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2026年中考考前预测卷
数学
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示为某个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）
A．三棱锥 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
3．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若，，三点在同一条直线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根的情况为（　　）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
6．化简的结果是（　　）
A．1 B． C． D．3
7．如图，在△中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，菱形的面积为20，于点，，将△沿折到△处，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度（单位：与温度（单位：之间的对应关系如图所示，相关信息请见表，则下列说法正确的是（　　）
1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
A．甲种物质的溶解度大于乙种物质的溶解度
B．在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大
C．当时，向水中添加甲种物质，则甲溶液一定能达到饱和状态
D．当时，向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若是整数，则满足条件的自然数的值为　 　 ．
12．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分 9.0 9.5 9.5 9.5
方差 3.1 3.1 6.6 5.2
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择 　 　．
13．按一定规律排列的单项式：，，，，，据此规律，第12个单项式为　 　 ．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为___________ ．
15．如图，在中，，，，点在上，，点是上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小长度为________ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）化简：．
17．（9分）为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的10名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下：
数据 10名学生的立定跳远成绩分别为：
163，160，160，160，156，156，155，155，154，154．
数据 如表为10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
157.3
（1）表中的值为　 　 ，的值为　　 ；
（2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛：
条件1 平均成绩高于已进入决赛的10名学生中一半学生的成绩；
条件2 成绩最稳定．
①若甲学生前4次复活赛测试成绩为157，158，156，152，要满足条件1，则第5次测试成绩至少为多少？（结果取整数）
②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 157 158 156 152 154
乙 162 159 158 152 154
丙 158 157 158 158 158
则可以进入决赛的学生为　　 （在“甲”、“乙”、“丙”中选填一个）．
18．（9分）小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由．
19．（9分）如图，在中，点为的中点，是其对角线．
（1）请仅用无刻度的直尺作图：作出的中点（保留作图痕迹，不写作法），并证明点是的中点．
（2）在（1）的条件下，连接，．给△添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是 　 　 ．
20．（9分）“植树节”期间，某校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元；
（2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
21．（9分）如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”．
（1）如图1，△是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长；
（2）如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得△是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）．
22．（10分）已知二次函数，为常数）的图象经过点和．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值．
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围．
23．（10分）如图1，在△中，，，点为边上的动点，以为顶点作，射线交边于点．
（1）求证：△△；
（2）当时，求的长；
（3）如图2，在点从点运动到点的过程中，过点作交射线于点，请直接写出点运动的路径长．2026年中考考前预测卷
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D B C B D B C D D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．16，7，12，15，0．
12．乙．
13．．
14．．
15．．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）解：（1）原式；·····5分
（2）原式．·····10分
17．（9分）（1），；（2）①至少；②丙．
【解答】解：（1）由题意，先把成绩从小到大排列：154，154，155，155，156，156，160，160，160，163，一共10个数据，
中位数是第5、6个数的平均数：，
出现次数最多的数，众数．
故答案为：156；160；·····4分
（2）①由题意，平均成绩高于一半学生成绩，即高于中位数156，
可设第5次成绩为，则，
，，
成绩取整数，至少．·····7分
②平均分，成绩最稳定（即方差最小），
又甲：157，158，156，152，154；
乙：162，159，158，152，154；
丙：158，157，158，158，158，
丙成绩几乎都一样，方差最小、最稳定，且平均分高于156．
进入决赛的是：丙．
故答案为：丙．·····9分
18．（9分）解：（1）直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点，
，；·····3分
（2）点不在反比例函数图象上，·····4分
理由如下，
，，，
如图所示，过点作于点，
，则，
同理，，
，，，
，
将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点，
，，
过点作于点，
，
，
，
，
，
点不在反比例函数图象上．·····9分
19．（9分）解：（1）如图，连接与相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求．
·····3分
证明：因为四边形是平行四边形，
，，．
，，
△△，
则，而，点为的中点，
，
，即点是的中点．·····6分
（2）；理由如下：
当时，
，分别是，的中点，
，，，
又四边形是平行四边形，，，
，，
四边形是平行四边形；
，
四边形是矩形．
故答案为：．·····9分
20．（9分）解：（1）设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，
由题意得：，
解得：，
答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元；·····4分
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少．·····9分
21．（9分）解：（1）如图1中，过点作交的延长线于点，设．
，
，
，
，
，
，
解得（负根已经舍去），
；·····4分
（2）如图2中，△，△即为所求．
·····9分
22．（10分）解：（1）二次函数，为常数）的图象经过点和，
，
．
抛物线为．·····3分
（2），
抛物线的对称轴为直线，
将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，
，
，
再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，
将向左平移个单位长度得到，
把点代入得，，
解得或（舍去），
的值为1．·····7分
（3）由题意，当时，
最大值与最小值的和为．
不符合题意，舍去．
当 时，
最大值与最小值的和为，符合题意．
当时，最大值与最小值的和为，
解得 或，不符合题意．
综上所述，的取值范围为．·····10分
23．（10分）（1）证明：，
，
，，
，
又，
△△；·····4分
（2）解：，
△△，
△△，
△△，
，
即，
解得，
，
，
即，
解得；·····8分
（3）解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
即，
点到所在直线的距离为，
点从点运动到点的过程中，点的运动路径是线段，
当点与点重合时，点在的位置，此时，，
，
，
当点与点重合时，点在的位置，此时，，
如图，连接，
，
，
，
即△是等腰三角形，
△△，
，
即，
，
即点运动的路径长为12．·····10分2026年中考考前预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：题目中规定向前空翻记为正，那么与它相反的向后空翻就应该记为负．
向后进行10次空翻记作，对应选项．
故选：．
2．如图所示为某个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　）
A．三棱锥 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
【答案】
【解答】解：观察展开图发现，展开图中有3个长方形，2个面是三角形，
所以这个几何体是一个棱柱，且为三棱柱．
故选：．
3．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：．
故选：．
4．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若，，三点在同一条直线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：根据“对顶角相等”得，
，，
．
故选：．
5．一元二次方程的根的情况为（　　）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【答案】
【解答】解：，△，方程有两个不相等的实数根．
故选：．
6．化简的结果是（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】
【解答】解：．
故选：．
7．如图，在△中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【解答】解：平分，
，
，
，
在△和△中，
，
△△．
．，
点是边的中点，
为△的中位线，
，
，
．
故选：．
8．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小亮和爸爸相邻而坐的结果有；，，，，共4种，
小亮和爸爸相邻而坐的概率为．
故选：．
9．如图，菱形的面积为20，于点，，将△沿折到△处，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：菱形的面积为20，于点，，
，，，
，，
，
由翻折得，，
，
点在直线上，
作于点，则，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故选：．
10．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度（单位：与温度（单位：之间的对应关系如图所示，相关信息请见表，则下列说法正确的是（　　）
1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
A．甲种物质的溶解度大于乙种物质的溶解度
B．在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大
C．当时，向水中添加甲种物质，则甲溶液一定能达到饱和状态
D．当时，向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态
【答案】
【解答】解：根据对图象的交点及在一点范围内图象的性质，逐项分析判断如下：
、当温度小于时，甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度；当温度大于时，甲种物质的溶解度大于乙种物质的溶解度；当温度等于时，甲种物质的溶解度等于乙种物质的溶解度；原说法错误，不符合题意；
、在温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大；原说法错误，不符合题意；
、由图或知：当时，甲种物质的溶解度大于，所以向水中添加甲种物质，则甲溶液一定不能达到饱和状态，原说法错误，不符合题意；
、由图或知：当时，乙种物质的溶解度小于，所以向水中添加乙种物质，则乙溶液一定能达到饱和状态，说法正确，符合题意．
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若是整数，则满足条件的自然数的值为　16，7，12，15，0　 ．
【答案】16，7，12，15，0．
【解答】解：有意义，
，即，
是整数，
，9，4，1，0，
满足条件的自然数的值为16，7，12，15，0．
故答案为：16，7，12，15，0．
12．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分 9.0 9.5 9.5 9.5
方差 3.1 3.1 6.6 5.2
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择 　乙　．
【答案】乙．
【解答】解：成绩好的选手是乙、丙和丁，成绩发挥稳定的选手是甲、乙，
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择乙．
故答案为：乙．
13．按一定规律排列的单项式：，，，，，据此规律，第12个单项式为　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可得：
系数的排列规律为：4，9，16，25，，，
指数的排列规律为：1，3，5，7，，，
第个单项式为：，
第12个单项式为：．
故答案为：．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【解答】解：四边形是矩形，
，
边与相切于点，
，
，
，且，
，
于点，且，
，
，
，
，
故答案为：．
15．如图，在中，，，，点在上，，点是上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小长度为 ．
【答案】．
【解答】解：在上截取，连接、，过点作于点，过点作于点．
在中，由可得，
△是等边三角形，
，，
由旋转可知，，
，
△△，
，
，
点与点重合时的长度最小，
，
在△中，，，
，
的最小长度为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）化简：．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式；·····5分
（2）原式．·····10分
17．（9分）为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的10名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下：
数据 10名学生的立定跳远成绩分别为：
163，160，160，160，156，156，155，155，154，154．
数据 如表为10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
157.3
（1）表中的值为　 　 ，的值为　　 ；
（2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛：
条件1 平均成绩高于已进入决赛的10名学生中一半学生的成绩；
条件2 成绩最稳定．
①若甲学生前4次复活赛测试成绩为157，158，156，152，要满足条件1，则第5次测试成绩至少为多少？（结果取整数）
②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 157 158 156 152 154
乙 162 159 158 152 154
丙 158 157 158 158 158
则可以进入决赛的学生为　　 （在“甲”、“乙”、“丙”中选填一个）．
【答案】（1），；（2）①至少；②丙．
【解答】解：（1）由题意，先把成绩从小到大排列：154，154，155，155，156，156，160，160，160，163，一共10个数据，
中位数是第5、6个数的平均数：，
出现次数最多的数，众数．
故答案为：156；160；·····4分
（2）①由题意，平均成绩高于一半学生成绩，即高于中位数156，
可设第5次成绩为，则，
，，
成绩取整数，至少．·····7分
②平均分，成绩最稳定（即方差最小），
又甲：157，158，156，152，154；
乙：162，159，158，152，154；
丙：158，157，158，158，158，
丙成绩几乎都一样，方差最小、最稳定，且平均分高于156．
进入决赛的是：丙．
故答案为：丙．·····9分
18．（9分）小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由．
【解答】解：（1）直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点，
，；·····3分
（2）点不在反比例函数图象上，·····4分
理由如下，
，，，
如图所示，过点作于点，
，则，
同理，，
，，，
，
将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点，
，，
过点作于点，
，
，
，
，
，
点不在反比例函数图象上．·····9分
19．（9分）如图，在中，点为的中点，是其对角线．
（1）请仅用无刻度的直尺作图：作出的中点（保留作图痕迹，不写作法），并证明点是的中点．
（2）在（1）的条件下，连接，．给△添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是 　 　 ．
【解答】解：（1）如图，连接与相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求．
·····3分
证明：因为四边形是平行四边形，
，，．
，，
△△，
则，而，点为的中点，
，
，即点是的中点．·····6分
（2）；理由如下：
当时，
，分别是，的中点，
，，，
又四边形是平行四边形，，，
，，
四边形是平行四边形；
，
四边形是矩形．
故答案为：．·····9分
20．（9分）“植树节”期间，某校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元；
（2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
【解答】解：（1）设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，
由题意得：，
解得：，
答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元；·····4分
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少．·····9分
21．（9分）如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”．
（1）如图1，△是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长；
（2）如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得△是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）．
【解答】解：（1）如图1中，过点作交的延长线于点，设．
，
，
，
，
，
，
解得（负根已经舍去），
；·····4分
（2）如图2中，△，△即为所求．
·····9分
22．（10分）已知二次函数，为常数）的图象经过点和．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值．
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数，为常数）的图象经过点和，
，
．
抛物线为．·····3分
（2），
抛物线的对称轴为直线，
将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，
，
，
再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，
将向左平移个单位长度得到，
把点代入得，，
解得或（舍去），
的值为1．·····7分
（3）由题意，当时，
最大值与最小值的和为．
不符合题意，舍去．
当 时，
最大值与最小值的和为，符合题意．
当时，最大值与最小值的和为，
解得 或，不符合题意．
综上所述，的取值范围为．·····10分
23．（10分）如图1，在△中，，，点为边上的动点，以为顶点作，射线交边于点．
（1）求证：△△；
（2）当时，求的长；
（3）如图2，在点从点运动到点的过程中，过点作交射线于点，请直接写出点运动的路径长．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
又，
△△；·····4分
（2）解：，
△△，
△△，
△△，
，
即，
解得，
，
，
即，
解得；·····8分
（3）解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
即，
点到所在直线的距离为，
点从点运动到点的过程中，点的运动路径是线段，
当点与点重合时，点在的位置，此时，，
，
，
当点与点重合时，点在的位置，此时，，
如图，连接，
，
，
，
即△是等腰三角形，
△△，
，
即，
，
即点运动的路径长为12．·····10分

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