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浙江省精诚联盟2026届高三下学期第二次模拟练习数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数若，则实数( )
A. B. C. D.
5.从数字，，，，中任取个构成的无重复数字的位数，其中能被整除的偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知三棱锥的外接球的半径为，底面是边长为的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. ，
D. 的图象关于点对称
10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为，为的左顶点，过点且与直线垂直的直线与轴相交于点，且．，为双曲线上关于坐标原点对称的两点点在第一象限，记直线，的倾斜角分别为，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线的离心率 B. 直线与双曲线有两个公共点
C. D.
11.已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是( )
A.
B. 函数为奇函数
C. 函数的图象关于直线对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为单位向量，若向量在向量方向上的投影向量为，则 ．
13.已知，则 ．
14.甲、乙两人进行摸小球游戏，游戏规则为：一个盒子中装有颜色为红、绿、黄、蓝、黑、白的小球各一个，每个小球除颜色外完全相同，甲先从盒子中随机摸取一个小球，如果摸到的是红球，则甲直接获胜，若摸到其他颜色的小球，记其颜色为后，放回盒子，然后从乙开始轮流有放回的摸取小球，直至任意一人摸出红球或颜色为的小球，该游戏结束若结束时摸出的是红球，则乙获胜若结束时摸出的是颜色为的小球，则甲获胜如果甲在第次摸取后游戏恰好结束，记此时甲获胜的概率为，若，则正整数的最大值为 参考数据：取，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，，且对，．
求；
证明：．
16.本小题分
睡眠是人体生理活动的基本阶段，良好的睡眠质量能够保证身体健康、增强免疫力、提高工作和学习的效率某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间单位：对睡眠质量的影响，对位志愿者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并统计得到了如下表格：
轻度睡眠障碍人数
重度睡眠障碍人数
睡眠质量良好人数
总人数
由表中的数据求这人平均每天使用电子产品时间的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
从这人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间在内的概率；
若平均每天使用电子产品的时间大于等于小时为超标按所给数据，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关．
睡眠质量 平均每天使用电子产品的时间 合计
超标 不超标
良好
障碍包括轻度和重度
合计
附：，
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为的正三角形，，分别为棱，的中点，且．
证明：平面
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点，且的外接圆半径为．
求的方程；
已知点，为上异于，的点，分别以，，为切点作的切线，，，且直线与交于点，直线与线段，分别交于点，，求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数的导函数为．
求函数的单调区间；
试判断函数在上的极值点个数；
已知，，记，，若且，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：解：由题意得，
当时，，联立，解得，
又，
当时，，，，，
由累乘可得，所以，又符合上式，
所以．
证明：由知数列为等差数列，则，
所以，
故，
因为，所以得证．

16.解：设这人平均每天使用电子产品时间的估计值为，
则，
所以这人平均每天使用电子产品时间的估计值为小时．
设：此人轻度睡眠障碍；：此人平均每天使用电子产品的时间在内，
则，，
所以．
由表中数据得列联表如下：
睡眠质量 平均每天使用电子产品的时间 合计
超标 不超标
良好
障碍包括轻度和重度
合计
零假设为：睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间无关，
根据列联表中的数据，计算得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关．

17.解：证明：因为和均是边长为的正三角形，
为的中点，所以．
又因为为的中点，所以．
因为，所以．
因为，，，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，，平面，
所以平面．
由知，，平面，，平面，所以，即，
又，，平面，得平面，
取中点，连接，
则三条直线，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得，因为，
故AD，
，
，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：由题，，，，
由正弦定理得的外接圆半径，
解得，所以的方程为．
由知，，设直线：，
与抛物线方程联立，得，
则，得，
所以：，同理可得：，
联立与的方程，得，
设，直线：，
由，得，
由得或，
当时，直线：，与直线重合，
此时，点与点重合，不合题意，舍去，
当时，直线：，即，
与直线：联立可得，
点到直线的距离，
又，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，
所以面积的最大值为．

19.解：由题意知：，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为．
，，
令，则，
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
在上有唯一的极大值点，不存在极小值点，
在上的极值点个数为．
由知：当时，，即，
，，，对任意都成立，
，即；
令，则，
令，则，
则当时，，，即在上单调递增，
令，且，
则，在上单调递增，
，，
，
即；
综上所述：．

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