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云南西南名校联盟2025-2026学年高三下学期5月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
5.若数据的标准差为，则数据的标准差为( )
A. B. C. D.
6.太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成如图所示，已知圆柱的高是底面外圈半径的倍，若球外圈半径为，内部容积为，则它使用材料的体积近似为为( )
A. B. C. D.
7.若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为( )
A. B. 或 C. 或 D.
8.已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则( )
A. B. 数列是等差数列
C. 的最小值为 D.
10.已知函数，则( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为
C. 函数关于对称 D. 函数在区间上单调递增
11.设函数，则( )
A. 是奇函数 B. 当时，的最小值为
C. 当时，在区间上单调递增 D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆的长轴长为 ．
13.若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 ．
14.盒子中有个红球，个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入个同色球，则前三次取出球的颜色不完全相同的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，角所对的边分别为为的角平分线，，，且．
求角；
求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，．
求证：平面；
若，求直线与直线所成角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若函数在点处的切线斜率为，求实数的值；
讨论的单调性．
18.本小题分
已知点在抛物线上．
求抛物线的方程；
设直线与抛物线相交于，两点，
(ⅰ)若，求实数的值；
(ⅱ)为坐标原点，求外接圆圆心的轨迹方程．
19.本小题分
设，．
求；
求；
求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
因为为的角平分线，所以，
所以，
又，所以，
所以

16.解：证明：在中，因为，
可得，所以，
因为，且，平面，
所以平面．
解：在中，因为，
可得，所以，
由知：平面，平面，所以，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，可得，
设，可得，
因为，可得，
可得，解得，即，所以，
又由，可得
设异面直线与所成的角为，
可得．

17.解：已知 ，其定义域为，
，则，
因为函数 在点 处的切线斜率为，所以 ，
即 ，解得．
由可知，
令 ，其判别式，
当 ，即 时在 上恒成立，
又因为 ，所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增；
当 ，即 或 时，由 ，即 ，
根据求根公式可得．
若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；
若 ，则 ，且 ，
当 或 时，，则 单调递增，
当 时，，则 单调递减；
综上，当 时，在 上单调递增；
当 时，在 和 上单调递增，在 上单调递减．

18.解：将点代入，得，即，
则抛物线的方程为．
设，
联立，得，
则，
且，
则，
则，解得．
(ⅱ)由知，，，
则
，
所以，即为直角三角形，则外接圆圆心为的中点，
设的中点为，
则
消去，得，则外接圆圆心的轨迹方程为．

19.解：，
所以；
由题可知，所以，
所以，
所以；
当时，，
当时，，
其中，
，
所以
经验证满足上式，
综上

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