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考点专题训练 四边形
（自测时间：90分钟　分值：120分）
考点过关自测：多边形　平行四边形的判定与性质　三角形的中位
线　菱形的判定与性质　矩形的判定与性质 正方形的判定与性
质　梯形
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1．如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝50°，则∠C＝(B)
A．40°
B．50°
C．130°
D．150°
2．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为(B)
A．135° B．120° C．105° D．60°
3．如图，已知菱形ABCD的周长为24 m，∠BAC＝30°，则对角线BD的长为(C)
A.6 m B．3 m
C．6 m D．3 m
4．如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC上的动点，以AE为边构造平行四边形AEFG，使点D在边FG上，当点E由点B往点C运动的过程中，平行四边形AEFG面积变化情况是(A)
A. 保持不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
5．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(C)
A.3 cm2 B．4 cm2
C．6 cm2 D．12 cm2
6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，连接CE，取CE的中点F，过点F作CE的垂线，交AB于点G，则AG的长为(C)
A．3 B．2
C． D．2
7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠ACB＝30°，AB＝2，则边AD的长为(A)
A．2 B．2
C． D．1
8．如图每个小正方形的边长为1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为(D)
A． B．
C．5 D．
9．如图，等边三角形ABC的边长为8 cm.动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5 cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的BC边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为(C)
A．2或3 B．2或4
C．1或3 D．1或2
①当0≤t≤，点M ，N，D的位置如图所示．
∵四边形ANDM 是平行四边形，∴DM＝AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB＝∠C＝60°，∠NDC＝∠B＝60°，
∴∠NDC＝∠C，∴ND＝NC，
∴DM＋DN＝AN＋NC＝AC＝8，即3t＋5t＝8，
解得t＝1.
②当③当∵四边形ANDM是平行四边形，∴DN＝AM，AM∥DN，
∴∠NDB＝∠ACB＝60°.
∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，
∴∠NDB＝∠B＝60°，∴ND＝NB，
∴NB＋MC＝AM＋CM＝8，即3t－8＋5t－8＝8，解得t＝3.
综上所述，t的值为1或3.
10．如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH…按照这样的规律作下去，第2 024个正方形的面积为(C)
A．（2）2 023 B．（2）2 024
C．22 023 D．22 024
由题意，知第1个正方形ABCD的边长为1，面积为1，
第2个正方形ACEF的边长AC 为＝，面积为2，
第3个正方形FCGH的边长CF为2AD＝2＝（）2，面积为4，
第4个正方形FGMN的边长FG为CF ＝（）3，面积为8，
……，
∴可推导一般性规律为第n个正方形的边长为（）n-1，面积为2n-1，∴第2 024个正方形的边长为（）2 023，面积为22 023.
二、填空题（本大题共3题，每题4分，共12分）
11．如图，在梯形BCDE中，AB∥CD，BC＝2，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝5．
12．如图，在菱形ABCD中，E是AD上一点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，连接CF，若∠DFC＝110°，则∠A＝100°．
13．如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE.
(1)线段AE的长为2；
(2)若F为DE的中点，连接AF，则线段AF的长为．
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，∠DOC＝90°，
∴在Rt△DOC中，OD2＋OC2＝DC2.
∵DC＝3，∴OA＝OD＝OC＝OB＝3.
∵OE＝5，∴AE＝OE－OA＝5－3＝2；
(2)如图，延长DA到点G，使AG＝AD，连接EG，过点E作EH⊥AG于点H.
∵F为DE的中点，A为DG的中点，
∴AF为△DGE的中位线，
∴AF＝EG.
在Rt△EAH中，∠EAH＝∠DAC＝45°，
∴AH＝EH.
∵AH2＋EH2＝AE2，AE＝2，∴AH＝EH＝，
∴GH＝AG－AH＝3－＝2.
在Rt△EGH中，EG＝＝＝，∴AF＝EG＝.
三、解答题（本大题共5题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（12分）在一个凸n边形中．
(1)当它的内角和度数等于外角和度数时，求n是多少？
(2)它的对角线条数可以是14条吗？若可以求出n值，若不可以请说明理由．
(1)多边形的外角和为360°，根据题意，得(n－2)×180°＝360°，解得n＝4；
(2)可以．由题意，得＝14，解得n＝－4（舍去）或n＝7.
15．（14分）在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：四边形ADCF是正方形；
(2)若AB＝4，求正方形ADCF的面积．
(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
在△FAE和△BDE中，
∴△FAE≌△BDE(AAS)，
∴AF＝DB.
∵DB＝DC，∴AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，AD⊥DC，
∴四边形ADCF是正方形；
(2)∵AB＝AC，AB＝4，
∴AC＝AB＝4.
由(1)，知AD＝DC，AD⊥DC，
∴在Rt△ACD中，AC＝，
解得AD＝CD＝4，
∴S正方形ADCF＝AD2＝42＝16.
16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD边于点E，过点E作EF∥CD交BC边于点F.
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)若平行四边形ABCD的周长为26，AE＝3，∠A＝60°，求CE的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ECB＝∠DEC.
∵EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形．
∵CE平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠DEC，∴CD＝DE，
∴平行四边形CDEF是菱形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥CD，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，
∴AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴AE＝BF＝3，AB＝EF.
∵四边形CDEF是菱形，
∴CE⊥DF，CD＝CF＝DE＝EF.
∵平行四边形ABCD的周长为26，
∴AE＋DE＋CD＋CF＋BF＋AB＝AE＋BF＋4CD＝6＋4CD＝26，解得CD＝5.
∵∠A＝60°，∴∠DCB＝∠A＝60°，
∴∠DCO＝∠DCB＝30°.
∵CE⊥DF，∴OD＝CD＝.
在Rt△OCD中，OC＝＝＝，
∴CE＝2OC＝2×＝5.
17．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，DE平分∠ADC.
(1)求证：四边形ECDF是平行四边形；
(2)求证：AD＝2AB；
(3)若CE＝5，DE＝8，求点A到边BC的距离．
(1)在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F分别为BC，AD的中点，
∴DF＝AD＝BC＝EC，
∴四边形ECDF为平行四边形；
(2)∵DE平分 ∠ADC，
∴∠FDE＝∠EDC.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∴∠FDE＝∠DEC，∴∠EDC＝∠DEC，∴EC＝CD，
∴EC＝AB.
∵E是BC的中点，∴BC＝2EC，
∴AD＝BC＝2AB；
(3)连接FC，交DE于点O.
∵四边形ECDF为平行四边形，EC＝CD，∴四边形ECDF为菱形，
∴DE⊥CF ，且DE，CF互相平分．
∵DE＝8，∴DO＝EO＝4.
∵CE＝5，∴CO＝＝＝3，
∴CF＝2CO＝6，
∴S△ECF＝CF·EO＝×6×4＝12.
∵AD∥BC，
∴点F到BC的距离即为点A到BC的距离．
设点F到BC的距离为h，根据△ECF的面积，可得×5h＝12，∴h＝，
∴点F到BC的距离为，
即点A到边BC的距离为.
18．（14分）如图，在矩形ABCD中，AC＝10 cm，∠ACD＝60°，点P从点C出发沿CA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t s，过点P作PE⊥BC于点E，连接PQ，QE.
(1)AQ＝tcm，BQ＝(5－t)cm，PC＝2tcm，PE＝tcm（用含t的代数式表示）；
(2)试说明：无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边形；
(3)连接AE，AE与PQ能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(4)直接写出当t为或4s时，△APQ为直角三角形．
(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝90°－60°＝30°.
∵点P从点C出发沿CA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动，
∴PC＝2t cm，AQ＝t cm.
∵PE⊥BC，∴PE＝PC＝×2t＝t cm.
∵AC＝10 cm，∴AB＝AC＝5 cm，
∴BQ＝AB－AQ＝(5－t)cm.
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
∵PE⊥BC，∴∠PEB＝90°，∴AQ∥PE.
由(1)，可知PE＝t cm.
∵AQ＝t cm，∴AQ＝PE，
∴四边形AQEP是平行四边形，
∴无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边形．
(3)AE与PQ能垂直，理由如下：
由(2)可知，∵四边形AQEP是平行四边形，
∴当AQ＝AP时，四边形AQEP是菱形．
根据菱形的对角线互相垂直，可得AE⊥PQ，
∴t＝10－2t，解得t＝，∴当t＝时，AE⊥PQ；
(4)当∠AQP＝90°时，PQ∥BC.如图1，
∴∠APQ＝∠ACB＝30°，∴AP＝2AQ.
∵AQ＝t cm，AP＝(10－2t)cm，
∴10－2t＝2t，解得t＝.
当∠APQ＝90°时，QP⊥AC.∵∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，∴t＝2(10－2t)，
解得t＝4，
综上所述，当t＝ s或4 s时，△APQ是直角三角形．考点专题训练 四边形
（自测时间：90分钟　分值：120分）
考点过关自测：多边形　平行四边形的判定与性质　三角形的中位
线　菱形的判定与性质　矩形的判定与性质 正方形的判定与性
质　梯形
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1．如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝50°，则∠C＝( )
A．40°
B．50°
C．130°
D．150°
2．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为( )
A．135° B．120° C．105° D．60°
3．如图，已知菱形ABCD的周长为24 m，∠BAC＝30°，则对角线BD的长为( )
A.6 m B．3 m
C．6 m D．3 m
4．如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC上的动点，以AE为边构造平行四边形AEFG，使点D在边FG上，当点E由点B往点C运动的过程中，平行四边形AEFG面积变化情况是( )
A. 保持不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
5．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A.3 cm2 B．4 cm2
C．6 cm2 D．12 cm2
6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，连接CE，取CE的中点F，过点F作CE的垂线，交AB于点G，则AG的长为( )
A．3 B．2
C． D．2
7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠ACB＝30°，AB＝2，则边AD的长为( )
A．2 B．2
C． D．1
8．如图每个小正方形的边长为1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为( )
A． B．
C．5 D．
9．如图，等边三角形ABC的边长为8 cm.动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3 cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5 cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的BC边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为( )
A．2或3 B．2或4
C．1或3 D．1或2
10．如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH…按照这样的规律作下去，第2 024个正方形的面积为( )
A．（2）2 023 B．（2）2 024
C．22 023 D．22 024
二、填空题（本大题共3题，每题4分，共12分）
11．如图，在梯形BCDE中，AB∥CD，BC＝2，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ ．
12．如图，在菱形ABCD中，E是AD上一点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，连接CF，若∠DFC＝110°，则∠A＝ ．
13．如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE.
(1)线段AE的长为 ；
(2)若F为DE的中点，连接AF，则线段AF的长为 ．
三、解答题（本大题共5题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（12分）在一个凸n边形中．
(1)当它的内角和度数等于外角和度数时，求n是多少？
(2)它的对角线条数可以是14条吗？若可以求出n值，若不可以请说明理由．
15．（14分）在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：四边形ADCF是正方形；
(2)若AB＝4，求正方形ADCF的面积．
16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD边于点E，过点E作EF∥CD交BC边于点F.
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)若平行四边形ABCD的周长为26，AE＝3，∠A＝60°，求CE的长．
17．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，DE平分∠ADC.
(1)求证：四边形ECDF是平行四边形；
(2)求证：AD＝2AB；
(3)若CE＝5，DE＝8，求点A到边BC的距离．
18．（14分）如图，在矩形ABCD中，AC＝10 cm，∠ACD＝60°，点P从点C出发沿CA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t s，过点P作PE⊥BC于点E，连接PQ，QE.
(1)AQ＝ cm，BQ＝ cm，PC＝ cm，PE＝ cm（用含t的代数式表示）；
(2)试说明：无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边形；
(3)连接AE，AE与PQ能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(4)直接写出当t为 s时，△APQ为直角三角形．

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