C＝90°，CE＝3，
∴ BC＝＝＝4.
(2)由折叠，可知∠CBD＝∠C′BD.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠CBD＝∠ADB，∴∠C′BD＝∠ADB，
∴BE＝DE.
设AE＝x，∴BE＝DE＝8－x.
∵AE2＋AB2＝BE2，即x2＋62＝(8－x)2 ，
解得x＝，∴AE＝.
(3)过点D作DG⊥EQ于点G，如图3，
图3
∴∠C＝∠DGQ＝90°.
∵DQ⊥PQ，
∴∠PQE＋∠DQG＝90°，
∴∠BQP＋∠DQC＝90°.
∵∠BQP＝∠PQE，∴∠DQG＝∠DQC.
∵DQ＝DQ，∴△DQG≌△DQC(AAS)，
∴CQ＝GQ.
∵DQ＝DE，DG⊥EQ，∴EQ＝2GQ＝2CQ，
∴BQ＝EQ＝2CQ，∴2CQ＋CQ＝8，解得CQ＝，∴BQ＝.
第2课时　矩形的判定
知识点1?　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.(河北石家庄栾城区校级期末)在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，求证：BO＝AC.　
证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD.
…
∴AC＝BD＝2OB，
∴BO＝AC.
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：
①∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵∠ABC＝90°；
③∵OA＝OC，OB＝OD；
④∴平行四边形ABCD是矩形．
则正确的顺序为(A)
A．③①②④ B．③②①④
C．②③①④ D．②①③④
2．(河北保定曲阳县期末)如图，在 ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠FDB＝∠CDB，∠EBD＝∠ABD，
∴∠FDB＝∠EBD，∴DF∥BE.
∵AD∥BC，DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形．
∵AB＝DB，BE平分∠ABD，∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DFBE是矩形．
知识点2?　有三个角是直角的四边形是矩形
3．(安徽黄山期中)在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形．下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是(D)
A．测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个内角是否都为直角
4．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，请你添加一个条件：∠B＝90°或∠D＝90°或∠B＝∠D等(答案不唯一)，就可以判定四边形ABCD是矩形．
知识点3?　对角线相等的平行四边形是矩形
5．在 ABCD中，添加一个条件：∠A＝90°或AC＝BD(答案不唯一)，就可以判定 ABCD是矩形．
6．(福建南平建阳区期中)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OC，点E，F分别为线段OB，OD的中点，连接AE，EC，CF，FA，求证：四边形AECF是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA，OD＝OB.
∵点E，F分别为线段OB，OD的中点，
∴OB＝2OE，OD＝2OF，∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵OB＝2OC，∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴OA＋OC＝OE＋OF，即AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
易错易混点　对矩形的判定方法掌握不牢固导致出错
7．下列说法中：
(1)四个角都相等的四边形是矩形．
(2)两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．
(3)对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．
(4)一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形．
正确的个数是(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是(C)
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC　
D．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°
9．(河北石家庄一模)依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(A)
　
10．(四川雅安中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为3.
如图，连接CP.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
∴AB＝＝＝6.
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴DE＝CP.
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，在Rt△ACB中，AP＝BP，
∴CP＝AB＝3，
∴DE的最小值为3.
11．(河北石家庄赵县期末)如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点(不与点A，C重合)，过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA，∠DCA的平分线交于点E，F.
(1)OE与OF相等吗？证明你的结论．
(2)试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
(1)相等．证明：∵直线l∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB.
∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，
∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，
同理OF＝OC，∴OE＝OF.
(2)当O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
证明：∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵OE＝OF＝OC＝OA，∴AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
12．(空间观念)(内蒙古通辽开鲁县期末)如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
(1)∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.
∵MN∥BC，∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ACE＝∠OEC，∴OE＝OC.
同理，可得OC＝OF，∴OE＝OF；
(2)∵CE，CF分别平分∠ACB和∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，
∴∠ACE＋∠ACF＝∠BCD＝×180°＝90°，
∴EF＝＝＝13.
由(1)，知OE＝OF，∴点O为EF的中点，
∴OC＝EF＝6.5，即OC的长为6.5；
(3)当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
当点O为AC中点时，OA＝OC，
由(1)，可知OC＝OE＝OF，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，且OA＋OC＝OE＋OF，
即AC＝EF，
∴平行四边形AECF为矩形．

展开更多......

收起↑