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章末过关检测 二十一章
（考试时间：120分钟　满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC⊥BD
　　　
2．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线垂直 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．1 cmC．2 cm　　　
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，若EF＝8，则BD等于( )
A．6 B．8 C．16 D．4
6．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是( )
A．AB＝AD B．AB⊥BC
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将矩形沿对角线AC折叠，点B落在点F处，CF交AD于点E，则△CDE的面积为( )
A． B． C． D．26
　　　
8．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是( )
A．1 B．1－ C．0 D．3－2
9．如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1＋∠2＋∠3的度数为( )
A．180° B．210°
C．240° D．270°
10．如图，点E为正方形ABCD外一点，连接ED，且ED＝CD，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF.若∠CDE＝38°，则∠BFC的度数为( )
A．70° B．71°
C．81° D．82°
11．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，∠ACB＝30°，延长DC至点E，使得CE＝DC，连接OE交BC于点F，则CF的长度为( )
A．1 B．
C．2 D．
12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N.有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB＝OA；③∠MPN＝60°； ④PM＋PN＝BD.其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连接EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为 .
　　　 　　　
14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD为边向外作等边三角形ADE，连接BE交AC于点F，则∠BFC＝ °.
15．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，若AD＝4 cm，AB＝8 cm，则梯形的面积为 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）已知一个多边形的边数为n.
(1)若n＝6，则这个多边形的内角和为 ．
(2)若这个多边形的内角和的比一个七边形的外角和多72°，求n的值．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE.求证：
(1)△ABE≌△DCE；
(2)∠EAD＝∠EDA.
19．（8分）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连接AC.
(1)求证：四边形AECD是矩形；
(2)若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求BE的长．
21．（9分）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边在正方形的外部作等边三角形CDE，连接BE，AC，BE与AC交于点M，连接MD.
(1)求∠CBE的度数；
(2)求证：ME＝MA.
22．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，E是边AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明：四边形ADCF是菱形；
(3)若AB＝6，AC＝8，求菱形ADCF的面积．
23．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点．
(1)请过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F（保留作图痕迹，不要求写作法），则CE与AD的数量关系为 ；
(2)当D是AB中点时，连接CD和BE，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？
24．（12分）在 ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线于点F.
(1)在图1中，当CE＝CF时，求证：AF是∠BAD的平分线；
(2)根据(1)的条件和结论，
①如图2，若∠ABC＝90°，G是EF的中点，请求出∠BDG的度数；
②如图3，若∠ABC＝120°，且FG∥CE，FG＝CE，连接DB，DG，请直接写出∠BDG的度数．
　　章末过关检测 二十一章
（考试时间：120分钟　满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(B)
A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC⊥BD
　　　
2．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM等于(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是(D)
A．对角线垂直 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是(A)
A．1 cmC．2 cm　　　
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，若EF＝8，则BD等于(B)
A．6 B．8 C．16 D．4
6．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是(B)
A．AB＝AD B．AB⊥BC
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将矩形沿对角线AC折叠，点B落在点F处，CF交AD于点E，则△CDE的面积为(C)
A． B． C． D．26
　　　
8．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是(D)
A．1 B．1－ C．0 D．3－2
如图，过点C作AE的垂线，垂足为F.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，AC平分∠DAB，AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°－∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴AC＝2CF.
∵∠ABC＝120°，∴∠CBF＝60°，∴∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝1，
∴CF＝＝＝，∴AC＝2CF＝2，
∴AE＝AC＝2.
∵点E表示的数是3，∴点A表示的数是3－2.
9．如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1＋∠2＋∠3的度数为(A)
A．180° B．210°
C．240° D．270°
反向延长AB，ED.
∵AB∥ED，∴∠4＋∠5＝180°.
根据多边形的外角和定理，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°.
10．如图，点E为正方形ABCD外一点，连接ED，且ED＝CD，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF.若∠CDE＝38°，则∠BFC的度数为(B)
A．70° B．71°
C．81° D．82°
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠CDB＝45°.
∵ED＝CD，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA.
∵∠CDE＝38°，∴∠ADE＝90°＋38°＝128°，
∴∠DAE＝∠DEA＝＝26°.
在△ADF中，∠DAF＋∠AFD＋∠ADF＝180°，
即26°＋∠AFD＋45°＝180°，解得∠AFD＝109°.
∵在△ADF和△CDF中，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，∴∠AFD＝∠CFD＝109°，
∴∠BFC＝180°－∠CFD＝180°－109°＝71°.
11．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，∠ACB＝30°，延长DC至点E，使得CE＝DC，连接OE交BC于点F，则CF的长度为(B)
A．1 B．
C．2 D．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∠BCD＝90°，
∴OD＝OC.
∵∠ACB＝30°，∴∠OCD＝∠BCD－∠ACB＝90°－30°＝60°，
∴△CDO是等边三角形，∴OC＝CD＝CE＝AB＝3.
∵∠OCE＝∠OCF＋∠ECF＝30°＋90°＝120°，
∴∠COE＝∠E＝＝30°.
∵∠BOC＝180°－∠DOC＝180°－60°＝120°，
∴∠BOF＝∠BOC－∠COE＝120°－30°＝90°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴OF＝BF.
∵∠COF＝∠OCF，∴OF＝CF＝BF.
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6，
∴BC＝＝＝3，
∴CF＝BC＝.
12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N.有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB＝OA；③∠MPN＝60°； ④PM＋PN＝BD.其中正确的有(D)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
在菱形ABCD中，AB＝BC.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OB＝OA，故②正确；
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴∠AMP＝∠ANP＝90°.
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠MPN＝60°，故③正确；
如图，延长NP交BC于点G.
∵AD∥BC，PN⊥AD，
∴PG⊥BC.
∵PM⊥AB，BP平分∠ABC，
∴PM＝PG，
∴PM＋PN＝PG＋PN＝NG.
∵∠PBG＝∠PDN＝30°，
∴PB＝2PG，PD＝2PN，
∴PM＋PN＝PG＋PN＝PB＋PD＝(PB＋PD)＝BD，∴PM＋PN＝BD，故④正确，
综上所述，正确的有4个．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连接EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为5.
　　　 　　　
14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD为边向外作等边三角形ADE，连接BE交AC于点F，则∠BFC＝60°.
15．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，若AD＝4 cm，AB＝8 cm，则梯形的面积为（16＋32）cm2．
如图，分别过点A，D作梯形的高AE，DF，垂足分别为点E，F.
∵∠B＝45°，AB＝8 cm，
∴BE＝CF＝AE＝4 cm，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝2BE＋AD＝（8＋4） cm，
∴S梯形＝(AD＋BC)×AE＝×（4＋8＋4）×4＝（16＋32）cm2.
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值为＋1．
如图，取AB的中点E，连接CE，OE，AC.
由题意，得AB＝BC＝2.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∵E为AB的中点，∴BE＝BA＝×2＝1，CE⊥AB，
∴CE＝＝＝.
在Rt△ABO中，OE＝AB＝×2＝1，
∴OC≤OE＋CE≤＋1，
∴当C，O，E三点共线时，OC取最大值，最大值为＋1.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）已知一个多边形的边数为n.
(1)若n＝6，则这个多边形的内角和为720°．
(2)若这个多边形的内角和的比一个七边形的外角和多72°，求n的值．
(2)根据题意，得(n－2)×180°＝360°＋72°，解得n＝14.
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE.求证：
(1)△ABE≌△DCE；
(2)∠EAD＝∠EDA.
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS).
(2)∵△ABE≌△DCE，∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA.
19．（8分）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
(1)四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.
∵AF＝CE，∴AD－AF＝BC－CE，∴DF＝BE.
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)添加BE＝CE.理由如下：
∵AF＝CE，BE＝CE，∴AF＝BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连接AC.
(1)求证：四边形AECD是矩形；
(2)若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求BE的长．
(1)∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D＝90°，∴平行四边形AECD是矩形．
(2)∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，∴BA＝BC＝5.
∵EC＝2，∴BE＝BC＝CE＝3.
21．（9分）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边在正方形的外部作等边三角形CDE，连接BE，AC，BE与AC交于点M，连接MD.
(1)求∠CBE的度数；
(2)求证：ME＝MA.
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°.
∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝150°，CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB＝15°.
(2)如图，连接AE.
由(1)知，∠EBC＝∠BEC＝15°.
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠AMB＝∠BCM＋∠EBC＝45°＋15°＝60°.
∵∠ADC＋∠CDE＝90°＋60°＝150°，AD＝DE，
∴∠DAE＝＝15°.
∵∠CAD＝45°，∴∠MAE＝30°.
∵∠AMB＝∠MAE＋∠MEA＝60°，
∴∠MAE＝∠MEA＝30°，∴ME＝MA.
22．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，E是边AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明：四边形ADCF是菱形；
(3)若AB＝6，AC＝8，求菱形ADCF的面积．
(1)∵AF∥BC，∴∠F＝∠DBE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△AEF和△DEB中，
∴△AEF≌△DEB(AAS)；
(2)如图，连接CF.由(1)，知△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB.
∵D是边BC的中点，∴DB＝DC，
∴AF＝DC.
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，D是边BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形；
(3)∵D是边BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB·AC＝×6×8＝24.
23．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点．
(1)请过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F（保留作图痕迹，不要求写作法），则CE与AD的数量关系为AD＝CE；
(2)当D是AB中点时，连接CD和BE，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？
(1)如图所示，DE为所求图形．
∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC.
∵MN∥AB，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AD＝CE；
(2)四边形BECD是菱形，理由如下：
由(1)知，四边形ADEC是平行四边形，∴AD＝CE.
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴CE＝BD.
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AC＝BC，∴△ACB是等腰直角三角形．
∵D为AB中点，∴∠CDB＝90°，∴菱形BECD是正方形．
24．（12分）在 ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线于点F.
(1)在图1中，当CE＝CF时，求证：AF是∠BAD的平分线；
(2)根据(1)的条件和结论，
①如图2，若∠ABC＝90°，G是EF的中点，请求出∠BDG的度数；
②如图3，若∠ABC＝120°，且FG∥CE，FG＝CE，连接DB，DG，请直接写出∠BDG的度数．
　　
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF.
∵CE＝CF，∴∠F＝∠CEF，∴∠BAF＝∠DAF，
∴AF是∠BAD的平分线．
(2)①如图1，连接BG，CG.
图1
∵AB∥DC，∠ABC＝90°，∴∠ECF＝∠ABC＝90°.
∵CE＝CF，G是EF的中点，
∴CG＝FG＝EG＝EF，CG⊥EF，∠BCG＝∠FCG＝∠ECF＝45°，∠F＝∠CEF＝45°，
∴∠CGF＝90°，∠BCG＝∠F.
∵∠BEA＝∠DAF＝∠BAF，
∴EB＝AB＝CD，
∴EB＋CE＝CD＋CF，∴BC＝DF.
在△BCG和△DFG中，
∴△BCG≌△DFG(SAS)，
∴BG＝DG，∠BGC＝∠DGF，
∴∠BGD＝∠BGC－∠DGC＝∠DGF－∠DGC＝∠CGF＝90°，　
∴∠BDG＝∠DBG＝45°，
∴∠BDG的度数是45°.
②∠BDG的度数是60°.
理由：如图2，延长AB，FG交于点H，连接DH.
图2
∵FG∥CE∥AD，AB∥DC，
∴四边形AHFD和四边形BHFC都是平行四边形，∴HB＝CF＝CE.
∵FG＝CE，∴HB＝FG.
∵∠HFA＝∠DAF＝∠BAF，∴AH＝FH，∴四边形AHFD是菱形，
∴AD＝AH＝FD＝FH.
∵∠ABC＝120°，
∴∠DFH＝∠DAH＝180°－∠ABC＝180°－120°＝60°，
∴△ADH和△FDH都是等边三角形，
∴DH＝DF，∠DHB＝∠DFG＝∠FDH＝60°.
在△DHB和△DFG中，，
∴△DHB≌△DFG(SAS)，
∴∠BDH＝∠GDF，
∴∠BDG＝∠BDH＋∠GDH＝∠GDF＋∠GDH＝∠FDH＝60°，
∴∠BDG的度数是60°.

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