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第三节　万有引力定律的应用
[学习目标]　1.通过对万有引力定律的初步应用,了解万有引力定律在天文学上的重要作用.2.通过对“预测地球形状”“预测未知天体”所渗透的相关物理学史的学习,培养科学思维和科学探究能力.3.会运用万有引力定律估算天体的质量,体会科学理论对科学探索的指导价值.
知识点一　预测地球形状和未知天体
情境导学
牛顿通过万有引力定律成功预测了地球的形状,随着人类文明的进步,我们可以通过卫星更加直观地看到地球的面貌,如图所示,可知地球总体呈一个赤道部分隆起,两极略扁的椭球体.若将地球看成标准的球体,当人站在地球的不同位置,比如赤道、两极或者其他位置时,请思考:
(1)人在不同位置所受的万有引力有什么关系
(2)人在不同位置所受的重力有什么关系
提示:(1)在不同位置所受的万有引力大小相等,方向沿对应的地球半径指向地心.
(2)由于地球自转的影响,人在不同位置所受的重力大小不一定相等,方向也不一定指向地心.
知识整合
1.牛顿通过万有引力定律的理论计算,大胆预测:地球由于自转作用,赤道部分应该隆起,成为两极扁平的椭球体.
2.万有引力和重力的关系(地球质量M、物体质量m)
物体受到地球的引力大小:F=G.
(1)如图,若考虑地球自转影响,地球附近悬挂着的物体受到地球的引力产生两大作用效果:
一个分力与物体受到的拉力平衡,即F2=FT,这就是我们所熟悉的重力.
另一个分力提供物体随地球一起自转的向心力,即F1=mω2Rcos θ,其方向垂直指向地轴.
(2)指向地轴的分力F1实际上特别小,所以一般认为地球附近的物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力.
3.海王星的发现
英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶根据天王星的观测资料,利用万有引力定律推算出一颗新行星的运行轨道.1846年9月23日,柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测,终于,一颗新的行星——海王星被发现了.
4.英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”,确立了万有引力定律的地位,充分显示了科学理论对实践的巨大指导作用.
正误辨析
(1)地球表面的物体,重力就是物体所受的万有引力.(　×　)
(2)绕行星匀速转动的卫星,万有引力提供向心力.(　√　)
(3)海王星的发现表明了万有引力定律在太阳系内的正确性.(　√　)
归纳提升
1.万有引力和重力的关系
如图所示,万有引力F=G的两个作用效果分力,一个是物体的重力mg,另一个是物体随地球自转需要的向心力 F′=mω2r.
2.重力与纬度的关系:地面上物体的重力随纬度的升高而变大.
(1)赤道上:重力和向心力在一条直线上,F=F′+mg,即G=mω2R+mg,所以mg=G-mω2R.
(2)地球两极处:向心力为零,所以mg=F=G.
(3)其他位置:重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg3.重力与高度的关系:由于地球的自转角速度很小,故地球自转带来的影响很小,一般情况下认为在地面附近mg=G,若距离地面的高度为h,则mg′=G(R为地球半径,g′为离地面h高度处的重力加速度).所以距地面越高,物体的重力加速度越小,则物体所受的重力也越小.
典例研习
[例1] 诗句“坐地日行八万里,巡天遥看一千河”道出了地球自转对地表物体的影响.下列关于地表的某一物体所受重力的说法正确的是(　　)
A.物体所受重力方向一定指向地心
B.地球表面物体所受重力就是地球与物体间的万有引力
C.物体在地表随地球一起自转所需向心力的方向都指向地心
D.以上说法都不对
【答案】 D
【解析】 物体所受重力方向一定竖直向下,不一定指向地心,故A错误;地球表面物体所受重力是地球与物体间的万有引力的分力,故B错误;物体在地表随地球一起自转所需向心力的方向都指向地轴,故C错误;其他选项均错误,故D正确.
知识点二　估算天体的质量
情境导学
卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球重量的人”,他“称量”的依据是什么
提示:若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力,G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义.
知识整合
方法一:月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供,所以=m月()2r.由此可得地球的质量M地=.
方法二:地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力,有m物g=G.由此可得地球的质量M地=.
归纳提升
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法.
若已知天体的半径R及其表面的重力加速度g,根据在天体表面物体的重力近似等于天体对物体的万有引力,得mg=G,解得天体的质量为M=,g、R是天体自身的参量,若未知星球表面重力加速度,可通过实验测出,例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动,所以该方法俗称“自力更生法”.
(2)卫星环绕法.
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量,俗称“借助外援法”.常见的情况如下:
万有引力 提供向心力 中心天体 的质量 说明
G=m M= r为行星(或卫星)的轨道半径,v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G=mω2r M=
G=mr M=
2.天体密度的计算
若天体的半径为R,则天体的密度ρ=,将M=代入上式可得 ρ=.
特殊情况:当卫星环绕天体表面运动时,卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R,则ρ=.
典例研习
[例2] (重力加速度法)(多选)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放,二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落,经时间t落到月球表面.已知引力常量为G,月球的半径为R.不考虑月球自转的影响,下列表述正确的是(　　)
A.月球表面的自由落体加速度g月=
B.月球的质量M月=
C.月球的密度ρ月=
D.月球的密度ρ月=
【答案】 ABD
【解析】 月球表面附近的物体做自由落体运动,有 h=g月t2,月球表面的自由落体加速度g月=,故A正确;不考虑月球自转的影响,有G=mg月,得月球的质量M月=,故B正确;月球的密度ρ月===,故C错误,D正确.
[例3] (卫星环绕法)已知嫦娥六号在环月圆轨道上运行的周期为T,轨道半径与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　)
A.k3 B.k
C.(1+k)3 D.
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力,有=m(kR),又ρ=,解得ρ=k3,故选A.
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T,求得的M=是中心天体的质量,而不是行星(或卫星)的质量.
(2)为了避免混淆或乱用天体半径与轨道半径,应一开始就养成良好的习惯,比如通常情况下天体半径用R表示,轨道半径用r表示,这样就可以避免如ρ=误约分;只有卫星(如近地卫星)在天体表面做匀速圆周运动时,才可认为r=R.
知识点三　天体的运动分析
归纳提升
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,故可建立基本关系式G=ma,式中a是向心加速度.
2.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的 关系 G =m v= r越大, v越小
ω与r的 关系 G =mω2r ω= r越大, ω越小
T与r的 关系 G =m()2r T=2π r越大, T越大
a与r的 关系 G =ma a= r越大, a越小
典例研习
[例4] (2025·河南卷,3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b,它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动.已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的,其母恒星质量约为太阳质量的,则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为(　　)
A.13天 B.27天 C.64天 D.128天
【答案】 A
【解析】 地球绕太阳运行的周期约为365天,根据万有引力提供向心力得=mr0,已知r=r0,M=M0,同理得=mr,整理得=,代入数据得T=T0≈13天,故选A.
解答天体运动问题的技巧
(1)建立模型.
不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等),只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动,就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题.
(2)列方程求解.
根据中心天体对环绕星体的万有引力提供向心力,列出合适的向心力表达式进行求解.
F引=F向=ma=G=m=mω2r=mr.
课时作业
考点一　万有引力和重力的关系
1.(多选)地球绕地轴自转时,对静止在地面上的某一个物体,下列说法正确的是(　　)
A.物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力
B.在地面上的任何位置,物体向心加速度的大小都相等,方向都指向地心
C.在地面上的任何位置,物体向心加速度的方向都垂直指向地轴
D.物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的减小而增大
【答案】 ACD
【解析】 考虑地球自转时,地面上的物体随着地球的自转而做圆周运动,其运动平面与地轴垂直,选项C正确;由于在不同位置的轨道半径各不相同,故向心力大小不一样,在赤道时向心力最大,选项B错误,D正确;地面上的物体随地球自转做圆周运动时的向心力远小于万有引力(重力近似等于万有引力),选项A正确.
2.(2024·甘肃卷,3)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是(　　)
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
【答案】 D
【解析】 在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,万有引力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,故A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度.由万有引力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg′=G=mr,整理得天宫实验室轨道处的重力加速度为g′=r,故通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行,D正确.
3.某科幻影片中,太空电梯高耸入云,在地表与太空间高速穿梭.太空电梯上升到某高度时的重力加速度为g,g为地球表面重力加速度.已知地球半径为R,不考虑地球自转,则此时电梯距离地面的高度为(　　)
A.2R B.R
C.R D.(-1)R
【答案】 B
【解析】 在地面时G=mg,在某高度时 G=m·g,解得h=R,故选B.
考点二　中心天体的质量和密度
4.2025年4月1日,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭,以一箭四星的方式,成功将互联网技术试验卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务取得圆满成功.设试验卫星的轨道半径为r,周期为T,地球的半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.地球的质量为
B.地球的质量为
C.地球的密度为
D.地球的密度为
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力,有G=m,可得地球的质量M=,故A正确,B错误;地球的体积 V=πR3,可得地球密度为ρ==,故C、D错误.
5.中子星是一种密度很大的特殊天体.若某中子星恰好能维持不解体,其自转周期为T,已知引力常量为G,则中子星的平均密度为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 当中子星恰好能维持自转不解体时,万有引力充当向心力,=m()2R,又M=ρ·πR3,解得ρ=,故选B.
考点三　天体的运动分析与计算
6.如图为行星绕太阳运行的图像,某同学对这些行星运行中的物理量进行对比分析,下列说法正确的是(　　)
A.土星比木星的线速度大
B.火星比地球的角速度大
C.金星比水星的向心加速度大
D.土星运行周期最大
【答案】 D
【解析】 根据万有引力提供向心力,有G=m,解得 v=,由题图知运行半径r土>r木,则 v土r地,则ω火<ω地,故B错误;由G=mr,解得T=2π,由题图知r土最大,则土星运行周期最大,故D正确;由 =ma,得行星做圆周运动的加速度a=,由题图知r金>r水,则a金7.(2025·广东卷,5)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍.关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【答案】 D
【解析】 根据题意,设地球与太阳间距离为R,则小行星公转轨道的半长轴为a==6R,由开普勒第三定律有=,解得T行==6 年,A错误;从远日点到近日点,小行星与太阳间距离减小,由万有引力定律F=可知,小行星受太阳引力增大,B错误;由开普勒第二定律可知,从远日点到近日点,小行星线速度逐渐增大,C错误;由牛顿第二定律有=ma,解得a=,可知==,D正确.
8.国际科研团队发现了两颗距离地球仅100光年的新行星,其中一颗可能适合生命生存.这两颗行星分别是LP890-9b(以下简称行星A)和LP890-9c(以下简称行星B).行星A的半径约为8 370千米,仅需2.7天就能绕恒星C一圈;行星B半径约为8 690千米,8.5天能绕恒星C一圈,行星B到恒星C的距离约为水星与太阳间距离的十分之一,水星的公转周期约为88天.假设行星A、B绕恒星C做匀速圆周运动,则(　　)
A.行星A表面的重力加速度大于行星B表面的重力加速度
B.行星A的公转轨道半径大于行星B的公转轨道半径
C.太阳的质量大于恒星C的质量
D.水星的公转速度大于行星B的公转速度
【答案】 C
【解析】 根据万有引力提供行星表面重力加速度得 G=m0g,故重力加速度为g=,行星A与行星B的质量关系未知,故无法判断两行星表面的重力加速度的大小,A错误;根据开普勒第三定律=k,由题意可知,TAMC,C正确;根据公转速度与公转周期的关系v=,故行星B的公转速度与水星的公转速度之比为=·>1,故v水9.(2024·山东卷,5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a.已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 “鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时,根据开普勒第三定律有=k,同理,对地球同步卫星有 =k′,对于地球同步卫星,有=,解得=,故可得开普勒常量与中心天体的质量成正比,所以=,联立可得=.
10.某星系中有一颗质量分布均匀的行星,其半径为R,将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上,在该行星极地表面静止时,弹簧测力计的示数为F;在赤道表面静止时,弹簧测力计的示数为F.已知引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A.该行星的自转周期为
B.该行星的质量为
C.该行星赤道处的重力加速度为
D.该行星的密度为
【答案】 D
【解析】 物块在该行星极地表面静止时,万有引力等于重力,G=mg极=F,在赤道表面静止时,万有引力和重力的合力提供向心力,G-mg赤=F向,其中mg赤=F,联立解得F向=F,根据向心力公式F向=mR可得,该行星的自转周期为T=,故A错误;物块在该行星极地表面静止时,万有引力等于重力,G=mg极=F,解得M=,故B错误;物块在赤道表面静止时,根据平衡条件,重力等于弹簧测力计的拉力,即mg赤=F,解得g赤=,故C错误;根据ρ=可知,该行星的密度为ρ====,故D正确.
11.我国计划在2030年前实现载人登月计划,该计划各项工作进展顺利.假设我国航天员登陆月球后,从月球表面以初速度v0竖直向上抛出一颗小球(可视为质点),经过时间t小球落回到抛出点.已知月球半径为R,引力常量为G,月球无空气且不考虑月球自转.求:
(1)月球表面的重力加速度g月;
(2)月球的质量M;
(3)月球的密度ρ.
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)月球表面处的重力加速度为g月,
根据题意可知2v0=g月t,解得g月=.
(2)在月球表面有mg月=G,
解得M=.
(3)根据M=ρV,V=πR3,
解得ρ=.
12.万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性.
(1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力,随称量位置的变化可能会有不同结果.已知地球质量为M,自转周期为T,引力常量为G.将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体,不考虑空气的影响.设在地球北极地面称量时,弹簧测力计的读数是F0.
若在北极上空高出地面h处称量,弹簧测力计读数为F1,求比值的表达式,并就h=1.0%R的情形算出具体数值(结果保留2位有效数字).
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变.仅考虑太阳与地球之间的相互作用,以现实地球的1年为标准,计算“设想地球”的1年将变为多长.
【答案】 (1)=　0.98
(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
【解析】 (1)物体在北极所受重力等于地球对物体的万有引力,有
F0=G,
F1=G,
解得=,
当h=1.0%R时,≈0.98.
(2)根据万有引力提供向心力,有
G=mr,
解得T=2π,
又因为M=ρV=ρ×π,
联立解得T=,
从上式可知,当三者均减小为现在的1.0%时,地球公转周期不变.(共16张PPT)
第一节　认识天体运动
第三章　万有引力定律
1.通过对天体运动发展史的初步认识,了解地心说、日心说,加深对物质运动观念的理解.2.知道开普勒定律及其科学价值,体会观察模型建构在认识行星运动规律中的作用,培养科学思维.3.能用开普勒定律解决天体运动问题,认识科学定律对人类探索未知世界的作用.
[学习目标]　
知识点一　对天体运动的认识
「知识整合」
从地心说到日心说
(1)地心说.
是静止不动的,位于宇宙中心,太阳、月亮以及其他行星都绕 运动.以天文学家 为代表人物.
(2)日心说.
是宇宙的中心,地球和其他行星都围绕太阳运动.由波兰天文学家
提出.
地球
地球
托勒密
太阳
哥白尼
「正误辨析」
(1)太阳每天东升西落,说明太阳绕着地球运动.(　 　)
(2)宇宙的中心是太阳,所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动.(　 　)
(3)地心说是错误的,而日心说是正确的.(　 　)
×
×
×
知识点二　开普勒定律
「知识整合」
项目 内容 图示或公式
开普勒 第一定律 所有行星围绕太阳运行的轨道都是 ,太阳处在 的一个 上
椭圆
椭圆
焦点
开普勒 第二定律 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在 时间内扫过 的面积
开普勒 第三定律 所有行星的轨道 的三次方与它 的二次方之比都相等 ,k是一个与 无关而与 有关的常量
相等
相等
半长轴
公转周期
行星
太阳
「问题思考」
1.如图所示是地球绕太阳公转及四季的示意图,由图可知地球在春分日、夏至日、秋分日和冬至日四天中哪一天绕太阳运动的速度最大 哪一天绕太阳运动的速度最小 为什么
提示:冬至日速度最大;夏至日速度最小.由题图可知,冬至日地球在近日点附近,夏至日在远日点附近,由开普勒第二定律可知,冬至日地球绕太阳运动的速度最大,夏至日地球绕太阳运动的速度最小.
2.如图所示是“金星凌日”的示意图,观察图中地球、金星的位置,地球和金星哪一个的公转周期更长 为什么
提示:地球.由题图可知,地球到太阳的距离大于金星到太阳的距离,根据开普勒第三定律可得,地球的公转周期更长一些.
「归纳提升」
对开普勒三定律的理解
定律 认识角度 理解
开普勒 第一定律 对空间 分布的 认识 各行星的椭圆轨道尽管大小不同,但太阳是所有轨道的一个共同焦点
不同行星的轨道是不同的,可能相差很大
开普勒 第二定律 对速度 大小的 认识 行星沿椭圆轨道运动靠近太阳时速度增大,远离太阳时速度减小
近日点速度最大,远日点速度最小
开普勒 第三定律 对周期 长短的 认识 椭圆轨道半长轴越长的行星,其公转周期越长
该定律不仅适用于行星,也适用于其他天体
常数k只与其中心天体有关
「典例研习」
[例1] (对开普勒三定律的理解)关于开普勒行星运动定律,下列说法正确的是(　　)
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
B.行星轨道的半长轴越长,其公转周期越大
C.行星绕太阳运动时,离太阳越远运行速度越大
D.行星绕太阳运行时,它与太阳的连线在任意相等的时间内所扫过的面积不相等
B
[例2] (开普勒定律的应用)(2025·云南卷,5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动.规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示.忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　)
C
行星 水星 金星 地球 火星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5
行星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间 B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间 D.天王星与海王星的公转轨道之间
应用开普勒行星运动定律分析天体问题的方法
(1)天体虽然做椭圆运动,有时为简化运算,可以把天体的运动当作圆周运动来研究,椭圆轨道的半长轴即圆轨道半径.
·方法点拨·
(3)比较行星轨道上不同点的速度大小,用开普勒第二定律;涉及椭圆轨道的周期问题,用开普勒第三定律.
感谢观看(共30张PPT)
第四节　宇宙速度与航天
1.通过宇宙速度和人造卫星等知识的学习,进一步形成物理观念和运动观念;会推导第一宇宙速度,培养构建物理模型的能力,培养科学思维.2.通过估算同步卫星的高度,培养处理信息、进行交流和反思的能力.3.了解宇宙航行的历程和进展,感受人类对客观世界不断探究的精神和情感,了解我国在探索太空中取得的成就,培养科学态度与责任.
[学习目标]　
知识点一　宇宙速度
「知识整合」
1.第一宇宙速度
(1)意义:航天器在 绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度,也叫 .
(2)数值单位: km/s.
地面附近
环绕速度
7.9
2.第二宇宙速度
(1)意义:航天器挣脱地球的引力,不再绕地球运行,而是绕 运动或飞向
的速度,又叫 .
(2)数值单位: km/s.
3.第三宇宙速度
(1)意义:使航天器挣脱 的引力,飞出 的速度.
(2)数值单位: km/s.
太阳
其他行星
逃逸速度
11.2
太阳
太阳系
16.7
「正误辨析」
(1)如果在地面发射卫星的速度大于 11.2 km/s,卫星会永远离开地球.(　 　)
(2)在地面上发射人造地球卫星的最小速度是 7.9 km/s.(　 　)
(3)太阳系所有行星的第一宇宙速度大小都为 7.9 km/s.(　 　)
(4)火星探测器发射速度一定达到了第二宇宙速度.(　 　)
×
√
√
√
「归纳提升」
1.第一宇宙速度的求解方法
3.对最小发射速度和最大环绕速度的理解
(1)最小发射速度:近地轨道是人造卫星的最低运行轨道,而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度,向更高轨道发射人造卫星需要更大的速度来克服地球对它的引力,所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度.
「典例研习」
[例1] (对三种宇宙速度的理解)宇宙速度是从地球表面向宇宙空间发射人造地球卫星、行星际和恒星际飞行器所需的最低速度.下列关于宇宙速度的说法正确的是(　　)
A.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度
B.若飞行器的发射速度大于第二宇宙速度,则飞行器将绕地球做椭圆运动
C.若飞行器的发射速度大于第三宇宙速度,则飞行器将绕太阳运动
D.卫星绕地球做圆周运动的速率可能大于第一宇宙速度
A
【解析】 第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,也是地球卫星绕地球飞行的最大速度,故A正确,D错误;第二宇宙速度是在地面上发射物体,使之成为绕太阳运动或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度,故B错误;第三宇宙速度是在地面上发射物体,使之飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度,故C错误.
发射速度与人造地球卫星的轨道关系
(1)当v=7.9 km/s时,卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动.
(2)当7.9 km/s(3)当11.2 km/s≤v<16.7 km/s时,卫星绕太阳旋转,成为太阳系一颗“小行星”.
(4)当v≥16.7 km/s时,卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去.
·方法点拨·
[例2] (第一宇宙速度的推导计算)科学家在距地球 1 400亿光年的天鹅座发现一颗类地行星,该行星与地球的相似度达到0.98,若该行星的密度与地球的相同,直径是地球直径的1.6倍,地球的第一宇宙速度为7.9 km/s,则该行星的第一宇宙速度为(　 　)
A.4.9 km/s B.11.2 km/s
C.12.6 km/s D.17.6 km/s
C
第一宇宙速度的计算方法
对于任何天体,计算第一宇宙速度时,都是根据万有引力提供向心力的思路,人造卫星的轨道半径等于中心天体的半径,由万有引力定律和牛顿第二定律列式计算.
(1)如果知道中心天体的质量和半径,可直接列式计算.
(2)如果不知道中心天体的质量和半径的具体数值,但知道该中心天体与地球的质量、半径关系,可分别列出中心天体与地球环绕速度的表达式,用比例法进行计算.
·方法点拨·
知识点二　人造地球卫星及遨游太空
「情境导学」
如图所示,在地球的周围,有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动.
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点
提示:(1)轨道平面过地心.
(2)卫星可以绕着某一经度线或某一纬度线运动吗
提示:(2)没有绕某一经度线转动的卫星,因为地球的自转导致卫星的运行轨道不会与某一经度线重合;有绕着赤道转动的卫星,但没有绕着其他纬度线转动的卫星,因为其他纬度线的圆心不在地心上.
(3)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度跟什么因素有关呢
提示:(3)与轨道半径有关.
「知识整合」
1.人造地球卫星
(1)意义:人造卫星是指 在宇宙空间轨道上运行的无人航天器.
(2)静止轨道卫星是指与地球 的卫星.这种卫星的轨道平面与
重合,并且位于赤道上空 的高度上.
环绕地球
相对静止
赤道平面
一定
2.遨游太空
人类航天之旅如表所示:
时间 国家 活动内容
1957年10月 苏联 发射第一颗人造地球卫星
1961年4月 苏联 世界第一艘载人宇宙飞船“ ”载着苏联航天员 环绕地球一圈,第一次实现了人类遨游太空的梦想
东方1号
加加林
1969年7月 美国 “ ”宇宙飞船将两名航天员送上了月球,实现人类第一次登月
1970年4月 中国 我国第一颗人造卫星——“ ”发射成功
1971年4月 苏联 发射“ ”空间站
2003年10月 中国 “ ”飞船成功发射,把我国第一位航天员
送入太空.这是中国首次载人航天飞行
阿波罗11号
东方红一号
礼炮1号
神舟五号
杨利伟
2007年10月 中国 “ ”探月卫星发射成功,中国首次对月球进行探测
2016年9月 中国 “ ”空间实验室发射成功
2017年4月 中国 “ ”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成首次推进剂在轨补加,正式宣告中国航天事业迈进“空间站”时代
2021年4月 中国 “ ”核心船的成功发射与入轨,标志着我国空间站建造进入全面实施阶段
嫦娥一号
天宫二号
天舟一号
天和
「问题思考」
(1)地球同步卫星运行的线速度、角速度、加速度与月球绕地球运行的线速度、角速度、加速度比较,其大小关系如何
(2)假如已知月球的自转角速度为ω0,月球的质量为M,半径为R,那么在月球上发射一颗月球的同步卫星,其距离月球表面的高度怎样确定
「归纳提升」
1.人造卫星的轨道:卫星绕地球做匀速圆周运动时,由地球对它的万有引力提供向心力.因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合,其轨道可分为三类,如图所示.
(1)静止轨道:卫星的轨道与赤道共面,卫星始终处于赤道正上方.
(2)非静止轨道.
①极地轨道:卫星的轨道与赤道平面垂直,卫星经过两极上空.
②任意轨道:卫星的轨道与赤道平面成某一角度.
2.人造地球卫星的运行参量与r的关系
当
r
增
大
时
3.静止轨道卫星的特点
(1)确定的转动方向:和地球自转方向一致.
(2)确定的周期:和地球自转周期相同,即 T=24 h.
(3)确定的角速度:等于地球自转的角速度.
(4)确定的轨道平面:所有的静止轨道卫星都在赤道的正上方,其轨道平面必须与赤道平面重合.
(5)确定的高度:离地面高度固定不变(3.6×104 km).
(6)确定的环绕速率:线速度大小一定.
「典例研习」
A.不同质量的天通一号卫星轨道半径不相等
B.它们的运行速度都大于7.9 km/s
C.它们可以在北京的上空保持相对静止
D.它们的向心加速度均小于地面上物体的重力加速度
D
处理卫星运行问题的特别提醒
(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同.
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同,最大环绕速度等于最小发射速度.
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同.
(4)卫星的a、v、ω、T是相互联系的,如果一个量发生变化,其他量也随之发生变化.这些量与卫星的质量无关,它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定.
·方法点拨·
感谢观看章末总结
命题热点1　卫星“追及”问题
　两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动,a卫星的角速度为ωa,b卫星的角速度为ωb,若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方,相距最近(如图甲所示).
当它们转过的角度之差Δθ=π,即满足 ωaΔt-ωbΔt=π时,两卫星第一次相距最远,如图乙所示.
当它们转过的角度之差Δθ=2π,即满足ωaΔt-ωbΔt=2π时,两卫星再次相距最近.
经过一定的时间,两卫星又会相距最远和最近.
(1)两卫星相距最远的条件:
ωaΔt-ωbΔt=(2n+1)π(n=0,1,2,…).
(2)两卫星相距最近的条件:
ωaΔt-ωbΔt=2nπ(n=1,2,3,…).
[例1] (多选)如图所示,甲、乙两卫星沿相同方向绕地球做匀速圆周运动,甲卫星周期为T1,乙卫星周期为T2,某时刻两卫星恰好相距最远,则(　　)
A.至少需时间,两卫星相距最近
B.至少需时间,两卫星相距最近
C.至少需时间,两卫星再次相距最远
D.至少需时间,两卫星再次相距最远
【答案】 AD
【解析】 某时刻两卫星相距最远,则可知经过时间Δt两卫星相距最近时满足(-)Δt=(2k-1)π(k=1,2,3,…),则Δt=,当k取1时,Δt=,A正确,B错误;同理当两颗卫星经过Δt′时间相距最远时满足(-)Δt′=2kπ(k=1,2,3,…),则Δt′=,当k取1时,Δt′=,C错误,D正确.
命题热点2　重力与万有引力的关系
1.地球表面
地面上的物体所受地球的万有引力产生两个效果,其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力,另一个分力等于重力.
(1)在两极,向心力等于零,重力等于万有引力;
(2)除两极外,物体受到的重力都比万有引力小;
(3)在赤道处,物体所受万有引力F和支持力FN的合力提供向心力有F-FN=F向,其中FN=mg,所以mg=F-F向=-mR.
2.地球表面附近(脱离地面)
物体在地球表面附近(脱离地面)时,物体所受的重力等于地球表面处的万有引力,即mg=,R为地球半径,g为地球表面附近的重力加速度,此处有GM=gR2.
3.距地面一定高度处
物体在距地面一定高度h处时,mg′=,R为地球半径,g′为该高度处的重力加速度.
[例2] 万有引力定律清楚地向人们揭示,复杂的运动隐藏着简洁的科学规律,天上和地上的物体都遵循着相同的科学法则.已知地球的质量为M(视为质量分布均匀的球体),半径为R,引力常量为G.
(1)不考虑地球的自转,求地球表面附近的重力加速度大小.
(2)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.求深度为d的矿井底部的重力加速度大小.
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)不考虑地球的自转,在地球表面附近,物体所受重力等于万有引力,有G=mg,
解得g=.
(2)设地球平均密度为ρ,则M=ρ·πR3,
在矿井底部物体所受重力等于万有引力,有
G=mg′,
又M1=ρ·π(R-d)3,
深度为d的矿井底部的重力加速度大小
g′=.
命题热点3　天体质量和密度的计算
1.利用中心天体的半径R和表面重力加速度g计算
(1)由G=mg,得天体质量M=.
(2)天体密度ρ===.
2.利用卫星的轨道半径r和周期T计算
(1)由G=mr,得M=.
(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===.
(3)若卫星绕天体表面运行,可认为r=R,则天体密度ρ=.
[例3] (多选)(2025·安徽卷,9)2025年4月,我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点.若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T.月球的质量为M,半径为R,引力常量为G.假设只考虑月球对甲、乙的引力,则(　　)
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
【答案】 BC
【解析】 对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道,根据开普勒第三定律有=,可得 r=+R,故A错误,B正确;对于环月圆轨道,根据万有引力提供向心力可得=m()2r,可得M=,故C正确,D错误.
命题热点4　天体运动与人造卫星
1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,所以研究天体时可建立基本关系式:G=ma,式中a是向心加速度.
2.常用的关系式
(1)G=m=mω2r=mr,万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力.
(2)mg=G,即gR2=GM,物体在天体表面时受到的引力等于物体受到的重力.该公式通常被称为黄金代换式.
[例4] “祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季.假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的 1.88倍.火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动.下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　)
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
【答案】 D
【解析】 根据题述,火星冬季时长约为地球的1.88倍,可知火星绕太阳运动的周期是地球的1.88倍,由开普勒第三定律可知,火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径比地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径大,选项C错误;由万有引力提供向心力有 G=m,解得v=,由r火>r地可得 v火r地可得ω火<ω地,选项B错误;由万有引力提供向心力有G=man,解得an=,由r火>r地可得an火[学习目标]　1.通过宇宙速度和人造卫星等知识的学习,进一步形成物理观念和运动观念;会推导第一宇宙速度,培养构建物理模型的能力,培养科学思维.2.通过估算同步卫星的高度,培养处理信息、进行交流和反思的能力.3.了解宇宙航行的历程和进展,感受人类对客观世界不断探究的精神和情感,了解我国在探索太空中取得的成就,培养科学态度与责任.
知识点一　宇宙速度
知识整合
1.第一宇宙速度
(1)意义:航天器在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度,也叫环绕速度.
(2)数值单位:7.9 km/s.
2.第二宇宙速度
(1)意义:航天器挣脱地球的引力,不再绕地球运行,而是绕太阳运动或飞向其他行星的速度,又叫逃逸速度.
(2)数值单位:11.2 km/s.
3.第三宇宙速度
(1)意义:使航天器挣脱太阳的引力,飞出太阳系的速度.
(2)数值单位:16.7 km/s.
正误辨析
(1)如果在地面发射卫星的速度大于 11.2 km/s,卫星会永远离开地球.(　√　)
(2)在地面上发射人造地球卫星的最小速度是 7.9 km/s.(　√　)
(3)太阳系所有行星的第一宇宙速度大小都为 7.9 km/s.(　×　)
(4)火星探测器发射速度一定达到了第二宇宙速度.(　√　)
归纳提升
1.第一宇宙速度的求解方法
(1)环绕法:地球对航天器的万有引力提供航天器做圆周运动的向心力,有G=m,其中r=R,代入数据解得v=≈7.9 km/s.
(2)代换法:地球表面卫星受到的地球引力近似等于卫星在地面的重力,有mg=m,代入数据得 v=≈7.9 km/s.
2.决定因素:由第一宇宙速度的两种表达式可以看出,第一宇宙速度由中心天体决定,即任何一颗行星都有自己的第一宇宙速度,都应以v=或 v= 表示,式中G为引力常量,M为中心天体的质量,g为中心天体表面的重力加速度,R为中心天体的半径.
3.对最小发射速度和最大环绕速度的理解
(1)最小发射速度:近地轨道是人造卫星的最低运行轨道,而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度,向更高轨道发射人造卫星需要更大的速度来克服地球对它的引力,所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度.
(2)最大环绕速度:在所有环绕地球做匀速圆周运动的人造卫星中,近地人造卫星的轨道半径最小,根据G=m可得v=,所以近地人造卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度.
典例研习
[例1] (对三种宇宙速度的理解)宇宙速度是从地球表面向宇宙空间发射人造地球卫星、行星际和恒星际飞行器所需的最低速度.下列关于宇宙速度的说法正确的是(　　)
A.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度
B.若飞行器的发射速度大于第二宇宙速度,则飞行器将绕地球做椭圆运动
C.若飞行器的发射速度大于第三宇宙速度,则飞行器将绕太阳运动
D.卫星绕地球做圆周运动的速率可能大于第一宇宙速度
【答案】 A
【解析】 第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,也是地球卫星绕地球飞行的最大速度,故A正确,D错误;第二宇宙速度是在地面上发射物体,使之成为绕太阳运动或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度,故B错误;第三宇宙速度是在地面上发射物体,使之飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度,故C错误.
发射速度与人造地球卫星的轨道关系
(1)当v=7.9 km/s时,卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动.
(2)当7.9 km/s(3)当11.2 km/s≤v<16.7 km/s时,卫星绕太阳旋转,成为太阳系一颗“小行星”.
(4)当v≥16.7 km/s时,卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去.
[例2] (第一宇宙速度的推导计算)科学家在距地球 1 400亿光年的天鹅座发现一颗类地行星,该行星与地球的相似度达到0.98,若该行星的密度与地球的相同,直径是地球直径的1.6倍,地球的第一宇宙速度为7.9 km/s,则该行星的第一宇宙速度为(　　)
A.4.9 km/s B.11.2 km/s
C.12.6 km/s D.17.6 km/s
【答案】 C
【解析】 设该行星的第一宇宙速度为v,质量为M,半径为R,地球的第一宇宙速度为v1,地球的质量为M1,半径为R1,卫星的质量为m,根据万有引力提供向心力有 G=m,解得v=,同理得v1=,又因为R=1.6R1,M=ρ×πR3=1.63M1,整理得v=1.6v1≈12.6 km/s,故C正确.
第一宇宙速度的计算方法
对于任何天体,计算第一宇宙速度时,都是根据万有引力提供向心力的思路,人造卫星的轨道半径等于中心天体的半径,由万有引力定律和牛顿第二定律列式计算.
(1)如果知道中心天体的质量和半径,可直接列式计算.
(2)如果不知道中心天体的质量和半径的具体数值,但知道该中心天体与地球的质量、半径关系,可分别列出中心天体与地球环绕速度的表达式,用比例法进行计算.
知识点二　人造地球卫星及遨游太空
情境导学
如图所示,在地球的周围,有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动.
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点
(2)卫星可以绕着某一经度线或某一纬度线运动吗
(3)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度跟什么因素有关呢
提示:(1)轨道平面过地心.
(2)没有绕某一经度线转动的卫星,因为地球的自转导致卫星的运行轨道不会与某一经度线重合;有绕着赤道转动的卫星,但没有绕着其他纬度线转动的卫星,因为其他纬度线的圆心不在地心上.
(3)与轨道半径有关.
知识整合
1.人造地球卫星
(1)意义:人造卫星是指环绕地球在宇宙空间轨道上运行的无人航天器.
(2)静止轨道卫星是指与地球相对静止的卫星.这种卫星的轨道平面与赤道平面重合,并且位于赤道上空一定的高度上.
2.遨游太空
人类航天之旅如表所示:
时间 国家 活动内容
1957年10月 苏联 发射第一颗人造地球卫星
1961年4月 苏联 世界第一艘载人宇宙飞船“东方1号”载着苏联航天员加加林环绕地球一圈,第一次实现了人类遨游太空的梦想
1969年7月 美国 “阿波罗11号”宇宙飞船将两名航天员送上了月球,实现人类第一次登月
1970年4月 中国 我国第一颗人造卫星——“东方红一号”发射成功
1971年4月 苏联 发射“礼炮1号”空间站
2003年10月 中国 “神舟五号”飞船成功发射,把我国第一位航天员杨利伟送入太空.这是中国首次载人航天飞行
2007年10月 中国 “嫦娥一号”探月卫星发射成功,中国首次对月球进行探测
2016年9月 中国 “天宫二号”空间实验室发射成功
2017年4月 中国 “天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成首次推进剂在轨补加,正式宣告中国航天事业迈进“空间站”时代
2021年4月 中国 “天和”核心船的成功发射与入轨,标志着我国空间站建造进入全面实施阶段
问题思考
(1)地球同步卫星运行的线速度、角速度、加速度与月球绕地球运行的线速度、角速度、加速度比较,其大小关系如何
(2)假如已知月球的自转角速度为ω0,月球的质量为M,半径为R,那么在月球上发射一颗月球的同步卫星,其距离月球表面的高度怎样确定
提示:(1)已知地球同步卫星的周期T同=24 h,月球的公转周期T月=27天,根据万有引力提供向心力,有G=mr,可知r同(2)设月球的同步卫星距离月球表面高度为h,其角速度应等于月球的自转角速度ω0,根据万有引力提供向心力,有G=m(R+h),解得 h=-R.
归纳提升
1.人造卫星的轨道:卫星绕地球做匀速圆周运动时,由地球对它的万有引力提供向心力.因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合,其轨道可分为三类,如图所示.
(1)静止轨道:卫星的轨道与赤道共面,卫星始终处于赤道正上方.
(2)非静止轨道.
①极地轨道:卫星的轨道与赤道平面垂直,卫星经过两极上空.
②任意轨道:卫星的轨道与赤道平面成某一角度.
2.人造地球卫星的运行参量与r的关系
F=F向 当r增大时 结论:越远越慢.
3.静止轨道卫星的特点
(1)确定的转动方向:和地球自转方向一致.
(2)确定的周期:和地球自转周期相同,即 T=24 h.
(3)确定的角速度:等于地球自转的角速度.
(4)确定的轨道平面:所有的静止轨道卫星都在赤道的正上方,其轨道平面必须与赤道平面重合.
(5)确定的高度:离地面高度固定不变(3.6×104 km).
(6)确定的环绕速率:线速度大小一定.
典例研习
[例3] 天通一号卫星移动通信系统是中国自主研制建设的卫星移动通信系统.天通一号属于静止轨道卫星,单颗卫星可以覆盖地球的面积,目前我国已发射有天通一号01、02、03卫星.关于该系列卫星,下列说法正确的是(　　)
A.不同质量的天通一号卫星轨道半径不相等
B.它们的运行速度都大于7.9 km/s
C.它们可以在北京的上空保持相对静止
D.它们的向心加速度均小于地面上物体的重力加速度
【答案】 D
【解析】 天通一号系列卫星是地球静止轨道卫星,轨道半径相同,与地球相对静止,轨道面与赤道平面重合,故A、C错误;地球静止卫星轨道半径比地球的半径大得多,根据v=可知,地球静止轨道卫星在轨道上的速度小于7.9 km/s,B错误;根据万有引力提供向心力得G=ma卫,而地球表面万有引力近似等于重力,可知天通一号系列卫星的向心加速度均小于地面物体的重力加速度,故D正确.
处理卫星运行问题的特别提醒
(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同.
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同,最大环绕速度等于最小发射速度.
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同.
(4)卫星的a、v、ω、T是相互联系的,如果一个量发生变化,其他量也随之发生变化.这些量与卫星的质量无关,它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定.
课时作业
考点一　对宇宙速度的理解与计算
1.(多选)关于地球第一宇宙速度,下列说法正确的是(　　)
A.它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B.它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度
C.它是能使卫星进入轨道的最小发射速度
D.它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
【答案】 BC
【解析】 根据G=m,可得v=,卫星轨道半径越小,则速度越大,第一宇宙速度是指绕地球表面运动的近地圆形轨道上卫星的速度,运动半径最小,则它是人造地球卫星绕地球飞行的最大速度,选项A错误,B正确;第一宇宙速度是能使卫星进入轨道的最小发射速度,并不是在椭圆轨道上运行时近地点的速度,选项C正确,D错误.
2.(2025·甘肃卷,2)如图,一小星球与某恒星中心距离为R时,小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直.恒星的质量为M,引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A.若v=,小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=,小星球做椭圆运动
D.若v>,小星球可能与恒星相撞
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力有=m,解得v=.若v=,小星球做匀速圆周运动,A正确;若,小星球将脱离恒星引力束缚,做曲线运动,不可能与恒星相撞,D错误.
3.火星为太阳系里四颗类地行星之一,火星的半径约为地球半径的,火星的质量约为地球质量的,把地球和火星均看作质量分布均匀的球体,忽略地球和火星的自转,则火星与地球的第一宇宙速度的比值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 物体在星球表面做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,设中心天体质量为M,中心天体半径为R,环绕天体质量为m,第一宇宙速度为v,则G=,解得v=;由题意知M地=10M火,R地=2R火,联立可得火星与地球的第一宇宙速度的比值为=,故选C.
考点二　人造卫星的运行规律
4.如图所示,有关人造地球卫星轨道,下列说法正确的是(　　)
A.a、b、c均可能是卫星轨道
B.卫星轨道只可能是a
C.a、b均可能是卫星轨道
D.b可能是静止轨道卫星的轨道
【答案】 C
【解析】 人造地球卫星围绕地球做匀速圆周运动,圆心是地球的地心,所以凡是人造地球卫星,轨道平面必定经过地球中心,所以 a、b均可能是卫星轨道,c不可能是卫星轨道,故A、B错误,C正确;静止轨道卫星的轨道必定在赤道平面内,所以b不可能是静止轨道卫星的轨道,故D错误.
5.2024年9月19日9时14分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭与远征一号上面级,成功发射第五十九颗、六十颗北斗导航卫星.该组卫星属中圆地球轨道(MEO)卫星,轨道高度约为 2.0×104 km,是我国北斗三号全球卫星导航系统建成开通后发射的第二组中圆地球轨道卫星.我国北斗卫星导航定位系统中还有静止轨道卫星(属于同步卫星),静止轨道卫星的高度约为3.6×104 km.下列说法正确的是(　　)
A.中圆地球轨道卫星的线速度大于7.9 km/s
B.静止轨道卫星的线速度小于中圆地球轨道卫星的线速度
C.静止轨道卫星的运行周期小于中圆地球轨道卫星的运行周期
D.静止轨道卫星可能会经过兰州的上空
【答案】 B
【解析】 由万有引力提供向心力G==mr=ma,可得v=,T=,a=,设地球半径为R,中圆地球轨道卫星的轨道半径为r中,静止轨道卫星的轨道半径为r静,由题意可知 R6.(多选)(2024·湖南卷,7)2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅.相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集,并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱,返回舱再通过返回轨道返回地球.设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径.已知月球表面重力加速度约为地球表面的,月球半径约为地球半径的.关于返回舱在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是(　　)
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
【答案】 BD
【解析】 根据万有引力提供向心力,有G=m,在星球表面有G=mg,解得v=,又g月=g地,R月=R地,则返回舱在月球表面的飞行速度v月=v地,返回舱相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度,故A错误,B正确;设返回舱绕星球飞行周期为T,由万有引力提供向心力得G=m()2R,在星球表面附近有 =mg,联立可得周期T=2π,则有==,故C错误,D正确.
7.2023年8月3日 11时 47分,我国成功发射“风云三号”06星.“风云三号”气象卫星是我国第二代低轨气象卫星,能够获取全球、全天候、三维定量、多光谱的大气、地表和海表特性参数.若“风云三号”06星绕地球做匀速圆周运动,离地高度为h,绕地n圈的时间为t,地球半径为R,则(　　)
A.卫星的周期为
B.卫星的角速度为
C.卫星的线速度大小为
D.卫星的加速度大小为
【答案】 B
【解析】 卫星绕地n圈的时间为t,则卫星的周期为T=,故A错误;卫星绕地球做匀速圆周运动,则卫星的角速度大小为ω==,故B正确;卫星的线速度大小为v==,故C错误;卫星的加速度大小为a==,故D错误.
8.如图所示,为一颗地球静止轨道卫星的示意图,已知地球可看作质量分布均匀、半径为R、质量为M、自转周期为T的球体,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该静止轨道卫星可以出现在广州的正上方
B.该静止轨道卫星距地面的高度h=
C.该静止轨道卫星的加速度a=R
D.地球两极点的重力加速度g=
【答案】 D
【解析】 静止轨道卫星轨道平面与赤道平面重合,故不可能出现在广州正上方,A错误;根据万有引力提供向心力,有 G=mr,可得静止轨道卫星的轨道半径r=,该静止轨道卫星距地面的高度h=r-R=-R,故B错误;赤道上随着地球自转的物体的向心加速度为a=ω2R=R,由于r同>R,可知该静止轨道卫星的加速度大于R,故C错误;在地球两极物体重力等于万有引力,有mg=G,可得地球两极点的重力加速度g=,故D正确.
9.为了探测暗物质,我国早在2015年就已成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星.已知卫星在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动,经过时间t(t小于其运动周期),运动的弧长为s,与地球中心连线扫过的角度为β(弧度),引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.卫星的线速度为
B.卫星的环绕周期为t
C.卫星的向心加速度为
D.卫星的质量为
【答案】 C
【解析】 由题意可知,卫星的线速度为v=,角速度ω=,故向心加速度a=ωv=,周期为T==t,故A、B错误,C正确;根据万有引力提供向心力,有G=mω2r,又s=rβ,联立解得地球的质量M=,故不能求出卫星的质量,故D错误.
10.量子卫星成功运行后,我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信,构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系.假设量子卫星绕地球做匀速圆周运动,周期为T,离地高度为h,已知地球半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.卫星的运行速度为
B.地球的第一宇宙速度为
C.地球的质量为
D.地球表面的重力加速度为
【答案】 B
【解析】 卫星绕地球做匀速圆周运动,线速度为v=,A错误;地球的第一宇宙速度为近地卫星(r=R)的运行速度,根据万有引力提供向心力G=m,对量子卫星有G=m()2(R+h),联立可得v1=,B正确;根据B项解析可得地球质量M=,C错误;对地球表面物体重力近似等于万有引力G=mg,联立可得g=,D错误.
11.第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍,理论分析表明:当某种天体的第二宇宙速度达到光速c,这种天体就成为黑洞.若某黑洞的质量为m0,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该黑洞的第一宇宙速度至少为c
B.该黑洞的最大半径为
C.可求出该黑洞的最大密度
D.某物体可绕该黑洞表面以速度做匀速圆周运动
【答案】 A
【解析】 已知黑洞的第二宇宙速度不小于光速c,由题可知黑洞的第一宇宙速度至少为c,故A正确,D错误;根据万有引力提供向心力有G=m,可得v=≥c,即黑洞半径R≤,B错误;根据ρ=,已知黑洞最大半径、质量,可得黑洞最小密度,C错误.
12.第一宇宙速度又叫作环绕速度,第二宇宙速度又叫地球的逃逸速度,理论分析表明,逃逸速度是环绕速度的倍,这个关系对于其他天体也是正确的.宇宙中存在一种逃逸速度很大,光都不能逃逸的天体,即使它在发光,光也不能进入太空,我们根本看不到它,这种天体称为黑洞.已知太阳质量为M,半径为R,光速为c,引力常量为G.
(1)试求太阳的第一宇宙速度;
(2)若太阳能收缩成黑洞,求其收缩后的半径应满足的条件.
【答案】 (1)　(2)R黑洞<
【解析】 (1)假设卫星绕太阳表面做圆周运动,由万有引力提供向心力,则有=m,
解得v=.
(2)假设卫星绕黑洞表面做圆周运动,由万有引力提供向心力,则有
=m,
根据题意,太阳收缩成球形黑洞后逃逸速度
v2=v1,
解得v2=,
其中v2>c,
解得R黑洞<.(共29张PPT)
第三节　万有引力定律的应用
1.通过对万有引力定律的初步应用,了解万有引力定律在天文学上的重要作用.2.通过对“预测地球形状”“预测未知天体”所渗透的相关物理学史的学习,培养科学思维和科学探究能力.3.会运用万有引力定律估算天体的质量,体会科学理论对科学探索的指导价值.
[学习目标]　
知识点一　预测地球形状和未知天体
「情境导学」
牛顿通过万有引力定律成功预测了地球的形状,随着人类文明的进步,我们可以通过卫星更加直观地看到地球的面貌,如图所示,可知地球总体呈一个赤道部分隆起,两极略扁的椭球体.若将地球看成标准的球体,当人站在地球的不同位置,比如赤道、两极或者其他位置时,请思考:
(1)人在不同位置所受的万有引力有什么关系
提示:(1)在不同位置所受的万有引力大小相等,方向沿对应的地球半径指向地心.
(2)人在不同位置所受的重力有什么关系
提示:(2)由于地球自转的影响,人在不同位置所受的重力大小不一定相等,方向也不一定指向地心.
「知识整合」
1.牛顿通过万有引力定律的理论计算,大胆预测:地球由于自转作用, 部分应该隆起,成为 扁平的椭球体.
2.万有引力和重力的关系(地球质量M、物体质量m)
物体受到地球的引力大小:F= .
赤道
两极
(1)如图,若考虑地球自转影响,地球附近悬挂着的物体受到地球的引力产生两大作用效果:
一个分力与物体受到的拉力平衡,即F2= ,这就是我们所熟悉的 .
另一个分力提供物体随地球一起自转的向心力,即F1= ,其方向
.
重力
mω2Rcos θ
垂直指向地轴
FT
(2)指向地轴的分力F1实际上特别小,所以一般认为地球附近的物体所受的重力近似等于地球对物体的 .
3.海王星的发现
英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶根据天王星的观测资料,利用万有引力定律推算出一颗新行星的运行轨道.1846年9月23
日,柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测,终于,一颗新的行星—— 被发现了.
4.英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的 “按时回归”,确立了万有引力定律的地位,充分显示了科学理论对实践的巨大指导作用.
万有引力
海王星
哈雷彗星
「正误辨析」
(1)地球表面的物体,重力就是物体所受的万有引力.(　 　)
(2)绕行星匀速转动的卫星,万有引力提供向心力.(　 　)
(3)海王星的发现表明了万有引力定律在太阳系内的正确性.(　 　)
×
√
√
「归纳提升」
1.万有引力和重力的关系
2.重力与纬度的关系:地面上物体的重力随纬度的升高而变大.
「典例研习」
[例1] 诗句“坐地日行八万里,巡天遥看一千河”道出了地球自转对地表物体的影响.下列关于地表的某一物体所受重力的说法正确的是(　　)
A.物体所受重力方向一定指向地心
B.地球表面物体所受重力就是地球与物体间的万有引力
C.物体在地表随地球一起自转所需向心力的方向都指向地心
D.以上说法都不对
D
【解析】 物体所受重力方向一定竖直向下,不一定指向地心,故A错误;地球表面物体所受重力是地球与物体间的万有引力的分力,故B错误;物体在地表随地球一起自转所需向心力的方向都指向地轴,故C错误;其他选项均错误,故D正确.
知识点二　估算天体的质量
「情境导学」
卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球重量的人”,他“称量”的依据是什么
提示:若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力,G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义.
「知识整合」
万有引力
万有引力
「归纳提升」
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法.
(2)卫星环绕法.
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量,俗称
“借助外援法”.常见的情况如下:
2.天体密度的计算
「典例研习」
[例2] (重力加速度法)(多选)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放,二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落,经时间t落到月球表面.已知引力常量为G,月球的半径为R.不考虑月球自转的影响,下列表述正确的是(　 　)
ABD
[例3] (卫星环绕法)已知嫦娥六号在环月圆轨道上运行的周期为T,轨道半径与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　)
A
求解天体质量和密度时的两种常见误区
·方法点拨·
知识点三　天体的运动分析
「归纳提升」
1.基本思路
2.四个重要结论
「典例研习」
A
解答天体运动问题的技巧
(1)建立模型.
不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等),只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动,就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题.
·规律总结·
感谢观看(共20张PPT)
第二节　认识万有引力定律
1.通过体会万有引力定律发现的思路和过程,加深对运动和相互作用观念的认识.2.利用万有引力定律的发现过程体会精确的科学观测与严密的数学推理相结合、合理延伸、用数学公式表达物理学定律等物理思维和思想方法,培养和发展科学思维.3.理解万有引力定律的内容及其适用条件,并能用来解决相关问题;知道引力常量,了解引力常量测定的重大意义.
[学习目标]　
知识点一　行星绕日运动原因的探索　万有引力定律的发现
「情境导学」
(1)为什么苹果从树上落向地面而不飞上天空
提示:(1)受地球引力的作用.
(2)在我们周围物体都要受到地球引力的作用,那么地球也受到太阳的引力作用吗 为什么地球不会落到太阳的表面,而是环绕太阳转动
提示:(2)地球受太阳的引力,引力提供地球做圆周运动的向心力.
「知识整合」
1.行星绕日运动原因的探索
(1)行星绕太阳运动的原因猜想:太阳对行星的 .
(2)模型建立:把行星沿椭圆轨道的运动简化为 .
引力
匀速圆周运动
2.万有引力定律的发现
「正误辨析」
(1)把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动时,匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动.(　 　)
(2)太阳对行星的引力规律是由实验得出的.(　 　)
(3)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力.(　 　)
√
×
×
知识点二　万有引力定律的表达式
「知识整合」
万有引力定律
(1)内容:宇宙间的 都是互相吸引的.两个物体间引力的方向在它们的 上.引力的大小与它们质量的乘积成 ,与它们之间距离的二次方成 .
(2)公式:F= ,m1、m2分别是两个物体的质量,r为两个物体之间的距离.G称为 ,首先由英国科学家 利用扭秤实验装置测出.现在所采用的引力常量为 G= N·m2/kg2.
一切物体
连线
正比
反比
引力常量
卡文迪许
6.67×10-11
①万有引力定律公式只适用于 间的相互作用.
②当两个物体间的距离远远 物体本身的大小时可近似使用.
③对于均匀球体,r是两球心间的距离.
质点
大于
「正误辨析」
(1)牛顿发现了万有引力定律,也测出了引力常量.(　 　)
(2)两个普通物体间感受不到万有引力,这说明万有引力只存在于天体之间.
(　 　)
×
×
√
「归纳提升」
1.万有引力定律的四个特性
(1)普遍性.万有引力不仅存在于星球间,任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力.
(2)相互性.两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力,它们大小相等、方向相反,分别作用在两个物体上.
(3)宏观性.在通常情况下万有引力非常小,只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际的物理意义,故在分析地球表面物体受力时,不考虑其他物体对它的万有引力.
(4)特殊性.两个物体间的万有引力只与它们本身的质量以及它们之间的距离有关,而与所在空间的性质无关.
2.引力常量
(1)英国物理学家卡文迪许用扭秤实验(如图所示)比较准确地测出了G的
数值.
(2)①引力常量G通常取6.67×10-11 N·m2/kg2.
②测定G值的意义:证明了万有引力的存在;使万有引力定律有了真正的实用价值.
「典例研习」
AD
关于万有引力的两点说明
(1)任何有质量的物体间都存在万有引力,一般情况下,质量较小的物体之间万有引力忽略不计,只考虑天体间或天体对天体上物体的万有引力.
(2)当物体不能看成质点时,可以把物体假想分为无数个质点,理论上讲,求出该物体上每个质点与另一物体所有质点的万有引力,然后求合力.
·方法点拨·
[例2] (2024·广西卷,1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同.图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在
(　 　)
A.a处最大 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等,b处最小
A
感谢观看(共21张PPT)
章末总结
「思维导图」
7.9
11.2
16.7
「命题热点」
命题热点1　卫星“追及”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动,a卫星的角速度为ωa,b卫星的角速度为ωb,若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方,相距最近(如图甲所示).
当它们转过的角度之差Δθ=π,即满足 ωaΔt-ωbΔt=π时,两卫星第一次相距最远,如图乙所示.
当它们转过的角度之差Δθ=2π,即满足ωaΔt-ωbΔt=2π时,两卫星再次相距最近.
(1)两卫星相距最远的条件:
ωaΔt-ωbΔt=(2n+1)π(n=0,1,2,…).
(2)两卫星相距最近的条件:
ωaΔt-ωbΔt=2nπ(n=1,2,3,…).
[例1] (多选)如图所示,甲、乙两卫星沿相同方向绕地球做匀速圆周运动,甲卫星周期为T1,乙卫星周期为T2,某时刻两卫星恰好相距最远,则(　 　)
AD
命题热点2　重力与万有引力的关系
1.地球表面
地面上的物体所受地球的万有引力产生两个效果,其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力,另一个分力等于重力.
(1)在两极,向心力等于零,重力等于万有引力;
(2)除两极外,物体受到的重力都比万有引力小;
2.地球表面附近(脱离地面)
3.距地面一定高度处
[例2] 万有引力定律清楚地向人们揭示,复杂的运动隐藏着简洁的科学规律,天上和地上的物体都遵循着相同的科学法则.已知地球的质量为M(视为质量分布均匀的球体),半径为R,引力常量为G.
(1)不考虑地球的自转,求地球表面附近的重力加速度大小.
(2)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.求深度为d的矿井底部的重力加速度大小.
命题热点3　天体质量和密度的计算
1.利用中心天体的半径R和表面重力加速度g计算
2.利用卫星的轨道半径r和周期T计算
[例3] (多选)(2025·安徽卷,9)2025年4月,我国已成功构建国际首个基于DRO
(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点.若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T.月球的质量为M,半径为R,引力常量为G.假设只考虑月球对甲、乙的引力,则(　　 )
BC
命题热点4　天体运动与人造卫星
[例4] “祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季.假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的 1.88倍.火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动.下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　)
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
D
感谢观看第二节　认识万有引力定律
[学习目标]　1.通过体会万有引力定律发现的思路和过程,加深对运动和相互作用观念的认识.2.利用万有引力定律的发现过程体会精确的科学观测与严密的数学推理相结合、合理延伸、用数学公式表达物理学定律等物理思维和思想方法,培养和发展科学思维.3.理解万有引力定律的内容及其适用条件,并能用来解决相关问题;知道引力常量,了解引力常量测定的重大意义.
知识点一　行星绕日运动原因的探索　万有引力定律的发现
情境导学
(1)为什么苹果从树上落向地面而不飞上天空
(2)在我们周围物体都要受到地球引力的作用,那么地球也受到太阳的引力作用吗 为什么地球不会落到太阳的表面,而是环绕太阳转动
提示:(1)受地球引力的作用.
(2)地球受太阳的引力,引力提供地球做圆周运动的向心力.
知识整合
1.行星绕日运动原因的探索
(1)行星绕太阳运动的原因猜想:太阳对行星的引力.
(2)模型建立:把行星沿椭圆轨道的运动简化为匀速圆周运动.
(3)雷恩和哈雷的推导.
①太阳对行星的引力提供了行星绕太阳运动的向心力:F引=m=mr.
②开普勒第三定律:=k.
③结论:太阳对行星的引力:F引=4π2k,即F引∝.
2.万有引力定律的发现
推导过程:根据牛顿第三定律和F引∝,得出质量为M的太阳受到行星的引力F引′∝,所以F引=F引′∝.
正误辨析
(1)把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动时,匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动.(　√　)
(2)太阳对行星的引力规律是由实验得出的.(　×　)
(3)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力.(　×　)
知识点二　万有引力定律的表达式
知识整合
　万有引力定律
(1)内容:宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上.引力的大小与它们质量的乘积成正比,与它们之间距离的二次方成反比.
(2)公式:F=G,m1、m2分别是两个物体的质量,r为两个物体之间的距离.G称为引力常量,首先由英国科学家卡文迪许利用扭秤实验装置测出.现在所采用的引力常量为 G=6.67×10-11 N·m2/kg2.
(3)F=G的适用条件.
①万有引力定律公式只适用于质点间的相互作用.
②当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时可近似使用.
③对于均匀球体,r是两球心间的距离.
正误辨析
(1)牛顿发现了万有引力定律,也测出了引力常量.(　×　)
(2)两个普通物体间感受不到万有引力,这说明万有引力只存在于天体之间.(　×　)
(3)万有引力定律公式F=G中,G是比例系数,与太阳、行星都没关系.(　√　)
归纳提升
1.万有引力定律的四个特性
(1)普遍性.万有引力不仅存在于星球间,任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力.
(2)相互性.两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力,它们大小相等、方向相反,分别作用在两个物体上.
(3)宏观性.在通常情况下万有引力非常小,只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际的物理意义,故在分析地球表面物体受力时,不考虑其他物体对它的万有引力.
(4)特殊性.两个物体间的万有引力只与它们本身的质量以及它们之间的距离有关,而与所在空间的性质无关.
2.引力常量
(1)英国物理学家卡文迪许用扭秤实验(如图所示)比较准确地测出了G的数值.
(2)①引力常量G通常取6.67×10-11 N·m2/kg2.
②测定G值的意义:证明了万有引力的存在;使万有引力定律有了真正的实用价值.
典例研习
[例1] (对万有引力定律的理解)(多选)对于万有引力定律的表达式F=G,下列说法正确的是(　　)
A.引力常量G的单位为N·m2/kg2
B.当物体间的距离趋近于0时,物体间的万有引力无穷大
C.把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心处,则大球与小球间的万有引力为
D.两个质量分布均匀的球体视为质量集中在球心,它们之间的作用力可以用F=G 计算,r是两球体球心间的距离
【答案】 AD
【解析】 根据公式有G=,根据单位运算可知,引力常量G的单位为N·m2/kg2,故 A正确;当物体间的距离趋近于0时,万有引力表达式已经不再适用,可知不能够认为当物体间的距离趋近于0时,物体间的万有引力无穷大,故B错误;把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心处,则大球与小球间的万有引力为0,故C错误;根据万有引力定律的使用条件与特点可知,两个质量分布均匀的球体之间的相互作用力可以用F=G计算,r是两球体球心间的距离,故D正确.
关于万有引力的两点说明
(1)任何有质量的物体间都存在万有引力,一般情况下,质量较小的物体之间万有引力忽略不计,只考虑天体间或天体对天体上物体的万有引力.
(2)当物体不能看成质点时,可以把物体假想分为无数个质点,理论上讲,求出该物体上每个质点与另一物体所有质点的万有引力,然后求合力.
[例2] (2024·广西卷,1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同.图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　)
A.a处最大 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等,b处最小
【答案】 A
【解析】 a、b和c处到月球中心的距离关系为ra课时作业
考点一　对万有引力定律的理解
1.(多选)关于万有引力定律,下列说法正确的是(　　)
A.行星与太阳各自受到对方引力的大小并不相等
B.牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律
C.由F=G可知两物体间距离r增大时,它们之间的引力减小
D.引力常量G值大小与中心天体选择有关
【答案】 BC
【解析】 行星与太阳各自受到对方的万有引力是一对作用力与反作用力,大小相等,A错误;牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律,B正确;由万有引力定律表达式F=G,可知C正确;引力常量G值大小与中心天体选择无关,故D错误.
2.英国物理学家卡文迪许根据放大原理利用扭秤测出了引力常量.下列观点正确的是(　　)
A.引力常量G没有单位
B.卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在
C.两个质量是1 kg的质点相距1 m时,万有引力的大小为6 367 N
D.在土星和地球上引力常量G的数值是不同的
【答案】 B
【解析】 根据万有引力定律公式F=G可知,引力常量G有单位,为N·m2/kg2,故A错误;卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在,并测出了引力常量的数值,故B正确;两个质量是1 kg的质点相距1 m时,根据万有引力定律公式F=G,求得它们之间的万有引力的大小为 6.67×10-11 N,故C错误;引力常量G的数值对所有物体都是一样的,故D错误.
考点二　万有引力定律的应用
3.甲、乙两个质点间的万有引力大小为F,若甲、乙两物体的质量均增加到原来的2倍,同时它们之间的距离也增加到原来的2倍,则甲、乙两物体间的万有引力大小将为(　　)
A.8F B.4F C.F D.
【答案】 C
【解析】 根据万有引力定律公式F=G得,甲、乙两物体的质量均增加到原来的2倍,同时它们之间的距离也增加到原来的2倍,则万有引力为 F′=G=F,故选C.
4.天问一号巡视器成功登陆火星是中国太空探索能力的一个划时代的突破.用h表示着陆器与火星表面的距离,用F表示它所受的火星引力大小,则在着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中,能够描述F随h变化关系的大致图像是(　　)
A 　 B　 C 　 D
【答案】 C
【解析】 由万有引力定律可得F=G,对比图线可知,C正确.
5.已知火星质量为地球质量的k倍,其半径为地球半径的p倍,由此可知同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 设物体的质量为m,根据万有引力得在地球表面受到的引力为F=G,在火星表面,同理有F′=G=G=G,故同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为 =,故选B.
6.(多选)要使两物体(可看成质点)间的万有引力减小为原来的,以下可行的是(　　)
A.使两物体的质量各减小一半,距离不变
B.使其中一个物体的质量减小为原来的,距离不变
C.使两物体间的距离和质量都减小为原来的
D.使两物体间的距离增大为原来的2倍,质量不变
【答案】 ABD
【解析】 根据万有引力公式F=G可知,两物体的质量各减小一半,距离不变,两质点间的万有引力减小为原来的,故A正确;使其中一个物体的质量减小为原来的,距离不变,两质点之间的万有引力将减小为原来的,故 B正确;使两物体间的距离和质量都减小为原来的,两物体间的万有引力不变,故C错误;使两物体间的距离增大为原来的2倍,质量不变,两物体之间的万有引力将减小为原来的,故D正确.
7.假设天问一号着陆巡视器质量为m,其在火星表面着陆前的动力减速阶段可视为在竖直方向做匀变速直线运动,着陆巡视器制动打开后,会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程.已知火星半径约为地球半径的二分之一,火星质量约为地球质量的十分之一,地球表面的重力加速度为g,忽略火星大气阻力.求:
(1)火星表面的重力加速度大小;
(2)着陆巡视器在火星表面着陆前的动力减速阶段受到的制动力大小.
【答案】 (1)g　(2)+
【解析】 (1)由万有引力定律可知=m2g,
解得g=,
则火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值==,
即火星表面的重力加速度g火=g.
(2)着陆巡视器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动,
由v0-at0=0,可得a=,
由牛顿第二定律有F-mg火=ma,
解得此过程中着陆巡视器受到的制动力大小
F=+.
8.2024年5月8日,嫦娥六号探测器进入环月轨道,为登陆月球做准备.已知月球质量为地球质量的,月球半径为地球半径的,不考虑地球和月球的自转,嫦娥六号在月球表面受到的月球引力为在地球表面受到地球引力的(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 嫦娥六号在月球表面受到月球引力与在地球表面受到地球引力之比为==,故选C.
9.如图所示,三个质量均为M的球分别位于四分之三圆环、半圆环和完整圆环的圆心处,四分之三圆环、半圆环分别是由与图丙中相同的完整圆环截去四分之一和一半所得,环的粗细忽略不计,若图甲中环对球的万有引力大小为F,则图乙、图丙中环对球的万有引力大小分别为(　　)
A.F,2F B.F,0
C.F,0 D.F,F
【答案】 B
【解析】 将题图甲中的四分之三圆环分成3个四分之一圆环,则由对称性可知,四分之三圆环对球的万有引力等于其中的一个四分之一圆环对球的引力,则每个四分之一圆环对球的引力大小均为F;题图
乙中半圆环对球的引力大小为F乙==F,题图丙中由对称性可知,整个圆环对球的万有引力为0.故选B.
10.质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动.a卫星是地球同步卫星,b卫星绕地球运动的周期约为3小时.则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的(　　)
A.1倍 B.8倍 C.16倍 D.27倍
【答案】 C
【解析】 由于两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动,根据开普勒第三定律有=,可知a、b卫星的轨道半径之比为=()=4,根据万有引力定律可知F=G,则a、b卫星受地球的引力大小之比为==,b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的16倍.故选C.
11.月球对地球的引力是造成潮汐的主要原因.如图所示,当月球在某个位置时,它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用,导致海水向月球方向隆起,形成高潮.已知地球质量为M,地球半径为R,地球自转周期为T,月球质量为m,月球到地球的距离为r,引力常量为G,取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为m0的小水球作为研究对象,求:
(1)小水球绕地心做圆周运动的向心力大小;
(2)月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比.
【答案】 (1)m0R　(2)
【解析】 (1)地球表面上质量为m0的小水球,随地球自转,半径为R,周期为T,则向心力为
F=m0()2R=m0R.
(2)月球对小水球的引力为
F1=,
地球对小水球的引力为F2=,
联立可得=.第一节　认识天体运动
[学习目标]　1.通过对天体运动发展史的初步认识,了解地心说、日心说,加深对物质运动观念的理解.2.知道开普勒定律及其科学价值,体会观察模型建构在认识行星运动规律中的作用,培养科学思维.3.能用开普勒定律解决天体运动问题,认识科学定律对人类探索未知世界的作用.
知识点一　对天体运动的认识
知识整合
从地心说到日心说
(1)地心说.
地球是静止不动的,位于宇宙中心,太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动.以天文学家托勒密为代表人物.
(2)日心说.
太阳是宇宙的中心,地球和其他行星都围绕太阳运动.由波兰天文学家哥白尼提出.
正误辨析
(1)太阳每天东升西落,说明太阳绕着地球运动.(　×　)
(2)宇宙的中心是太阳,所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动.(　×　)
(3)地心说是错误的,而日心说是正确的.(　×　)
知识点二　开普勒定律
知识整合
项目 内容 图示或公式
开普勒 第一定律 所有行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒 第二定律 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积
开普勒 第三定律 所有行星的轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方之比都相等 =k,k是一个与行星无关而与太阳有关的常量
问题思考
1.如图所示是地球绕太阳公转及四季的示意图,由图可知地球在春分日、夏至日、秋分日和冬至日四天中哪一天绕太阳运动的速度最大 哪一天绕太阳运动的速度最小 为什么
提示:冬至日速度最大;夏至日速度最小.由题图可知,冬至日地球在近日点附近,夏至日在远日点附近,由开普勒第二定律可知,冬至日地球绕太阳运动的速度最大,夏至日地球绕太阳运动的速度最小.
2.如图所示是“金星凌日”的示意图,观察图中地球、金星的位置,地球和金星哪一个的公转周期更长 为什么
提示:地球.由题图可知,地球到太阳的距离大于金星到太阳的距离,根据开普勒第三定律可得,地球的公转周期更长一些.
归纳提升
对开普勒三定律的理解
定律 认识角度 理解
开普勒 第一定律 对空间 分布的 认识 各行星的椭圆轨道尽管大小不同,但太阳是所有轨道的一个共同焦点
不同行星的轨道是不同的,可能相差很大
开普勒 第二定律 对速度 大小的 认识 行星沿椭圆轨道运动靠近太阳时速度增大,远离太阳时速度减小
近日点速度最大,远日点速度最小
开普勒 第三定律 对周期 长短的 认识 椭圆轨道半长轴越长的行星,其公转周期越长
该定律不仅适用于行星,也适用于其他天体
常数k只与其中心天体有关
典例研习
[例1] (对开普勒三定律的理解)关于开普勒行星运动定律,下列说法正确的是(　　)
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
B.行星轨道的半长轴越长,其公转周期越大
C.行星绕太阳运动时,离太阳越远运行速度越大
D.行星绕太阳运行时,它与太阳的连线在任意相等的时间内所扫过的面积不相等
【答案】 B
【解析】 根据开普勒第一定律可知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,故A错误;根据=k可知行星轨道的半长轴越长,其公转周期越大,故B正确;根据开普勒第二定律可知行星绕太阳运行时,它与太阳的连线在任意相等的时间内所扫过的面积相等,离太阳越远运行速度越小,故C、D错误.
[例2] (开普勒定律的应用)(2025·云南卷,5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动.规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示.忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星
轨道半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5
行星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】 C
【解析】 根据开普勒第三定律可知=,其中r地= 1 AU,T地=1年,T行=5.8年,代入解得r行≈3.23 AU,由表格可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间.故选C.
应用开普勒行星运动定律分析天体问题的方法
(1)天体虽然做椭圆运动,有时为简化运算,可以把天体的运动当作圆周运动来研究,椭圆轨道的半长轴即圆轨道半径.
(2)公式=k,对于同一中心天体的不同行星k的数值相同,对于不同质量的中心天体的行星k的数值不同.
(3)比较行星轨道上不同点的速度大小,用开普勒第二定律;涉及椭圆轨道的周期问题,用开普勒第三定律.
课时作业
考点一　对开普勒定律的理解
1.开普勒研究火星轨道时,多次按行星绕太阳做匀速圆周运动的观点来计算的结果都与第谷的观测数据有所误差,据此推理出行星的运动并非匀速圆周运动,最终推理出了行星运动的三个定律.下列关于开普勒行星运动定律的说法正确的是(　　)
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,且太阳处于椭圆的中心处
B.同一行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
C.开普勒行星运动定律只适用于做椭圆运动的行星
D.开普勒行星运动定律的基础是地心说
【答案】 B
【解析】 根据开普勒第一定律知,所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上,故A错误;根据开普勒第二定律可知,同一行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积,故 B正确;开普勒行星运动定律既适用于做椭圆运动的行星,也适用于绕天体做圆周运动的其他物体或行星,例如卫星绕行星的圆周运动,故C错误;开普勒行星运动定律建立在哥白尼的日心说上,故D错误.
2.(多选)百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星,它的近日点离太阳约0.1 AU,运行周期很长(200年以上).已知地球的轨道半径为1 AU,只考虑行星与太阳间的作用力,下列说法正确的是(　　)
A.百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大
B.百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C.太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D.在远离太阳的过程中,百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
【答案】 AB
【解析】 由开普勒第二定律可知百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大,故A正确;根据开普勒第三定律=k,由于百武彗星运行的周期大于地球公转周期,所以百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径,故B正确;太阳处在百武彗星椭圆轨道的一个焦点上,故C错误;由开普勒第二定律可知在远离太阳的过程中,百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变,故D错误.
3.在国际气象界,二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.二十四节气代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置.地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处如图所示的四个位置分别对应我国的四个节气,以下关于地球的运行说法正确的是(　　)
A.冬至时地球公转速度最小
B.从夏至到秋分的时间大于地球公转周期的四分之一
C.地球做匀速率椭圆轨道运动
D.地球绕太阳运行方向是顺时针方向
【答案】 B
【解析】 根据开普勒第二定律可知冬至时地球公转速度最大,故A错误;地球绕太阳做椭圆轨道运动,地球运行速度在近日点最快,远日点最慢,地球从夏至到秋分的时间大于地球公转周期的四分之一,故B正确,C错误;地球绕太阳运行方向是逆时针方向,故D错误.
4.(多选)关于开普勒行星运动定律,下列说法正确的是(　　)
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上
B.地球绕太阳在椭圆轨道上运行,近日点速率小于远日点速率
C.开普勒第三定律=k,T代表行星运动的公转周期
D.开普勒第三定律=k,k与中心天体有关
【答案】 ACD
【解析】 由开普勒第一定律可知,所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上,故A正确;由开普勒第二定律可知,地球绕太阳在椭圆轨道上运行,在近日点速率大于在远日点速率,故B错误;在开普勒第三定律中T代表行星的公转周期,故C正确;在开普勒第三定律中k与中心天体有关,故D正确.
考点二　开普勒定律的应用
5.如图所示,土星沿椭圆轨道运行,在远日点离太阳的距离为a,在近日点离太阳的距离为b,过近日点时土星的速率为vb,则过远日点时土星的速率为(　　)
A.vb B.vb
C.vb D.vb
【答案】 A
【解析】 由开普勒第二定律可知,太阳和土星的连线在相等时间内扫过的面积相等,取足够短的时间Δt,则土星Δt时间内在远日点和近日点转过的弧长分别为la=vaΔt,lb=vbΔt,由扇形面积公式S=lr,可得ala=blb,联立解得va=vb,故A正确,B、C、D错误.
6.飞船和空间站分离之后,会通过调姿、制动、减速等操作从原飞行轨道进入返回轨道.假设飞船在离地面高度为h的圆轨道上运行的周期为T,并由此圆轨道经过调整进入近地点离地面高度为 0.6h 的椭圆轨道.若已知地球半径为9h,9.83=941.192;取=0.97,则飞船在此椭圆轨道运行的周期为(　　)
A.0.97T B.0.94T
C.0.95T D.0.96T
【答案】 A
【解析】 由题意可知,飞船在椭圆轨道的半长轴a==9.8h,设飞船在此椭圆轨道的周期为T1,由开普勒第三定律得=,解得T1=0.97T,故A正确.
7.木星有4颗卫星是伽利略发现的,称为伽利略卫星,其中两颗卫星绕木星做圆周运动的周期之比为1∶4,则这两颗卫星的轨道半径之比为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 卫星绕木星做圆周运动,根据开普勒第三定律有=,解得=,故选D.
8.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆,每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图所示,该行星与地球的公转半径之比为(　　)
A.() B.()
C.() D.()
【答案】 A
【解析】 由题图可知,行星的轨道半径大,由开普勒第三定律知其周期长,每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,则满足N-N=2π,得行星的周期T行=年,根据开普勒第三定律有=,解得=(),故选A.
9.南山—哈恩彗星是被新疆南山观测站和德国天文学家哈恩共同发现的一颗新彗星.如图所示,已知该彗星的近日点接近火星轨道,远日点接近木星轨道,火星、木星的公转轨道半径分别为地球公转轨道半径的p倍和q倍,则南山—哈恩彗星的运动周期为(　　)
A.(p+q年 B.(p+q年
C.()年 D.()年
【答案】 C
【解析】 假设地球公转轨道半径为R,则彗星的公转轨道半长轴为a=R,运用开普勒第三定律分析地球和彗星,有=,联立解得T彗=()T地=()年.故选C.
10.(多选)如图所示,土卫一(M)和土卫二(E)是土星(S)的两个卫星,土卫二绕土星的公转半径约为土卫一公转半径的2倍,某一时刻两卫星呈如图所示位置,且公转方向均为逆时针方向.则在土卫一公转一周的时间内,关于两卫星的位置关系,下列图像大致正确的是(　　)
A　 　B
C　　 D
【答案】 AD
【解析】 由开普勒第三定律可知=,其中 rE=2rM,解得TE=2TM,在土卫一公转一周的时间内,土卫二公转了==0.35圈,在土卫一公转半周的时间内,土卫二公转了·=0.18圈,故选AD.
11.早在2 000多年前,《吕氏春秋》中就有关于火星的记载,表明我国对火星的探索历史悠久,至今都未停止.当地球与火星的距离最近时,如图所示,这种现象在天文学中被称为“火星冲日”,已知火星公转半径约为地球公转半径的1.5倍,地球的公转周期T=1年,取 =1.7,=1.4,结果均保留2位有效数字.求:
(1)火星公转周期T火;
(2)相邻两次“火星冲日”的时间间隔Δt.
【答案】 (1)1.8年　(2)2.3年
【解析】 (1)由开普勒第三定律有=,
解得T火=T≈1.8年.
(2)由题意可知该段时间内地球比火星多运动一圈,N地-N火=1,其中N地=,N火=,
联立解得Δt≈2.3年.
12.如图所示,一颗近地卫星轨道半径近似等于地球半径R,另一颗卫星轨道是椭圆,与近地圆轨道相切于A点,远地点B与地心的距离是3R,已知引力常量为G.求:
(1)近地卫星与椭圆轨道卫星周期的比值;
(2)椭圆轨道上卫星在近地点A和远地点B的线速度大小的比值.
【答案】 (1)　(2)3
【解析】 (1)根据开普勒第三定律,有=,
根据题意,有r1=R,r2==2R,
解得=.
(2)根据开普勒第二定律,有SA=SB,
即vA·Δt·R=vB·Δt·3R,
所以==3.微专题3　天体运动中的几类典型问题
[学习目标]　1.能从万有引力定律和圆周运动的规律理解同步卫星、近地卫星及赤道上物体的动力问题,会利用控制变量思想确定三者各物理量的变化情况,培养科学思维及科学探究能力.2.能利用万有引力定律和圆周运动的规律理解和分析双星及多星运动的相关问题,培养科学思维及综合分析能力.3.能利用离心运动思想分析卫星的变轨问题,会确定变轨前后的卫星速度变化情况,培养科学思维及逻辑推理能力.
类型一　赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
归纳提升
比较 内容 赤道上 的物体 近地卫星 同步卫星
向心力 来源 万有引力 的分力 万有引力
向心力 方向 指向地心
重力与万 有引力的 关系 重力略小于 万有引力 重力等于万有引力
线速度 v1=ω1R v2= v3= ω3(R+h) =
v1角速度 ω1=ω自 ω2= ω3=ω自=
ω1=ω3<ω2
向心加 速度 a1=R a2=R= a3= (R+h) =
a1典例研习
[例1] 如图所示,A为地球表面赤道上的物体,B为轨道在赤道平面内的实验卫星,C为在赤道上空的静止轨道卫星,已知卫星C和卫星B的轨道半径之比为3∶1,且两卫星的环绕方向相同,下列说法正确的是(　　)
A.卫星B、C运行速度之比为3∶1
B.卫星B的加速度大于物体A的加速度
C.同一物体在卫星B中对支持物的压力比在卫星C中大
D.在卫星B中一天内最多可看到3次日出
【答案】 B
【解析】 根据=m,知v=,所以B、C的运行速度之比为 ∶1,故A错误;卫星在空中只受到万有引力,根据ma=G得a=,B的轨道半径比C的小,所以B的加速度比C的大,又A、C的角速度相同,根据a=r得C的加速度比A的大,故卫星B的加速度大于物体A的加速度,故B正确;绕地球做匀速圆周运动的卫星内的物体都处于完全失重状态,所以物体对支持物的压力都是0,故C错误;根据=mr 可得T=2π,卫星C和卫星B的轨道半径之比为3∶1,两卫星周期关系==,C的周期与地球的自转周期相等,为 24小时,所以B的周期为小时,一天内B绕地球的圈数 n==3≈5.2,所以在卫星B中一天内可以看到5次日出,故D错误.
类型二　宇宙双星问题
归纳提升
1.双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图),即G=m1r1=m2r2.
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2.
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为r1+r2=L.
2.双星的两个推论
(1)双星的运动半径与质量成反比,即=.推导如下:由G=m1ω2r1=m2ω2r2可得r1=,r2=,则=.
(2)双星的质量之和m1+m2=.推导如下:由G=m1r1,G=m2r2,且r1+r2=L,联立可得m1+m2=.
典例研习
[例2] (多选)早在1916年爱因斯坦就基于广义相对论预言了引力波的存在,1974年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星,该双星系统在互相公转时,由于不断发射引力波而失去能量,因此逐渐相互靠近,这现象为引力波的存在提供了首个间接证据.若不考虑赫尔斯—泰勒脉冲双星质量的变化,则下列关于该脉冲双星的说法正确的是(　　)
A.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们相互公转的周期不变
B.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们相互公转的周期逐渐变小
C.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们各自做圆周运动的半径逐渐减小,但半径的比值保持不变
D.若测出脉冲双星相互公转的周期,就可以求出双星的总质量
【答案】 BC
【解析】 设脉冲双星的质量及轨道半径分别为m1、m2、r1、r2,间距为L=r2+r1,由万有引力提供向心力=m1ω2r1=m2ω2r2,得m1=,m2=,则双星总质量m1+m2==,由于总质量不变,脉冲双星逐渐靠近的过程中,L变小,则角速度ω变大,由 T=可知周期逐渐变小,故A错误,B正确;由m1ω2r1=m2ω2r2,可得=,故C正确;由以上分析可知m1+m2==,要想知道双星总质量,需要知道双星公转周期T和间距L,故D错误.
解答双星问题应注意“两等”“两不等”
(1)“两等”.
①它们的角速度相等.
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,即它们受到的向心力大小总是相等的.
(2)“两不等”.
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点,所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的,它们的轨道半径之和才等于它们间的距离.
②由m1ω2r1=m2ω2r2知,由于m1与m2一般不相等,故r1与r2一般也不相等.
类型三　人造卫星的变轨问题
归纳提升
1.稳定运行
卫星绕天体稳定运行时,万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,即F引=G=m.
2.变轨运行
(1)制动变轨:卫星的速率变小时,使得万有引力大于所需向心力,即F引>m,卫星做近心
运动.
(2)加速变轨:卫星的速率增大时,使得万有引力小于所需向心力,即F引运动.
典例研习
[例3] (2024·安徽卷,5)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空.当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km.后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h.则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
【答案】 B
【解析】 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得=,整理得T2=T1≈288 h,A错误;根据开普勒第二定律得,近月点的速度大于远月点的速度,B正确;从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动,可知在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C错误;鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误.
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道上的运行速度大小时,可根据“越远越慢”的规律判断.
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时,可根据开普勒第二定律判断,即离中心天体越远,速度越小.
(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时,可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.
(4)判断卫星的加速度大小时,可根据a==G判断.
课时作业
考点一　赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
1.中国空间站运行在距离地球表面约400 km高的近地轨道上,而地球静止卫星离地高度约为36 000 km.如图所示,a为静止在地球赤道上的物体,b为中国空间站,c为地球静止卫星,则下列说法正确的是(　　)
A.线速度的大小关系为va>vb>vc
B.周期关系为Ta=Tc>Tb
C.向心加速度的关系ac>ab>aa
D.静止卫星c的发射速度要大于11.2 km/s
【答案】 B
【解析】 a、c角速度和周期相等,根据v=ωr,可知vc>va,根据a=ω2r,可知ac>aa;对卫星b、c,根据G=m=mr=ma,可得v=,T=2π,a=,可知vb>vc,Tc>Tb,ab>ac,则线速度的大小关系为vb>vc>va,周期关系为Ta=Tc>Tb,向心加速度的关系为ab>ac>aa,选项A、C错误,B正确.静止卫星c没有脱离地球的引力,则其发射速度要小于11.2 km/s,选项D错误.
2.地球静止轨道卫星距赤道的高度约为36 000 km,运行速率为v1,加速度大小为a1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径约为 6 400 km,则(　　)
A.a1与a2的比值约为5.6
B.a1与a2的比值约为0.18
C.v1与v2的比值约为0.15
D.v1与v2的比值约为0.39
【答案】 D
【解析】 静止轨道卫星的角速度、赤道上物体的角速度都与地球自转的角速度相同,则由a=ω2r得a1∶a2=r∶R=(36 000+6 400)∶6 400≈6.6,故A、B错误;第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度,人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,由地球的万有引力提供向心力,得 =m,则有v=,m地是地球的质量,r是卫星的轨道半径,得到v1∶v2=∶
=∶≈0.39,故C错误,D正确.
考点二　宇宙双星问题
3.某大学天文学系团队发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统,质量比约为 2∶1,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动,关于中子星,下列说法正确的是(　　)
A.角速度大于红矮星的角速度
B.轨道半径小于红矮星的轨道半径
C.向心力大小约为红矮星的2倍
D.线速度大于红矮星的线速度
【答案】 B
【解析】 双星系统中两星的角速度相等,A错误;根据万有引力提供向心力,有G=
m1ω2r1,G=m2ω2r2,解得=,即星体质量越大,轨道半径越小,根据题意可知,中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径,B正确;双星系统中,星体之间的万有引力提供向心力,故中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小,C错误;根据v=ωr,双星系统角速度相等,中子星的轨道半径小一些,则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度,D错误.
4.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星体在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G,求:
(1)S1的加速度大小;
(2)S1的质量;
(3)双星的总质量.
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)S1的加速度大小a1=r1ω2=,
(2)根据万有引力提供向心力,有
G=m1r1,G=m2r2,
r1+r2=r,
解得m1=,m2=.
(3)双星的总质量
m=m1+m2=.
考点三　人造卫星的变轨问题
5.如图所示,月球探测器由地面发射后,进入地月转移轨道,经过P点时变轨进入圆形轨道1,在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2,轨道2与月球表面相切于M点,探测器在M点着陆月球.下列说法正确的是(　　)
A.月球的第一宇宙速度小于探测器在轨道1上的速度
B.探测器在轨道1上经过P点的速度大于在地月转移轨道上经过P点的速度
C.探测器在轨道1上的运动周期比在轨道2上的小
D.探测器在轨道1上经过Q点时的加速度等于在轨道2上经过Q点时的加速度
【答案】 D
【解析】 月球的第一宇宙速度等于近月轨道的环绕速度,根据=m,解得v=,由于轨道1的半径大于近月轨道的半径,则月球的第一宇宙速度大于探测器在轨道1上的速度,故A错误;地月转移轨道变轨到轨道1是由高轨道变轨到低轨道,需要在两轨道切点P位置减速,探测器在轨道1上经过P点速度小于在地月转移轨道上经过P点的速度,故B错误;根据开普勒定律可知=,由于轨道1的半径大于轨道2的半长轴,则探测器在轨道1上的运动周期比在轨道2上的大,故C错误;根据=ma,解得a=,卫星与月心间距相等,加速度大小相等,即探测器在轨道1上经过Q点时的加速度等于在轨道2上经过Q点时的加速度,故D正确.
6.(多选)(2024·河北卷,8)2024年3月20日,鹊桥二号中继星成功发射升空,为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯.鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图),近月点A距月心约为2.0×103 km,远月点B距月心约为1.8×104 km,CD为椭圆轨道的短轴,下列说法正确的是(　　)
A.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
B.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C.鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于 7.9 km/s 且小于11.2 km/s
【答案】 BD
【解析】 鹊桥二号围绕月球做椭圆运动,根据开普勒第二定律可知,从A→C→B做减速运动,从B→D→A做加速运动,则从C→B→D的运动时间大于半个周期,即大于 12 h,故A错误;鹊桥二号在 A点,根据牛顿第二定律有G=maA,同理在 B点有G=maB,代入题中数据联立解得aA∶aB=81∶1,故B正确;由于鹊桥二号做曲线运动,可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向,则鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线,故C错误;由于鹊桥二号环绕月球运动,而月球为地球的“卫星”,则鹊桥二号未脱离地球的束缚,故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s,故D正确.
7.(多选)如图所示,有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动,运行方向相反.A行星的周期为TA,B行星的周期为TB,在某一时刻两行星相距最近,则(　　)
A.经过时间t=,两行星将再次相距最近
B.经过时间t=,两行星将再次相距最近
C.经过时间t=(n=1,3,5,…),两行星相距最远
D.经过时间t=(n=1,3,5,…),两行星相距最远
【答案】 AC
【解析】 有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动,运行方向相反,当A、B再次相距最近时,即A、B转过的角度之和为2π,即(+)t=2π,解得 t=,故A正确,B错误;经过时间t,A、B相距最远,则有(+)t=nπ(n=1,3,5,…),解得t=(n=1,3,5,…),故C正确,D错误.
8.如图所示,某颗卫星的返回回收过程可简化如下:轨道1是某近地圆轨道,其半径可近似看作等于地球半径,轨道2是位于与轨道1同一平面内的中圆轨道,轨道半径为地球半径的3倍.一颗在轨道2上运行的质量为m的卫星通过两次制动变轨,先从转移轨道进入轨道1运行,调整好姿态再伺机进入大气层,返回地面.已知地球半径为R,卫星在轨道1上运行时的加速度大小为a,忽略其他星体对该卫星的作用力,求:
(1)该卫星在轨道2上运行的速度;
(2)该卫星在转移轨道上从轨道2上的A点运行至轨道1上的B点(A、B与地心在同一直线上)所需的最短时间.
【答案】 (1)　(2)2π
【解析】 (1)在轨道2上,根据万有引力提供向心力,有
G=m,
在轨道1上,根据牛顿第二定律得G=ma,
联立解得v=.
(2)转移轨道是椭圆轨道,其长轴
2r=R+3R=4R,
卫星在轨道2上的周期T2满足
G=m·3R,
设卫星在转移轨道的周期为T,由开普勒第三定律可得
=,
卫星在转移轨道的最短时间
tmin=T,
联立解得
tmin=2π.(共20张PPT)
微专题3　天体运动中的几类典型问题
1.能从万有引力定律和圆周运动的规律理解同步卫星、近地卫星及赤道上物体的动力问题,会利用控制变量思想确定三者各物理量的变化情况,培养科学思维及科学探究能力.2.能利用万有引力定律和圆周运动的规律理解和分析双星及多星运动的相关问题,培养科学思维及综合分析能力.3.能利用离心运动思想分析卫星的变轨问题,会确定变轨前后的卫星速度变化情况,培养科学思维及逻辑推理能力.
[学习目标]　
类型一　赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较
「归纳提升」
比较内容 赤道上的物体 近地卫星 同步卫星
向心力来源 万有引力 的分力 万有引力
向心力方向 指向地心
重力与万有引力的关系 重力略小于 万有引力 重力等于万有引力
「典例研习」
[例1] 如图所示,A为地球表面赤道上的物体,B为轨道在赤道平面内的实验卫星,C为在赤道上空的静止轨道卫星,已知卫星C和卫星B的轨道半径之比为3∶1,且两卫星的环绕方向相同,下列说法正确的是(　　)
A.卫星B、C运行速度之比为3∶1
B.卫星B的加速度大于物体A的加速度
C.同一物体在卫星B中对支持物的压力比在卫星C中大
D.在卫星B中一天内最多可看到3次日出
B
类型二　宇宙双星问题
1.双星系统的特点
「归纳提升」
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2.
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为r1+r2=L.
2.双星的两个推论
「典例研习」
[例2] (多选)早在1916年爱因斯坦就基于广义相对论预言了引力波的存在,1974年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星,该双星系统在互相公转时,由于不断发射引力波而失去能量,因此逐渐相互靠近,这现象为引力波的存在提供了首个间接证据.若不考虑赫尔斯—泰勒脉冲双星质量的变化,则下列关于该脉冲双星的说法正确的是(　 　)
A.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们相互公转的周期不变
B.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们相互公转的周期逐渐变小
C.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们各自做圆周运动的半径逐渐减小,但半径的比值保持不变
D.若测出脉冲双星相互公转的周期,就可以求出双星的总质量
BC
·规律总结·
解答双星问题应注意“两等”“两不等”
(1)“两等”.
①它们的角速度相等.
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,即它们受到的向心力大小总是相等的.
·规律总结·
(2)“两不等”.
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点,所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的,它们的轨道半径之和才等于它们间的距离.
②由m1ω2r1=m2ω2r2知,由于m1与m2一般不相等,故r1与r2一般也不相等.
类型三　人造卫星的变轨问题
「归纳提升」
1.稳定运行
2.变轨运行
「典例研习」
[例3] (2024·安徽卷,5)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空.当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km.后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h.则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
B
·规律总结·
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道上的运行速度大小时,可根据“越远越慢”的规律判断.
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时,可根据开普勒第二定律判断,即离中心天体越远,速度越小.
(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时,可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.
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