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考点专题训练（一） 平面直角坐标系
（自测时间：90分钟　分值：120分）
考点过关自测：行列法　方位角＋距离　图形的位置与坐标　图形的运动与坐标
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3，4)，则OP的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．
2．如图，准确表示小岛A相对于灯塔O的位置是( )
A．北偏东60°
B．距灯塔2 km处
C．北偏东30°且距灯塔2 km处
D．北偏东60°且距灯塔2 km处
3．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用(－4，0)表示，小军的位置用(0，2)表示，那么你的位置可以表示成( )
A．(2，3) B．(4，6)
C．(3，2) D．(4，3)
4．已知点P1(a－2，1)和P2(1，b＋1)关于原点对称，则(a＋b)2 025的值为( )
A．1 B．－1
C．－2 025 D．2 025
5．已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )
A．a<－1 B．－1C．－
6．已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．如果点P(2，b)和点Q(a，－3)关于直线x＝1对称，则a＋b的值是( )
A．－3 B．1 C．－5 D．5
8．如图，四边形OABC为平行四边形，点A坐标为(1，－3)，点B坐标为(4，0)，M为AB上一点，将点M移动到OC上，则移动的最短距离为( )
A． B． C．4 D．2
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为( )
A．（，0） B．（，0）
C．（－1，0） D．（－1，0）
10．如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝，AB＝1，将△ABO绕点O旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为( )
A．（－1，）
B．（－1，）或（1，－）
C．（－1，－）
D．（－1，）或（－1，－）
二、填空题（本大题共3题，每题4分，共12分）
11．小明用如图所示的密码表玩听声音猜单词的游戏，如“咚咚”表示(1，1)，即O，“咚咚咚”表示(1，2)，即W.当听到“咚咚咚，咚咚咚咚咚，咚咚咚咚”时，表示的单词是 ．
12．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为(1，2)，(－1，3)，则点B的坐标为 ．
13．（河北邯郸磁县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点M(m，n)，若点N的坐标为(m－an，am＋n)，则称点N是点M的“a阶和谐点”（a为常数，且a≠0）.例如：点M(1，3)的“2阶和谐点”为点N(1－2×3，2×1＋3)，即点N的坐标为(－5，5).
(1)若点A(－2，－1)的“3阶和谐点”为点B，则点B的坐标为 ；
(2)若点C(t＋2，1－3t)的“－2阶和谐点”到x轴的距离为7，则t的值为 ．
三、解答题（本大题共5题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（12分）在平面直角坐标系中，已知点P(2m－7，n－6)在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1.
(1)分别求m的平方根和3n的平方根．
(2)设4m＋3n＋2的立方根为t，在同一个平面直角坐标系中还有一点Q，点Q的坐标为(t，t2－2)，请指出点Q是由点P怎样平移得到的？
15．（14分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为(2，2)，文化馆的坐标为(－1，3).
(1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)直接写出体育场、市场、超市的坐标；
(3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为(0，5)，(－2，－2)，请在图中标出A，B的位置．
16．（14分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(－6，7)，(－3，0)，(0，3).
(1)画出△ABC，并求△ABC的面积；
(2)在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′(5，4)，将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点A′，B′的坐标；
(3)P(－3，m)为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位长度后，再向上平移6个单位长度得到点Q(n，－3)，则m＝ ，n＝ .
17．（14分）已知点P(2a－3，a＋6)，解答下列各题．
(1)点Q的坐标为(3，3)，直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
(2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2 024＋2 024的值．
18．（14分）在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，若点Q的坐标为(ax＋y，x＋ay)，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）.例如：点P(1，4)的“2阶智慧点”为点Q(2×1＋4，1＋2×4)，即点Q(6，9).
(1)点A(－1，－2)的“3阶智慧点”的坐标为 .
(2)若点B(2，－3)的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
(3)若点C(m＋2，1－3m)的“－5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．考点专题训练（一） 平面直角坐标系
（自测时间：90分钟　分值：120分）
考点过关自测：行列法　方位角＋距离　图形的位置与坐标　图形的运动与坐标
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3，4)，则OP的长为(C)
A．3 B．4 C．5 D．
2．如图，准确表示小岛A相对于灯塔O的位置是(D)
A．北偏东60°
B．距灯塔2 km处
C．北偏东30°且距灯塔2 km处
D．北偏东60°且距灯塔2 km处
3．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用(－4，0)表示，小军的位置用(0，2)表示，那么你的位置可以表示成(B)
A．(2，3) B．(4，6)
C．(3，2) D．(4，3)
4．已知点P1(a－2，1)和P2(1，b＋1)关于原点对称，则(a＋b)2 025的值为(B)
A．1 B．－1
C．－2 025 D．2 025
5．已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是(B)
A．a<－1 B．－1C．－
6．已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在(A)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．如果点P(2，b)和点Q(a，－3)关于直线x＝1对称，则a＋b的值是(A)
A．－3 B．1 C．－5 D．5
8．如图，四边形OABC为平行四边形，点A坐标为(1，－3)，点B坐标为(4，0)，M为AB上一点，将点M移动到OC上，则移动的最短距离为(D)
A． B． C．4 D．2
过点A作AN⊥OB于点N，过点B作BE⊥OC于点E，设点M移动到OC上，移动的最短距离为h.
∵点A坐标为(1，－3)，点B坐标为(4，0)，
∴OB＝4，AN＝3，AB＝＝3.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC＝AB＝3，OA＝BC.
∵OB＝BO，∴△OBC≌△BOA(SSS)，
∴S OABC＝2S△AOB＝2××3×4＝12，
∴S OABC＝BE·OC＝3h＝12，解得h＝2.
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为(D)
A．（，0） B．（，0）
C．（－1，0） D．（－1，0）
10．如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝，AB＝1，将△ABO绕点O旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为(B)
A．（－1，）
B．（－1，）或（1，－）
C．（－1，－）
D．（－1，）或（－1，－）
在△ABO中，∵AB⊥OB，OB＝，AB＝1，
∴当△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1O，如图，
∴OB1＝OB＝，A1B1＝AB＝1，
∴点A1的坐标为（1，－）；
当△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O，如图，
∴OB1＝OB＝，A1B1＝AB＝1，
∴点A1的坐标为（－1，）.
综上所述，点A1的坐标为（－1，）或（1，－）.
二、填空题（本大题共3题，每题4分，共12分）
11．小明用如图所示的密码表玩听声音猜单词的游戏，如“咚咚”表示(1，1)，即O，“咚咚咚”表示(1，2)，即W.当听到“咚咚咚，咚咚咚咚咚，咚咚咚咚”时，表示的单词是CAT．
12．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为(1，2)，(－1，3)，则点B的坐标为(－2，－1)．
13．（河北邯郸磁县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点M(m，n)，若点N的坐标为(m－an，am＋n)，则称点N是点M的“a阶和谐点”（a为常数，且a≠0）.例如：点M(1，3)的“2阶和谐点”为点N(1－2×3，2×1＋3)，即点N的坐标为(－5，5).
(1)若点A(－2，－1)的“3阶和谐点”为点B，则点B的坐标为 (1，－7)；
(2)若点C(t＋2，1－3t)的“－2阶和谐点”到x轴的距离为7，则t的值为－2或．
(1)由题意，得点A(－2，－1)的“3阶和谐点”的坐标为点B(－2－3×（－1)，3×(－2)＋(－1)），即点B的坐标为(1，－7)；
(2)∵点C的坐标为(t＋2，1－3t)，
∴(t＋2)－(－2)×(1－3t)＝－5t＋4，－2(t＋2)＋1－3t＝－5t－3，即点C的“－2阶和谐点”为(－5t＋4，－5t－3).
∵点C(t＋2，1－3t)的“－2阶和谐点”到x轴的距离为7，
∴|－5t－3|＝7，即－5t－3＝7或－5t－3＝－7.
解得t＝－2或t＝.
三、解答题（本大题共5题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（12分）在平面直角坐标系中，已知点P(2m－7，n－6)在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1.
(1)分别求m的平方根和3n的平方根．
(2)设4m＋3n＋2的立方根为t，在同一个平面直角坐标系中还有一点Q，点Q的坐标为(t，t2－2)，请指出点Q是由点P怎样平移得到的？
(1)∵点P(2m－7，n－6)在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1，
∴2m－7＝1，n－6＝－3，解得m＝4，n＝3，
∴m的平方根为±＝±2，3n的平方根为±＝±3；
(2)当m＝4，n＝3时，4m＋3n＋2＝4×4＋3×3＋2＝27，
∴4m＋3n＋2的立方根t＝＝3.
当t＝3时，t2－2＝9－2＝7，∴点Q的坐标为(3，7).
∵点P的坐标为(1，－3)，
∴点Q(3，7)可以看作由点P(1，－3)先向右平移2个单位长度，再向上平移10个单位长度所得到的．
15．（14分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为(2，2)，文化馆的坐标为(－1，3).
(1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)直接写出体育场、市场、超市的坐标；
(3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为(0，5)，(－2，－2)，请在图中标出A，B的位置．
(1)根据题意，建立平面直角坐标系如图所示：
(2)体育场(－2，5)；市场(6，5)；超市(4，－1)；
(3)如图所示，点A，B即为所求．
16．（14分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(－6，7)，(－3，0)，(0，3).
(1)画出△ABC，并求△ABC的面积；
(2)在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′(5，4)，将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点A′，B′的坐标；
(3)P(－3，m)为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位长度后，再向上平移6个单位长度得到点Q(n，－3)，则m＝－9，n＝1.
(1)如图所示，△ABC即为所求；
S△ABC＝6×7－×6×4－×7×3－×3×3＝15.
(2)如图所示，△A′B′C′即为所求，A′(－1，8)，B′(2，1)；
(3)∵P(－3，m)为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位后，再向上平移6个单位得到点Q(n，－3)，
∴n＝－3＋4＝1，m＋6＝－3，∴n＝1，m＝－9.
故答案为：－9，1.
17．（14分）已知点P(2a－3，a＋6)，解答下列各题．
(1)点Q的坐标为(3，3)，直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
(2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2 024＋2 024的值．
(1)∵点Q坐标为(3，3)，且PQ∥y轴，
∴2a－3＝3，解得a＝3，
∴a＋6＝9，∴点P的坐标为(3，9).
(2)∵点P在第二象限，
∴2a－3<0，a＋6>0.
又∵点P到x轴和y轴的距离相等，
∴－2a＋3＝a＋6，解得a＝－1，
∴a2 024＋2 024＝(－1)2 024＋2 024＝2 025.
18．（14分）在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，若点Q的坐标为(ax＋y，x＋ay)，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）.例如：点P(1，4)的“2阶智慧点”为点Q(2×1＋4，1＋2×4)，即点Q(6，9).
(1)点A(－1，－2)的“3阶智慧点”的坐标为(－5，－7).
(2)若点B(2，－3)的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
(3)若点C(m＋2，1－3m)的“－5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
(1)点A(－1，－2)的“3阶智慧点”的坐标为(－3－2，－1－6)，即坐标为(－5，－7).
故答案为：(－5，－7).
(2)∵点B(2，－3)，
∴点B的“a阶智慧点”为(2a－3，2－3a).
又∵(2a－3，2－3a)在第三象限，
∴
解得∵a取整数，∴a＝1；
(3)∵点C(m＋2，1－3m)，
∴点C的“－5阶智慧点”为(－8m－9，16m－3).
∵点C的“－5阶智慧点”到x轴的距离为1，
∴|16m－3|＝1，
∴16m－3＝1或16m－3＝－1，
解得m＝或m＝.

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