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21．6　菱　形
第1课时　菱形及其性质
知识点1?　菱形的对称性
1．菱形是轴对称图形，它有2条对称轴．
2．菱形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点．
知识点2?　菱形的性质
3．(河北邢台任泽区期末)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为(B)
A．24 B．16 C．8 D．6
4．(河北邯郸大名县期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝64°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为(B)
A．58° B．122° C．148° D．154°
5．(河北唐山路北区期末)如图，BD是菱形ABCD的对角线．
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若∠1＝20°，求∠C的度数．
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
∴∠1＝∠2.
(2)由(1)，知∠1＝∠2＝20°，
∴∠A＝180°－∠1－∠2＝140°.
∵四边形 ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝140°.
知识点3?　菱形的面积
6．(河北石家庄新华区期末)如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝12 cm，BD＝8 cm，则菱形ABCD的面积为(B)
A．40 cm2 B．48 cm2
C．64 cm2 D．96 cm2
7．(河北石家庄桥西区期末)如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的面积为8.
8．(河北秦皇岛卢龙县期末)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为12．
易错易混点　点的位置不确定导致漏解
9．(河北保定曲阳县期末)在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE的度数为30°或60°．
如图，
在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝∠ABC＝40°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝100°.∵△ABE是等腰三角形且E不与B，D重合，∴AE＝BE或AB＝BE.当AE＝BE时，如图．
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°－40°＝60°；当AB＝BE′时，如图．∴∠BAE′＝∠AE′B＝(180°－40°)＝70°，∴∠DAE′＝100°－70°＝30°.综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°.
10．(河北石家庄裕华区校级开学)如图是一个铭丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成，寓意优胜，优美和同心．若两个菱形的对角线分别为8 cm和6 cm，重叠部分是一个面积为6 cm2的菱形，则这个图案的总面积为(A)
A．42 cm2 B．48 cm2
C．54 cm2 D．60 cm2
11．(河北中考)如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝(C)
A．42° B．43° C．44° D．45°
如图，延长BG，交l2于点I.
∵∠ADE＝146°，
∴∠ADB＝180°－∠ADE＝34°.
∵∠α＝∠ADB＋∠AHD，　
∴∠AHD＝∠α－∠ADB＝50°－34°＝16°.
∵l1∥l2，∴∠GIF＝∠AHD＝16°.
∵△EFG是等边三角形，∴∠EGF＝60°.
∵∠EGF＝∠β＋∠GIF，
∴∠β＝∠EGF－∠GIF＝60°－16°＝44°.
12．(河北石家庄裕华区期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝10，BD＝5，则EF的最小值为．
如图，连接OP.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝5，BO＝BD＝，
∴AB＝＝.
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP.∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小．∵S△ABO＝OA·OB＝AB·OP，∴OP＝＝＝，∴EF的最小值为.
13．(浙江中考)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE＝AF.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD＝180°.而∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°.
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，AE＝AF.
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.
【母题P143T5】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝BC，连接CE.
(1)求证：BD＝EC.
(2)求证：S菱形ABCD＝S△AEC.
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥BE，BC＝DC.∵BC＝BE，∴DC＝BE，
∴四边形DBEC是平行四边形，∴BD＝EC.
(2)∵DC∥AE，
∴点D到AB的距离与点C到AE的距离相等，记该距离为h.
∵DC＝AB，DC＝BE，∴AB＝BE，
即AE＝2AB.
∵S菱形ABCD＝AB·h，S△AEC＝AE·h，
∴S菱形ABCD＝S△AEC.
【变式】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，点F，G分别为边AD，DC的中点，连接FG，若EF＝6.5，FG＝12，求菱形ABCD的面积．
如图，连接AC，BD，AC和BD相交于点O.
∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.
∵点F为AD的中点，EF＝6.5，
∴AD＝2EF＝13.
∵FG＝12，点F，G分别为边AD，DC的中点，
∴AC＝2FG＝24.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝12，
∴OD＝＝＝5.
∴BD＝10，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×24×10＝120.
14．(几何观念)(重庆两江新区期末)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，M，N分别是AD，AB上的动点，且△CMN为等边三角形，则△AMN面积的最大值为．
如图，连接AC，过点C作CG⊥AD于点G，CH⊥MN于点H，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，
∴AD＝CD＝AB＝4，∠DCG＝30°，∠DAC＝∠BAC＝60°，∴△ADC是等边三角形，DG＝CD＝2，CG＝＝2，
∴S△ADC＝AD·CG＝×4×2＝4，
∴AD＝CD＝AB＝AC＝4，∠ACD＝60°，
∵△CMN 为等边三角形，
∴CM＝MN＝CN，∠NCM＝∠CMN＝∠CNM＝60° ，
∴∠DCM＝60°－∠ACM＝∠ACN.
在△DCM和△ACN中，
∴△DCM≌△ACN(SAS)，
∴S△DCM＝S△ACN，S△DCM＋S△ACM＝S△ACN＋S△ACM，
∴S△ADC＝S四边形ANCM＝S△AMN＋S△CMN，
∴S△AMN＝S△ADC－S△CMN，S△AMN＝4－S△CMN.
∵△CMN为等边三角形，∴CM＝MN＝CN，∠NCM＝∠CMN＝∠CNM＝60°，
∴∠MCH＝30°，
∴MH＝CM，CH＝＝CM，
∴S△MNC＝MN，CH＝CM2；
当CM最小时，S△MNC最小，S△AMN取得最大值，
根据垂线段最短，得当CM与CG重合时，CM最小，此时CM＝CG＝2，
∴S△AMN＝4－×(2)2＝.
第2课时　菱形的判定
知识点1?　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．(河北承德双桥区模拟)依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是(C)
2．(河北衡水桃城区期末)添加下列一个条件，能使 ABCD成为菱形的是(D)
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．∠BAD＝90°
D．AB＝BC
知识点2?　四条边相等的四边形是菱形
3．(河北石家庄桥西区期末)如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧相交于点C；再连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2，OC＝4.则四边形AOBC的面积是(A)
A．4 B．8 C．4 D．
4．(河北秦皇岛卢龙县期末)如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点．当四边形ABCD的边至少满足AB＝CD条件时，四边形EFGH是菱形．
知识点3?　两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形ABCD是菱形，那么这个条件可以是(C)
A．AB＝AC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥AC
易错易混点　对菱形的判定方法掌握不牢固导致出错
6．(河北保定莲池区期末)下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是(C)
7．(河北石家庄桥西区期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使CE＝BC，连接EA，ED，AC，下列条件中不能使四边形ADEC成为菱形的是(C)
A．AE⊥DC B．AE平分∠DAC
C．AB＝AE D．∠BAE＝90°
8．(河北张家口万全区期末)如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥BA，下列四个判断不正确的是(C)
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形
9．(辽宁葫芦岛连山区期末)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.现有五组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝90°；⑤AB∥CD，AD＝BC.以下选项能判定四边形ABCD是菱形的是(A)
A．①③ B．②④
C．③⑤ D．①②
【母题P145A组T2】
已知：如图，在 ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠FCA.
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，
∴EO＝FO，
又EF⊥AC，∴AC与EF互相垂直．
又∵EA＝EC，∴AF＝AE＝CF＝CE，
∴四边形AFCE是菱形．
【变式】
(广东广州期末)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，CF∥BE，CF交DE的延长线于点F，连接BF，交CE于点O.
(1)求证：CF＝BE；
(2)若BE＝2DE，∠ACB＝70°，求∠BFC的度数.
(1)∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，BC＝2DE.∵CF∥BE，
∴四边形BEFC是平行四边形，∴CF＝BE.
(2)∵BE＝2DE，BC＝2DE，∴BE＝BC，
∴平行四边形BEFC是菱形，
∴BF⊥CE，∠ACB＝∠ACF＝70°，
∴∠BFC＝＝20°.
10.(几何直观&推理能力)(湖南衡阳耒阳市期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12 cm，AB＝18 cm，CD＝23 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿折线B－C－D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的式子表示PB.
(2)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
(1)由于动点P从点A以1 cm/s的速度向点B运动，
∴t s时，AP＝t×1＝t(cm).
∵AB＝18 cm，∴PB＝AB－AP＝(18－t)cm；
(2)如图，过点B作BN⊥CD于点N.
∵∠ADC＝90°，∴AD∥BN.
∵AB∥CD，∴四边形ADNB是矩形，
∴BN＝AD＝12 cm，AB＝DN＝18 cm.
∵CD＝23 cm，
∴CN＝CD－DN＝23－18＝5(cm).
在Rt△BNC中，根据勾股定理，可得
BC＝＝＝13(cm)，
∴点Q在BC上运动的时间为13÷2＝6.5 s.
∵BC＋CD＝13＋23＝36(cm)，
∴点Q运动时间最长为36÷2＝18 s，
∴当6.5≤t≤18时，点Q在CD边上，
此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分．当且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况：
①四边形PQCB是平行四边形，如图所示．
∵AB∥CD，即PB∥CQ，
∴只需PB＝CQ即可．
由(1)，知PB＝(18－t)cm.
∵点Q以2 cm/s的速度沿折线B－C－D向终点D运动，
∴运动时间为t s时，CQ＝2t－BC＝(2t－13)cm，
∴18－t＝2t－13，解得t＝ s；
②四边形ADQP是平行四边形，如图所示．
同理∵AP∥DQ，
∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形．
由(1)，知AP＝t cm，
DQ＝CD＋CB－2t＝(36－2t)cm，
∴36－2t＝t，解得t＝12 s，
综上所述，当t＝ s或12 s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
(3)设点Q的速度为x cm/s，由(2)，可知Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形．
∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，
由(1)，知PB＝(18－t)cm，
由(2)，知CQ＝(xt－13)cm，BC＝13 cm，
∴18－t＝13，xt－13＝13，
解得t＝5 s，x＝5.2 cm/s，
∴当点Q的速度为5.2 cm/s时，四边形PBCQ为菱形．21．6　菱　形
第1课时　菱形及其性质
知识点1?　菱形的对称性
1．菱形是轴对称图形，它有 条对称轴．
2．菱形是中心对称图形，它的对称中心是 ．
知识点2?　菱形的性质
3．(河北邢台任泽区期末)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为( )
A．24 B．16 C．8 D．6
4．(河北邯郸大名县期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝64°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为( )
A．58° B．122° C．148° D．154°
5．(河北唐山路北区期末)如图，BD是菱形ABCD的对角线．
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若∠1＝20°，求∠C的度数．
知识点3?　菱形的面积
6．(河北石家庄新华区期末)如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝12 cm，BD＝8 cm，则菱形ABCD的面积为( )
A．40 cm2 B．48 cm2
C．64 cm2 D．96 cm2
7．(河北石家庄桥西区期末)如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的面积为 .
8．(河北秦皇岛卢龙县期末)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
易错易混点　点的位置不确定导致漏解
9．(河北保定曲阳县期末)在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点(不与点B，D重合)，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE的度数为 ．
10．(河北石家庄裕华区校级开学)如图是一个铭丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成，寓意优胜，优美和同心．若两个菱形的对角线分别为8 cm和6 cm，重叠部分是一个面积为6 cm2的菱形，则这个图案的总面积为( )
A．42 cm2 B．48 cm2
C．54 cm2 D．60 cm2
11．(河北中考)如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝( )
A．42° B．43° C．44° D．45°
12．(河北石家庄裕华区期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝10，BD＝5，则EF的最小值为 ．
13．(浙江中考)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
【母题P143T5】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝BC，连接CE.
(1)求证：BD＝EC.
(2)求证：S菱形ABCD＝S△AEC.
【变式】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，点F，G分别为边AD，DC的中点，连接FG，若EF＝6.5，FG＝12，求菱形ABCD的面积．
14．(几何观念)(重庆两江新区期末)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，M，N分别是AD，AB上的动点，且△CMN为等边三角形，则△AMN面积的最大值为 ．
第2课时　菱形的判定
知识点1?　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．(河北承德双桥区模拟)依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( )
2．(河北衡水桃城区期末)添加下列一个条件，能使 ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．∠BAD＝90°
D．AB＝BC
知识点2?　四条边相等的四边形是菱形
3．(河北石家庄桥西区期末)如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧相交于点C；再连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2，OC＝4.则四边形AOBC的面积是( )
A．4 B．8 C．4 D．
4．(河北秦皇岛卢龙县期末)如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点．当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
知识点3?　两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形ABCD是菱形，那么这个条件可以是( )
A．AB＝AC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥AC
易错易混点　对菱形的判定方法掌握不牢固导致出错
6．(河北保定莲池区期末)下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是( )
7．(河北石家庄桥西区期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使CE＝BC，连接EA，ED，AC，下列条件中不能使四边形ADEC成为菱形的是( )
A．AE⊥DC B．AE平分∠DAC
C．AB＝AE D．∠BAE＝90°
8．(河北张家口万全区期末)如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥BA，下列四个判断不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形
9．(辽宁葫芦岛连山区期末)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.现有五组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝90°；⑤AB∥CD，AD＝BC.以下选项能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A．①③ B．②④
C．③⑤ D．①②
【母题P145A组T2】
已知：如图，在 ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
【变式】
(广东广州期末)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，CF∥BE，CF交DE的延长线于点F，连接BF，交CE于点O.
(1)求证：CF＝BE；
(2)若BE＝2DE，∠ACB＝70°，求∠BFC的度数.
10.(几何直观&推理能力)(湖南衡阳耒阳市期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12 cm，AB＝18 cm，CD＝23 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿折线B－C－D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s.
(1)用含t的式子表示PB.
(2)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？

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