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21．7　正方形、21.8　梯形
知识点1?　正方形的性质
1．(北京二中朝阳学校期中)周长为8 cm的正方形对角线的长是(B)
A．4 cm B．2 cm
C．2 cm D． cm
2．(河北廊坊广阳区校级月考)如图，在长方形ABCD中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为(D)
A．6 B．6
C．18－4 D．6－12
知识点2?　正方形的判定
3．(河南郑州高新区开学)下列说法中正确的是(D)
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
4．(河北邢台内丘县期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，只添加一个条件，就能使菱形ABCD成为正方形，添加的条件可以是∠ABC＝90°或AC＝BD．
知识点3?　梯形
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是(C)
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知∠B＝25°，∠C＝75°，则∠A＝155°，∠D＝105°．
易错易混点　忽略旋转方向分为顺时针和逆时针而漏解
7．(河北石家庄桥西区期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，OA，OC在坐标轴上，将正方形OABC绕点O旋转，使点B落在y轴上，旋转后点C的对应点的坐标是(D)
A.(－2，2)
B．(－2，0)
C．(－2，2)或(2，－2)
D．(－2，2)或(2，－2)
连接OB，AC相交于点D，如图1所示．
∵四边形OABC为正方形，边长为4，∴OA＝AB＝4，OB＝AC，OD＝BD＝AD＝CD，∠OAB＝90°，∠COB＝∠AOB＝45°.
在Rt△OAB 中，由勾股定理，得OB＝＝4 ，∴AC＝OB＝4，∴OD＝BD＝AD＝CD＝2.
∵将正方形OABC绕点O旋转，使点B落在y轴上，
∴有以下两种情况：
①将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°，则点B落在y轴的正半轴上．设点C的对应点为C′，此时点C′在第二象限，点D的对应点为D′也落在y轴的正半轴上，如图2所示，
　　
则OD′＝C′D′＝2，∴点C′的坐标为(－2，2)；
②将正方形OABC绕点O顺时针旋转135°，则点B落在y轴的负半轴上．设点C的对应点为C″，此时点C″在第四象限，点D的对应点为D″也落在y轴的负半轴上，如图3所示，
则OD″＝C″D″＝2，∴点C″的坐标为(2，－2)，综上所述，旋转后点C的对应点的坐标是(－2，2)或(2，－2).
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝6，BC＝8，且AB∥DE，则△DEC的周长是(C)
A．3 B．12 C．15 D．19
9．(河北石家庄期中)如图将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合放置，已知正方形A的边长为4，正方形B的边长为3，则阴影部分的面积是(C)
A．3 B．
C．4 D．8
由图，可得∠DOC＋∠COF＝∠COF＋∠FOE＝90°，∠OCD＝∠OEF＝45°，OC＝OE，∴∠DOC＝∠FOE.
在△OCD和△OEF中，
∴△OCD≌△OEF(ASA)，
∴阴影部分的面积和△COE的面积相等．
∵正方形A的边长为4，∴OC＝OE，∠COE＝90°，
∴＝4，解得OC＝OE＝2，
∴△COE的面积为＝4.
10．(河北廊坊安次区期中)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，用拉紧的橡皮筋连接AC，BD.转动这个四边形，使它的形状改变．当∠ABC＝90°时，如图1，测得AC＝，当∠ABC＝60°时，如图2，此时BD－AC＝(B)
图1 图2
A．2 B．－1 C．2－1 D．2
11．(河北邯郸丛台区模拟)已知正方形ABCD的边长为4，P为边BC上任意一点，连接AP，以AP为边，在AP的右侧作正方形APEF，连接CE，在点P由点B运动到点C的过程中，下列判断正确的是(C)
嘉嘉说：DE有最小值，最小值为2
琪琪说：点E所走的路程为4(C)
A．只有嘉嘉说得对
B．只有琪琪说得对
C．嘉嘉、琪琪说得都对
D．嘉嘉、琪琪说得都不对
如图，作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠H＝90°.
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠H，∠DCH＝180°－∠BCD＝90°.
∵四边形APEF是正方形，∴AP＝PE，∠APE＝90°，∴∠BAP＝∠HPE＝90°－∠APB.
在△BAP和△HPE中，
∴△BAP≌△HPE(AAS)，
∴PB＝EH，AB＝PH.
∵AB＝BC＝PB＋PC，PH＝CH＋PC，
∴PB＋PC＝CH＋PC，∴PB＝CH＝EH，
∴∠HCE＝∠HEC＝45°，
∴∠ECD＝∠DCH－∠HCE＝45°.
作DL⊥CE交CE的延长线于点L，则∠L＝90°，　
∴∠LDC＝∠LCD＝45°，
∴DL＝CL.
∵CD＝＝DL＝4，∴DL＝2.
∵DE≥DL，∴DE≥2，
∴DE的最小值为2.
∵点E在与CD的夹角为45°的直线CE上运动，∴当点P与点C重合时，PE与CE重合，∴CE＝PE＝AP＝AC＝＝AB＝4，
∴点E所走的路程为4，
∴嘉嘉、琪琪说得都对．
12．(河北石家庄裕华区期末)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，有以下结论：①DE＝ FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为2；其中正确结论的序号为(C)
A．②③④ B．①②③
C．①②③④ D．①③④
①连接BE，交GF于点O，如图．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形 EFBG为矩形，
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°.
在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE ，
∴DE＝FG，
∴①正确；
②延长DE，交FG于点M，交FB于点H.
∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE.
由①知OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，
∴∠OFB＝∠ADE.
∵∠BAD＝90°，∴∠ADE＋∠AHD＝90°，
∴∠OFB＋∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG，∴②正确；
③由②知∠OFB＝∠ADE，即∠BFG＝∠ADE，∴③正确；
④∵E为AC上一动点，∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝4，
∴DE＝AC＝2.
由①知FG＝DE，∴FG的最小值为2，
∴④正确．
综上，正确的结论为①②③④.
13．(河北石家庄新华区期末)将正方形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，点D(0，－1)，点C(3，0).
(1)AB＝；
(2)点B的坐标是(2，3)．
(1)∵点D(0，－1)，点C(3，0)，
∴OD＝1，OC＝3，CD＝＝.
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝；
(2)过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD.
∵∠CEB＝∠COD＝∠BCD＝90°，
∴∠BCE＋∠DCO＝∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠DCO＝∠CBE ，∴△BCE≌△CDO(AAS)，∴BE＝CO＝3，CE＝OD＝1，
∴OE＝3－1＝2，∴点B的坐标为(2，3).
14．(河北保定曲阳县期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(1，0)，点C(5，0)，以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M(－5，0)，N(0，5).
(1)点A的坐标为(1，4)；点D的坐标为(5，4)；
(2)将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A′B′C′D′，记正方形A′B′C′D′与△OMN重叠的区域(不含边界)为W：
①当m＝3时，区域内整点(横、纵坐标都是整数)的个数为3；
②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．
(2)②在△OMN中共有6个整数点，分别是(－1，1)，(－1，2)，(－1，3)，(－2，1)，(－2，2)，(－3，1).
∵区域W内恰好有3个整点，
∴2＜m≤3或6≤m＜7.
【母题P149B组T5】已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E为OC上一点，AM⊥BE，垂足为M，AM与DB相交于点F.
求证：OE＝OF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠BOE＝∠AOF＝90°.
∵AM⊥BE，∴∠AME＝90°，
∴∠OAF＋∠BEO＝90°.
∵∠OBE＋∠BEO＝90°，∴∠OAF＝∠OBE，
∴△AOF≌△BOE(ASA)，∴OE＝OF.
【变式】(江苏扬州高邮市校级月考)如图，正方形ABCD(四边相等，四个角都是直角)的边长为4 cm，点P是线段AB上的一个动点，连接DP，过点P作PE⊥DP交BC于点N，且PE＝PD，连接DE交BC于点M，连接BE，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F.
(1)①求证：AP＝EF；
②若AP＝3 cm，则BE的长是3cm.
(2)在点P的运动过程中，
①求证：PM＝AP＋CM；
②△PMB的周长为8cm.
(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°.
∵PE⊥DP，∴∠DPE＝90°，
∴∠ADP＋∠APD＝∠FPE＋∠APD，
∴∠ADP＝∠FPE.
∵EF⊥AB，∴∠F＝90°.
∵PD＝EP，∴△ADP≌△FPE(AAS)，
∴AP＝FE；
②∵△ADP≌△FPE，
∴AP＝FE＝3 cm，AD＝PF＝AB＝4 cm，
∴PB＝AB－AP＝4－3＝1(cm).
∴AP＝BF＝PF－PB＝4－1＝3(cm)，
∴BE＝＝3(cm)；
(2)①如图，延长PA至点H，使得CM＝AH，连接DH.
∵AD＝CD，∠DAH＝∠C＝90°，AH＝CM，
∴△DAH≌△DCM(SAS)，
∴DH＝DM，∠ADH＝∠CDM.
∵PD＝PE，∠EPD＝90°，∴∠PDE＝45°，
∴∠CDM＋∠ADP＝45°＝∠ADH＋∠ADP＝∠PDH.
∵PD＝PD，∴△PDM≌△PDH(SAS)，
∴PM＝PH＝AP＋AH＝AP＋CM；
②∵PM＝AP＋CM，
∴△PMB的周长为PM＋PB＋BM＝AP＋CM＋PB＋BM＝AB＋BC＝4＋4＝8(cm).
15.(空间观念)(山东济南济阳区期末)四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
　
备用图
(1)AC的长为3，∠ACB＝45度；
(2)如图，当点F在线段BC的延长线上时：
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若CG＝2，求正方形DEFG的边长；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，请直接写出∠EFC的度数．
(1)∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，
∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝3.
(2)①过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，如图1所示，
则四边形EMCN为矩形．
图1
∵∠ACB＝45°，∴△EMC为等腰直角三角形，∴EM＝CM，∴矩形EMCN为正方形，∴EM＝EN，∠EMF＝∠END＝∠MEN＝90°，∴∠MEF＋∠FEN＝90°.
∵四边形DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，
∴∠NED＋∠FEN＝90°，∴∠MEF＝∠NED.
在△MEF和△NED中，
∴△MEF≌△NED(ASA)，∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形．
②连接EG，如图2所示，
图2
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAE＝∠ACD＝45°，
∴∠ADE＋∠EDC＝∠EDC＋∠CDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG.
在△ADE和△CDG 中，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG＝2，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ECG＝∠ACD＋∠DCG＝90°.
∵AC＝3，∴EC＝AC－AE＝3－2＝ ，
在Rt△ECG 中，由勾股定理，得EG＝＝.
在Rt△DEG中，由勾股定理，得DE2＋DE2＝EG2，∴2DE2＝（）2，
∴DE＝.
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，有以下两种情况：
①当∠ADE＝35°时，此时点F在线段BC上，
∴∠CDG＝∠ADE＝35°.
过点G作GK⊥CD于点K，GT⊥BC，交BC的延长线于点T，如图3所示，
则四边形CTGK为矩形．
图3
同(2)①可证四边形EFGD为正方形，∴DG＝FG，∠KGT＝∠DGF＝90°，∠GKD＝∠GTF＝90°，∴∠1＋∠KGF＝∠KGF＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2，
在△GKD和△GTF中，
∴△GKD≌△GTF(AAS)，∴∠CDG＝∠GFT＝35°，
∴∠EFC＝∠EFG＋∠GFT＝90°＋35°＝125°；
②当∠CDE＝35°时，此时点F在BC的延长线上，
∴∠CDG＝90°－∠CDE＝55°.
过点G作GR⊥CD于点R，GS⊥BC，交BC的延长线于点S，如图4所示．
图4
由(2)①可知四边形EFGD为正方形，同理可证△GRD≌△GSF(AAS)，∴∠CDG＝∠GFS＝55°，∴∠EFC＝90°－∠GFS＝35°，综上所述，∠EFC的度数为125°或35°.21．7　正方形、21.8　梯形
知识点1?　正方形的性质
1．(北京二中朝阳学校期中)周长为8 cm的正方形对角线的长是( )
A．4 cm B．2 cm
C．2 cm D． cm
2．(河北廊坊广阳区校级月考)如图，在长方形ABCD中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A．6 B．6
C．18－4 D．6－12
知识点2?　正方形的判定
3．(河南郑州高新区开学)下列说法中正确的是( )
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
4．(河北邢台内丘县期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，只添加一个条件，就能使菱形ABCD成为正方形，添加的条件可以是 ．
知识点3?　梯形
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知∠B＝25°，∠C＝75°，则∠A＝ ，∠D＝ ．
易错易混点　忽略旋转方向分为顺时针和逆时针而漏解
7．(河北石家庄桥西区期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，OA，OC在坐标轴上，将正方形OABC绕点O旋转，使点B落在y轴上，旋转后点C的对应点的坐标是( )
A.(－2，2)
B．(－2，0)
C．(－2，2)或(2，－2)
D．(－2，2)或(2，－2)
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝6，BC＝8，且AB∥DE，则△DEC的周长是( )
A．3 B．12 C．15 D．19
9．(河北石家庄期中)如图将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合放置，已知正方形A的边长为4，正方形B的边长为3，则阴影部分的面积是( )
A．3 B．
C．4 D．8
10．(河北廊坊安次区期中)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，用拉紧的橡皮筋连接AC，BD.转动这个四边形，使它的形状改变．当∠ABC＝90°时，如图1，测得AC＝，当∠ABC＝60°时，如图2，此时BD－AC＝( )
图1 图2
A．2 B．－1 C．2－1 D．2
11．(河北邯郸丛台区模拟)已知正方形ABCD的边长为4，P为边BC上任意一点，连接AP，以AP为边，在AP的右侧作正方形APEF，连接CE，在点P由点B运动到点C的过程中，下列判断正确的是( )
嘉嘉说：DE有最小值，最小值为2
琪琪说：点E所走的路程为4( )
A．只有嘉嘉说得对
B．只有琪琪说得对
C．嘉嘉、琪琪说得都对
D．嘉嘉、琪琪说得都不对
12．(河北石家庄裕华区期末)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，有以下结论：①DE＝ FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为2；其中正确结论的序号为( )
A．②③④ B．①②③
C．①②③④ D．①③④
13．(河北石家庄新华区期末)将正方形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，点D(0，－1)，点C(3，0).
(1)AB＝ ；
(2)点B的坐标是 ．
14．(河北保定曲阳县期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(1，0)，点C(5，0)，以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M(－5，0)，N(0，5).
(1)点A的坐标为 ；点D的坐标为 ；
(2)将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A′B′C′D′，记正方形A′B′C′D′与△OMN重叠的区域(不含边界)为W：
①当m＝3时，区域内整点(横、纵坐标都是整数)的个数为 ；
②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．
【母题P149B组T5】已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E为OC上一点，AM⊥BE，垂足为M，AM与DB相交于点F.
求证：OE＝OF.
【变式】(江苏扬州高邮市校级月考)如图，正方形ABCD(四边相等，四个角都是直角)的边长为4 cm，点P是线段AB上的一个动点，连接DP，过点P作PE⊥DP交BC于点N，且PE＝PD，连接DE交BC于点M，连接BE，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F.
(1)①求证：AP＝EF；
②若AP＝3 cm，则BE的长是 cm.
(2)在点P的运动过程中，
①求证：PM＝AP＋CM；
②△PMB的周长为 cm.
15.(空间观念)(山东济南济阳区期末)四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
　
备用图
(1)AC的长为 ，∠ACB＝ 度；
(2)如图，当点F在线段BC的延长线上时：
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若CG＝2，求正方形DEFG的边长；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，请直接写出∠EFC的度数．

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