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考点专题训练（三）一次函数
（自测时间：90分钟　分值：120分）
考点过关自测：一次函数的表达式　一次函数的图象与性质　直接列式法　待定系数法　一次函数与二元一次方程的关系
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1．若正比例函数y＝kx的图象经过点(－2，2)，则k的值是(A)
A．－1 B．1 C．－4 D．4
2．如图，直线y＝－2x＋b与x轴交于点(3，0)，那么不等式－2x＋b<0的解集为(D)
A．x<3
B．x≤3
C．x≥3
D．x>3
3．在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式所对应的图象是(A)
4．已知正比例函数y＝3x，下列说法不正确的是(D)
A．它的图象经过点(1，3)
B．它的图象是经过原点的一条直线
C．点(－2，－6)是它的图象上的点
D．它的图象经过第二、第四象限
5．如图，在等腰直角三角形ABO中，点B的坐标为(－1，0)，将直线l：y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度得到直线l′，当直线l′经过点A时，m的值为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是(D)
A．k2<0C．k17．杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系．若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为2.5 cm，挂1 kg物体时，秤砣到秤纽的水平距离为8 cm.则当秤砣到秤纽的水平距离为35.5 cm时，秤钩所挂物重为(B)
A．4.5 kg B．6 kg
C．5.5 kg D．7 kg
8．物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A.已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B浮在水面上的高度h(mm)与铁块A的质量x(g)，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块A质量为100 g时，木块B浮在水面上的高度h为(C)
实验次数 一 二 三
铁块A质量x/g 25 50 75
高度h/mm 44 38 32
A.30 mm B．28 mm
C．26 mm D．24 mm
9．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴于点C(－1，0)，若光线AB满足的函数表达式为y＝－x＋b，则b的值是(C)
A．2 B． C． D．1
如图，延长AB，交x轴于点D，过点B作EF⊥y轴，
∴EF∥x轴，∴∠EBC＝∠BCO，
∠FBD＝∠BDO.
∵∠ABE＝∠EBC，∴∠BCO＝∠ABE.
∵∠FBD＝∠ABE，∴∠BDO＝∠ABE，
∴∠BCO＝∠BDO.
在△BCO与△BDO中，
∴△BCO≌△BDO(AAS)，∴OD＝OC，
∴点D的坐标为(1，0).将坐标D(1，0)代入y＝－x＋b，得0＝－＋b，∴b＝.
10．如图，直线y＝ax＋2与直线y＝mx＋b的交点的坐标为(－8，－15).根据图象得到下列四个结论：①a>0；②b<0；③方程组的解是④当直线x＝1与直线y＝ax＋2交于点M，与直线y＝mx＋b交于点N时，点M在点N的上方．其中正确的结论有(D)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共3题，每题4分，共12分）
11．从－2，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数y＝kx＋b的系数k，b，使一次函数y＝kx＋b的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为y＝x－2（或y＝2x－2）．
12．在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝x＋2，y2＝kx＋b(k＜0)的图象如图所示，则方程组的解为．
13．将正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图所示方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B3的坐标是(7，4)，B2 024的纵坐标是22 023．
当x＝0时，y＝x＋1＝1，∴点A1的坐标为(0，1).
∵四边形A1B1C1O为正方形，∴点B1的坐标为(1，1)，点C1的坐标为(1，0).
当x＝1时，y＝x＋1＝2，∴点A2的坐标为(1，2).
∵A2B2C2C1为正方形，∴点B2的坐标为(3，2)，点C2的坐标为(3，0).
同理可知，点B3的坐标为(7，4)，点B4的坐标为(15，8)，点B5的坐标为(31，16)，…，
∴点Bn的坐标为(2n－1，2n-1)（n为正整数），
∴点B3的坐标为(7，4)，点B2 024的纵坐标为22 023.
三、解答题（本大题共5题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（12分）如图，直线l1：y＝2x＋b，直线l2：y＝kx＋5过点A(3，2)与y轴交于点B.
(1)求k的值；
(2)若l1与线段AB有公共点，试确定b的取值范围；
(3)若l1与线段AB的交点为整数点（即点的横、纵坐标均为整数的点），直接写出b的值．
(1)∵点A(3，2)在直线l2：y＝kx＋5的图象上，∴2＝3k＋5，解得k＝－1；
(2)∵k＝－1，∴l2的表达式为y＝－x＋5.
当x＝0时，y＝5，∴B(0，5).
当l1过点B(0，5)时，5＝2×0＋b，解得b＝5，
当l1过点A(3，2)时，2＝3×2＋b，解得b＝－4.
∵l1与线段AB有公共点，∴－4≤b≤5；
(3)∵l1与线段AB有公共点时，－4≤b≤5，
∴若l1与线段AB的交点为整数点时，b＝5或2或－1或－4.
15．（14分）一个水库的水位在最近6 h内持续上涨，6 h时达到警戒水位，开始开闸放水．下表记录了该水库12 h内水位的变化情况，其中x表示时间(h)，y表示水位高度(m).
x/h 0 2 4 6 8 10 12
y/m 6 7 8 9 8 7 6
(1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点；
(2)开闸放水前，水位高度y是时间x的一次函数，请求出这个函数表达式并写出x的取值范围；
(3)开闸放水后的函数表达式满足y＝－x＋12，据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度为多少m.
(1)描点如图所示：
(2)开闸放水前，设y与x的函数表达式为y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）.
将坐标(0，6)和(2，7)分别代入y＝kx＋b，得
解得
∴开闸放水前，y与x的函数表达式为y＝x＋6(0≤x≤6).
(3)当x＝12＋2＝14时，y＝－×14＋12＝5，
∴预测再过2 h水位高度为5 m．
16．（14分）某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元．
运动服款式 甲款 乙款
进价（元/套） 60 80
售价（元/套） 100 150
(1)求y与x的函数表达式；
(2)该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？
(3)在(2)的条件下，服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中30＜a＜40），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，则购进甲款运动服多少套使该服装店获利最大（直接写出结果）.
(1)根据题意，得y＝(100－60)x＋(150－80)(300－x)＝－30x＋21 000；
即y＝－30x＋21 000.
(2)由题意，得60x＋80(300－x)≤20 000，
解得x≥200，
∴至少要购进甲款运动服200套．
又∵y＝－30x＋21 000，－30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y有最大值，y最大＝－30×200＋21 000＝15 000，
∴售完全部的甲、乙两款运动服，服装店可获得的最大利润是15 000元．
(3)由题意，得y＝(100－60＋a)x＋(150－80)(300－x)，其中200≤x≤240，化简，得y＝(a－30)x＋21 000.
∵30＜a＜40，∴a－30＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵200≤x≤240，∴当x＝240时，y有最大利润，
∴服装店购进甲款运动服240套，获利最大．
17．（14分）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y(m)与哥哥跑步的时间x(s)之间的函数图象如图．
(1)哥哥的速度是8m/s，哥哥让小明先跑了14米，小明后来的速度为3m/s.
(2)哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
(3)求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
(1)根据图象，可知哥哥的速度是24÷3＝8(m/s)，哥哥让小明先跑了14 m；
在哥哥追上小明之前，小明的速度为(32－14)÷3＝6(m/s)，
∴在哥哥追上小明之后，小明的速度为6÷2＝3(m/s)，
故答案为：8，14，3.
(2)设哥哥跑t秒时，哥哥追上小明．
14＋6t＝8t，解得t＝7，
∴哥哥跑7秒时，哥哥追上小明．
(3)设哥哥所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数表达式为y＝kx（k为常数，且k≠0）.
将x＝3，y＝24代入y＝kx，
得3k＝24，解得k＝8，∴y＝8x；
当哥哥追上小明时，哥哥所跑的路程为8×7＝56(m)，
∴图象交点坐标为(7，56).
当0≤x＜7时，设y＝k1x＋b1（k1、b1为常数，且k1≠0）.
将x＝0，y＝14和x＝7，y＝56代入y＝k1x＋b1，得解得
∴y＝6x＋14(0≤x＜7)；
哥哥出发8 s后时，小明跑的总路程为56＋(8－7)×3＝59(m)，
∴坐标(8，59)对应的点在图象l3上．
当x≥7时，设y＝k2x＋b2（k2、b2为常数，且k2≠0）.
将x＝7，y＝56和x＝8，y＝59代入y＝k2x＋b2，
得解得
∴y＝3x＋35(x≥7)；
综上，小明所跑的路程y与哥哥跑步的时间x之间的函数关系式y＝
两人相距10米时：
当0≤x<7时，|6x＋14－8x|＝10，
整理，得|x－7|＝5，
解得x＝2或12（不符合题意，舍去）；
当x>7时，|3x＋35－8x|＝10，整理，得|x－7|＝2，
解得x＝5（不符合题意，舍去）或9；
∴哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米．
18．（14分）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为(4，1)，(4，5)，从点C(－1，0)发射光线，其图象对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0，x≥－1).
　　
(1)D为平面镜的中点，若光线恰好经过点D，求CD所在直线的表达式；
(2)若入射光线y＝mx＋n(m≠0，x≥－1)与平面镜AB有公共点，求n的取值范围；
(3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y＝mx＋n(m≠0，x≥－1)经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，直接写出点E是整点的个数．
(1)∵点A，B的坐标分别为(4，1)，(4，5)，平行四边形D为平面镜的中点，∴D(4，3).
∵C(－1，0)，∴将C，D坐标分别代入y＝mx＋n 中，得
解得
∴CD所在直线的表达式为y＝x＋；
(2)当入射光线y＝mx＋n(m≠0，x≥－1)经过C(－1，0)，A(4，1)时，
有解得
当入射光线y＝mx＋n(m≠0，x≥－1)经过C(－1，0)，B(4，5)时，有解得
∵入射光线y＝mx＋n(m≠0，x≥－1)与平面镜AB有公共点，
∴n的取值范围为≤n≤1；
(3)作出点C关于AB对称点C′，则C′(9，0)，作直线AC′，BC′分别交y轴于点E1，E2，易求直线BC′的表达式为y＝－x＋9，直线AC′的直线表达式为y＝－x＋.
∵反射光线与y轴相交于点E，
∴点E纵坐标的取值范围为≤n≤9，
∴n的整数值有2，3，4，5，6，7，8，9，
∴整点E有8个．考点专题训练（三）一次函数
（自测时间：90分钟　分值：120分）
考点过关自测：一次函数的表达式　一次函数的图象与性质　直接列式法　待定系数法　一次函数与二元一次方程的关系
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1．若正比例函数y＝kx的图象经过点(－2，2)，则k的值是( )
A．－1 B．1 C．－4 D．4
2．如图，直线y＝－2x＋b与x轴交于点(3，0)，那么不等式－2x＋b<0的解集为( )
A．x<3
B．x≤3
C．x≥3
D．x>3
3．在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式所对应的图象是( )
4．已知正比例函数y＝3x，下列说法不正确的是( )
A．它的图象经过点(1，3)
B．它的图象是经过原点的一条直线
C．点(－2，－6)是它的图象上的点
D．它的图象经过第二、第四象限
5．如图，在等腰直角三角形ABO中，点B的坐标为(－1，0)，将直线l：y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度得到直线l′，当直线l′经过点A时，m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是( )
A．k2<0C．k17．杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系．若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为2.5 cm，挂1 kg物体时，秤砣到秤纽的水平距离为8 cm.则当秤砣到秤纽的水平距离为35.5 cm时，秤钩所挂物重为( )
A．4.5 kg B．6 kg
C．5.5 kg D．7 kg
8．物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A.已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B浮在水面上的高度h(mm)与铁块A的质量x(g)，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块A质量为100 g时，木块B浮在水面上的高度h为( )
实验次数 一 二 三
铁块A质量x/g 25 50 75
高度h/mm 44 38 32
A.30 mm B．28 mm
C．26 mm D．24 mm
9．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴于点C(－1，0)，若光线AB满足的函数表达式为y＝－x＋b，则b的值是( )
A．2 B． C． D．1
10．如图，直线y＝ax＋2与直线y＝mx＋b的交点的坐标为(－8，－15).根据图象得到下列四个结论：①a>0；②b<0；③方程组的解是④当直线x＝1与直线y＝ax＋2交于点M，与直线y＝mx＋b交于点N时，点M在点N的上方．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共3题，每题4分，共12分）
11．从－2，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数y＝kx＋b的系数k，b，使一次函数y＝kx＋b的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ．
12．在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝x＋2，y2＝kx＋b(k＜0)的图象如图所示，则方程组的解为 ．
13．将正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图所示方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B3的坐标是 ，B2 024的纵坐标是 ．
三、解答题（本大题共5题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（12分）如图，直线l1：y＝2x＋b，直线l2：y＝kx＋5过点A(3，2)与y轴交于点B.
(1)求k的值；
(2)若l1与线段AB有公共点，试确定b的取值范围；
(3)若l1与线段AB的交点为整数点（即点的横、纵坐标均为整数的点），直接写出b的值．
15．（14分）一个水库的水位在最近6 h内持续上涨，6 h时达到警戒水位，开始开闸放水．下表记录了该水库12 h内水位的变化情况，其中x表示时间(h)，y表示水位高度(m).
x/h 0 2 4 6 8 10 12
y/m 6 7 8 9 8 7 6
(1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点；
(2)开闸放水前，水位高度y是时间x的一次函数，请求出这个函数表达式并写出x的取值范围；
(3)开闸放水后的函数表达式满足y＝－x＋12，据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度为多少m.
16．（14分）某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元．
运动服款式 甲款 乙款
进价（元/套） 60 80
售价（元/套） 100 150
(1)求y与x的函数表达式；
(2)该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？
(3)在(2)的条件下，服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中30＜a＜40），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，则购进甲款运动服多少套使该服装店获利最大（直接写出结果）.
17．（14分）我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y(m)与哥哥跑步的时间x(s)之间的函数图象如图．
(1)哥哥的速度是 m/s，哥哥让小明先跑了 米，小明后来的速度为 m/s.
(2)哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
(3)求哥哥跑几秒时，两人相距10米？
18．（14分）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为(4，1)，(4，5)，从点C(－1，0)发射光线，其图象对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0，x≥－1).
　　
(1)D为平面镜的中点，若光线恰好经过点D，求CD所在直线的表达式；
(2)若入射光线y＝mx＋n(m≠0，x≥－1)与平面镜AB有公共点，求n的取值范围；
(3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y＝mx＋n(m≠0，x≥－1)经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，直接写出点E是整点的个数．

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