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2026年中考考前预测卷
数学·参考答案
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B C D C C C D C D
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11． 12．9600 13． 9
14． 15． 16．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）
【解答】解：
…………………………………2分
…………………………………4分
． …………………………………6分
18．（6分）
【解答】（
；…………………………………3分
∵、、，即且．
结合条件且为整数，符合要求的只能是或．…………………………………4分
若选，代入得：；
若选，代入得：．…………………………………6分
19．（8分）
【解答】（1）解：由题意得：（名），
答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生；…………………………………2分
（2）解：类的人数为：（名），
名，
答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的九年级学生共有30600名；…………………………………4分
（3）解：根据题意，画树状图如下：
…………………………………6分
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
恰好选中甲和乙的概率为．…………………………………8分
20．（8分）
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，…………………………………2分
在和中，
，
∴，
∴；…………………………………4分
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
由（1）可得，
∵，是的中点，
∴，
∴，…………………………………6分
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．…………………………………8分
21．（10分）
【解答】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒，
由题意可得，，解之得：，…………………………………4分
答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒．…………………………………5分
（2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元，
水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，
，解之得：，…………………………………7分
由题意可得，，
，
随的减小而增大，
∴当时，取得最大值，此时，……………………………9分
答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元．…………………………………10分
22．（10分）
【解答】（1）解：①如图，过作于，而，
，
，
，
故答案为：；…………………………………2分
②如图，过点作于点，过点作于点，
结合题意可得：四边形为矩形，
，
，
，
，…………………………………4分
，
由条件可知米，
在中，，
又，
，
解得：米，
此时影子的长度为米；…………………………………6分
（2）解：小明会被照射到．理由如下：
如图，过点作交于点，
由条件可知，
是等边三角形，
，
米，
．…………………………………8分
米，
米，
当时，米，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到．…………………………………10分
23．（12分）
【解答】（1）证明：∵是直径，
∴，
∵过点作，即，
∴，
∴；…………………………………2分
（2）解：①∵是直径，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵,
∴是等边三角形，
∴；…………………………………5分
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，…………………………………7分
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，…………………………………8分
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，…………………………………9分
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，…………………………………10分
∴，
∴，
∴，即．…………………………………12分
24．（12分）
【解答】（1）解：①设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，
则，即，
所以的解析式为，
故答案为：×；…………………………………1分
②设上的任意一点为，则变换之前的点在的图象上，
则，即，
故答案为：√；…………………………………2分
③由于为的“倍函数”，
则，
整理得：，
，即，
故答案为：×；…………………………………3分
（2）解：由题可知，函数，
、，
设的“倍函数”上点为，则在原函数上，
则，
整理得：，…………………………………5分
、，
，，
四边形为矩形，
，
，
解得：，…………………………………6分
、，
，点A、C到轴距离均为2，
；…………………………………7分
（3）解：（）如图，当时，
由题意知，抛物线，
顶点，
令得：，
解得，…………………………………9分
，
、、，
，
是等边三角形，
，
是的“倍函数”，
设上的点，则在上，
则，
整理得：，
顶点，
，
过点作轴交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
、，
，
轴，
，
，
，
在等边中，，
、，
，
、，
在中，，
、，
，
，
将点P坐标代入表达式得：
，
解得；…………………………………10分
（）如图，当时，
由（）抛物线的解析式为，
由题可知，，，三点共线，且顶点为，
作关于轴对称的，交于点，
同（）可证四边形是矩形、是边长为2的等边三角形，
，，，
在中，，，
，
，，
，
点坐标，
将点P坐标代入表达式得：
，
，
综上所述，的值为．……………………………………………………12分
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2026年中考考前预测卷
九年级 数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ）
A．-2026 B．2026 C． D．
2．下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（ ）
A．只抽取社区内60岁以上的老年居民
B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民
C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民
D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民
5．如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．9的算术平方根是
B．同位角相等
C．点和点关于轴对称，则的值为5
D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
7．两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（ ）
A．加热6分钟时水沸腾
B．加热4分钟时水温上升了
C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟
D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟
9．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______．
12．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880
合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960
若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个．
13．在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久．现有如下运算规则：从1，2，3，，9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3．
（1）若选取的数字为，则运算结果为___________；
（2）无论选取的数字是1~9中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得到的结果恒为___________．
14．如图，点D在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点E，于点F，若，则图中阴影部分的面积是_________．
15．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
16．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）计算：．
18．（本题6分）先化简，再求值：，任选一个a代入，其中a是满足的整数．
19．（本题8分）为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？
(2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数；
(3)每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
20．（本题8分）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
21．（本题10分）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示：
价格/品种 品种 品种
进价（元/盒）
标价（元/盒）
(1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？
(2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
22．（本题10分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点
太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
(1)【任务1】某一时刻测得米，
①请直接写出__________；
②请求出此时影子的长度；
(2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．
23．（本题12分）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，
①若，，求的长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
24．（本题12分）定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为．
(1)判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”；
①：的“3倍函数”是：；（ ）
②：是：的“2倍函数”；（ ）
③若：是：的“倍函数”，则（ ）
(2)如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积；
(3)如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值．
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2026年中考考前预测卷
九年级 数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ）
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解．
【详解】解：的相反数是．
2．下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解： A、是轴对称图形而不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形；
D、是中心对称图形而不是轴对称图形．
3．下列运算中结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A：，A错误；
选项B：，B错误；
选项C：，C正确；
选项D：，D错误．
4．为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（ ）
A．只抽取社区内60岁以上的老年居民
B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民
C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民
D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民
【答案】D
【详解】解：A、不具有普遍性，故本选项不符合题意；
B、不具有普遍性，故本选项不符合题意；
C、不具有普遍性，故本选项不符合题意；
D、该抽样调查的方式合适，故本选项符合题意；
5．如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正多边形的性质得，由圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接、，
为正八边形的外接圆，
，
．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．9的算术平方根是
B．同位角相等
C．点和点关于轴对称，则的值为5
D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
【答案】C
【分析】根据算术平方根，平行线的性质，轴对称的性质，勾股定理逐一判断即可．
【详解】解：A．9的算术平方根是，原命题是假命题；
B．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
C．点和点关于轴对称，则，，即，原命题是真命题；
D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为或，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，求算术平方根，平行线的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意，，
∵，
∴
∴
8．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（ ）
A．加热6分钟时水沸腾
B．加热4分钟时水温上升了
C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟
D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟
【答案】D
【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了，可判断B，设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为，利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D．
【详解】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了，故B正确，不符合题意．
设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为，
将和代入，
得，解得
故加热一壶水时，与的函数表达式为．
当时，，
解得．故A正确，不符合题意．
设将茶叶放入热水壶后与的函数关系式为（为常数，且），
将代入，
得，
解得，
，
当时，，
解得，
（分钟），
若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意．
当时，，解得，
当时，，解得，
该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟，
故C正确，不符合题意．
9．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出的长，作图得到垂直平分，进而得到的长，解直角三角形，求出的长，由作图可知，，勾股定理求出的长即可.
【详解】解：∵在矩形中，，，为矩形对角线，
∴，，
∴，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴.
10．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出当和时 y与x的函数关系式，即可解答．
【详解】解：当时，，设的垂线l，交于点，
由题意得，，，
∴,，
∴，开口向上；
当时，， 过点B作，交于H，
∵，，
则，，
∵在菱形中，，，是的垂线，
∴四边形是直角梯形，
∴，
∴，
∴，
当时，过点B作，交于H，设的垂线l交于点，
∵在菱形中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，开口向下；
选项D符合条件要求．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______．
【答案】
【详解】解：根据点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，横坐标加2，向上平移4个单位长度，纵坐标加4，
可得平移后点的坐标为：．
12．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：
抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880
合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960
若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个．
【答案】9600
【分析】观察表格得到合格头盔频率的稳定值，再用总生产数量乘稳定频率得到估计的合格头盔数．
【详解】解：由表格可知，随着抽查头盔数增大，合格头盔的频率逐渐稳定在，
因此估计生产个头盔，合格头盔数为 （个）．
13．在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久．现有如下运算规则：从1，2，3，，9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3．
（1）若选取的数字为，则运算结果为___________；
（2）无论选取的数字是1~9中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得到的结果恒为___________．
【答案】 9
【分析】（1）根据题目给出的运算顺序列出代数式，化简即可；
（2）根据（1）化简后的代数式，分析结果的个位与十位数字，求和即可得到恒定结果．
【详解】解：（1）根据题意，按照运算顺序列代数式为：；
（2）由（1）知，选取的数字为，则运算结果为
，为整数，
，
设，则
，
即十位数字为，个位数字为，
将个位与十位相加得：，
因此，最终结果恒为9．
14．如图，点D在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点E，于点F，若，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】/
【分析】连接，如图，先证明四边形和四边形都为矩形，再证明四边形为正方形，可知，，，然后利用图中阴影部分的面积进行计算．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形和四边形都为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴由、和弧所围成的图形的面积由、和弧所围成的图形的面积，
∴图中阴影部分的面积．
15．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】/
【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得．
16．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____．
【答案】
【分析】过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，设，则，由勾股定理得，从而列出方程，求出x的值，再代入，即可求解．
【详解】解：如图，过作于，
由作法得：平分，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
∵，
，
解得：．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
18．（本题6分）先化简，再求值：，任选一个a代入，其中a是满足的整数．
【答案】，当时，原式（或 ，当时，原式，任选其一作为答案即可）
【分析】进行通分计算，并把分式除法转化为乘法，然后进行约分简化，所以找出分子分母中的公因式并约去，得到最简分式．因为要选取合适的值代入，所以先根据分式有意义的条件，排除使分母为0的值，再从满足的整数中选取符合条件的代入最简分式计算．
【详解】
；
∵、、，即且．
结合条件且为整数，符合要求的只能是或．
若选，代入得：；
若选，代入得：．
19．（本题8分）为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？
(2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数；
(3)每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】(1)500名
(2)30600名
(3)
【分析】（1）利用B类的人数除以所占百分比得到样本总量；
（2）利用“样本估计总体”进行计算即可；
（3）根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：（名），
答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生；
（2）解：类的人数为：（名），
名，
答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的九年级学生共有30600名；
（3）解：根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
恰好选中甲和乙的概率为．
20．（本题8分）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，再证明，即可得证；
（2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得，最后再由菱形的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
由（1）可得，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
21．（本题10分）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示：
价格/品种 品种 品种
进价（元/盒）
标价（元/盒）
(1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？
(2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒
(2)当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确找出等量关系，列出相对应的方程组和不等式组是解决本题的关键．
【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒，
由题意可得，，解之得：，
答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒．
（2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元，
水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，
，解之得：，
由题意可得，，
，
随的减小而增大，
∴当时，取得最大值，此时，
答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元．
22．（本题10分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点
太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
(1)【任务1】某一时刻测得米，
①请直接写出__________；
②请求出此时影子的长度；
(2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．
【答案】(1)①；②米
(2)小明会被照射到；理由见解析
【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案；
②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度；
（2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可．
【详解】（1）解：①如图，过作于，而，
，
，
，
故答案为：；
②如图，过点作于点，过点作于点，
结合题意可得：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
由条件可知米，
在中，，
又，
，
解得：米，
此时影子的长度为米；
（2）解：小明会被照射到．理由如下：
如图，过点作交于点，
由条件可知，
是等边三角形，
，
米，
．
米，
米，
当时，米，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到．
23．（本题12分）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，
①若，，求的长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)①；②证明过程见详解
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角得到，根据垂直的定义得到，根据同角的余角相等即可求解；
（2）①如图所示，连接，可证是等边三角形，得到，由此即可求解；
②根据题意先证明，得，如图所示，在上取，连接，可证，得，，再证明，得，，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵是直径，
∴，
∵过点作，即，
∴，
∴；
（2）解：①∵是直径，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵,
∴是等边三角形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查圆与三角形，四边形的综合，掌握直径所对圆周角为直角，同弧所对弦相等，等腰直角三角形的，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键．
24．（本题12分）定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为．
(1)判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”；
①：的“3倍函数”是：；（ ）
②：是：的“2倍函数”；（ ）
③若：是：的“倍函数”，则（ ）
(2)如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积；
(3)如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值．
【答案】(1)①×；②√；③×
(2)10
(3)
【分析】（1）利用“倍函数”的定义逐一计算判断即可；
（2）先求出的“倍函数”，得到点A、B、C、D的坐标，根据矩形的性质得到，据此列出方程，求出的值，再利用求解即可；
（3）分情况讨论：当或时，先求出点M、N坐标，进而得到是等边三角形，根据“倍函数”的定义求出的表达式，进而得到点G的坐标，过点作轴交于点，过点作交于点，证得四边形是矩形，进而得到，在中，、，进而求出点坐标，利用点在上，求出的值．
【详解】（1）解：①设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，
则，即，
所以的解析式为，
故答案为：×；
②设上的任意一点为，则变换之前的点在的图象上，
则，即，
故答案为：√；
③由于为的“倍函数”，
则，
整理得：，
，即，
故答案为：×；
（2）解：由题可知，函数，
、，
设的“倍函数”上点为，则在原函数上，
则，
整理得：，
、，
，，
四边形为矩形，
，
，
解得：，
、，
，点A、C到轴距离均为2，
；
（3）解：（）如图，当时，
由题意知，抛物线，
顶点，
令得：，
解得，
，
、、，
，
是等边三角形，
，
是的“倍函数”，
设上的点，则在上，
则，
整理得：，
顶点，
，
过点作轴交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
、，
，
轴，
，
，
，
在等边中，，
、，
，
、，
在中，，
、，
，
，
将点P坐标代入表达式得：
，
解得；
（）如图，当时，
由（）抛物线的解析式为，
由题可知，，，三点共线，且顶点为，
作关于轴对称的，交于点，
同（）可证四边形是矩形、是边长为2的等边三角形，
，，，
在中，，，
，
，，
，
点坐标，
将点P坐标代入表达式得：
，
，
综上所述，的值为．
【点睛】本题考查二次函数的图象性质、矩形的判定与性质、等边三角形的性质、解直角三角函数、勾股定理、“倍函数”的定义，正确理解新的定义，熟练掌握相关性质定理、数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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