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章末检测试卷一
[时间：120分钟　分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.等于(　　)
A.24 B.60
C.48 D.72
2.集合M={1，-2，3}，N={-3，5，6，-4}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是(　　)
A.2 B.4
C.5 D.6
3.已知(3x-1)n的展开式的第5项的二项式系数最大，则(3x-1)n的展开式中x2的系数为(　　)
A.-252 B.252
C.-28 D.28
4.将4个a和2个b随机排成一行，则2个b不相邻的排法种数为(　　)
A.10 B.15
C.20 D.24
5.某次数学竞赛中，某校有A，B，C，D，E，F6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设A，B两人必须相邻且站在正中间，C，D两人不能相邻，则不同的站法共有(　　)
A.48种 B.40种
C.32种 D.24种
6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为(　　)
A.2 301 B.2 304
C.2 305 D.2 310
7.设(1+ax)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5满足a1+a2+…+a5=-2，则a2+a4等于(　　)
A.120 B.-120
C.40 D.-40
8.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生、4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为(　　)
A.564 B.484
C.386 D.640
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，下列说法正确的是(　　)
A.若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法
B.若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法
C.若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法
D.若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法
10.设x8=a0+a1(x+t)+a2(x+t)2+a3(x+t)3+…+a8(x+t)8，若a1=8，则(　　)
A.t=1 B.a2=28
C.a0+a1+a2+…+a8=0 D.a2+a4+a6+a8=127
11.在“双减”政策的推动下，某市教育局提出了教师轮岗制度，让更多的学生享受到更好更优质的师资，充分体现了教育的公平性.现从某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级.要求每个班级至少分配1名教师，至多分配3名教师，则(　　)
A.若将8名教师平均分配到4个不同班级，则有种分配方法
B.若有两个班级分配1名教师，另两个班级分配3名教师，则有种分配方法
C.根据班级实际情况，现(1)班需要1名教师，(2)班和(3)班均需要2名教师，(4)班需要3名教师，有种分配方法
D.根据教学经验分析，甲、乙、丙3名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，则有·种分配方法
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若=，则+++…+的值为　　　　.
13.现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体ABCDEF的六个顶点，要求A，B用同一种颜色的彩灯，其他各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有　　　　种.(用数字作答)
14.75 600有　　　　个正约数，有　　　　个正奇约数.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)4名男生、3名女生排成一行，求下列情形各有多少种不同的排法：
(1)甲、乙两人必须排在两端；(4分)
(2)男女间隔排列；(4分)
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.(5分)
16.(15分)在二项式的展开式中，
(1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项；(7分)
(2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项.(8分)
17.(15分)从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者.
(1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？(5分)
(2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地(每个场地均要有人去，1人只能去一个场地)，则有多少种安排方法？(5分)
(3)若男、女生各需要2人，选出4人后安排与2名组织者合影留念(站一排)，2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？(5分)
18.(17分)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，其中a0，a1，a2，…，an∈R，若第二项与第三项的二项式系数之比是1∶4.
(1)求n的值；(5分)
(2)求a1+a2+…+an；(可用指数形式作答)(5分)
(3)若x=-4，求该二项式的值被8除的余数.(7分)
19.(17分)在(1+x+x2)n=+x+x2+…+xr+…+x2n-1+x2n中，把，，，…，称为三项式系数.
(1)当n=2时，写出三项式系数，，，，的值；(3分)
(2)(a+b)n(n∈N)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数的数阵表；(6分)
(3)求-+-+…+的值.(用组合数作答)(8分)
章末检测试卷一
[时间：120分钟　分值：150分]
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.等于(　　)
A.24 B.60
C.48 D.72
答案　A
解析　==4=24.
2.集合M={1，-2，3}，N={-3，5，6，-4}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是(　　)
A.2 B.4
C.5 D.6
答案　D
解析　在第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数.
若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有1×2=2(个)；
若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标，则符合题意的点有2×2=4(个).
综上，符合题意的点的个数为2+4=6.
3.已知(3x-1)n的展开式的第5项的二项式系数最大，则(3x-1)n的展开式中x2的系数为(　　)
A.-252 B.252
C.-28 D.28
答案　B
解析　由于(3x-1)n的展开式的第5项的二项式系数最大，故n=8，
则(3x-1)8的展开式中x2的系数为(-1)632=252.
4.将4个a和2个b随机排成一行，则2个b不相邻的排法种数为(　　)
A.10 B.15
C.20 D.24
答案　A
解析　先排4个a有1种排法，再从5个空隙中选2个位置放b，
∴共有=10(种)排法.
5.某次数学竞赛中，某校有A，B，C，D，E，F6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设A，B两人必须相邻且站在正中间，C，D两人不能相邻，则不同的站法共有(　　)
A.48种 B.40种
C.32种 D.24种
答案　C
解析　第1步，排A，B，由题意可将A，B两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法；
第2步，排C，D，因为C，D两人不能相邻，所以只能排到A，B的两侧，
若C在A，B的左侧，则有种站法，此时D只能在A，B的右侧，有种站法，
共有=4(种)站法，同理C在A，B的右侧，D在A，B的左侧，有=4(种)站法，
故C，D共有8种站法；
第3步，将剩下的E，F进行排列，有种站法，所以不同的站法共有×8×=32(种).
6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为(　　)
A.2 301 B.2 304
C.2 305 D.2 310
答案　A
解析　首位为1的有=60(个)，前两位为20的有=12(个)，前两位为21的有=12(个)，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2 301.
7.设(1+ax)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5满足a1+a2+…+a5=-2，则a2+a4等于(　　)
A.120 B.-120
C.40 D.-40
答案　A
解析　因为(1+ax)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，
令x=1，得(1+a)5=a0+a1+a2+…+a5=-2+a0，①
令x=0，得(1+a×0)5=a0=1，可得(1+a)5=-1，所以a=-2.
令x=-1，得(1+2)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35，②
①+②得，2(a0+a2+a4)=-1+35，故a0+a2+a4=121，
所以a2+a4=120.
8.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生、4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为(　　)
A.564 B.484
C.386 D.640
答案　A
解析　8人分三组可分为2人、2人、4人和2人、3人、3人，共2种情况.
第一种情况分成2人、2人、4人三组，女生B，C去同一处景点，当B，C成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有=8(种)方法；
当B，C在4人组时，有+=36(种)方法.
第二种情况分成2人、3人、3人三组，当B，C成2人组时，有=6(种)方法；
当B，C在3人组时，有+=44(种)方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为(8+36+6+44)×=564.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳，下列说法正确的是(　　)
A.若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法
B.若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法
C.若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法
D.若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法
答案　BCD
解析　对于A，若瑜伽被安排在周一和周六，则共有=24(种)不同的安排方法，故A不正确；
对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，共有-=216(种)不同的安排方法，故B正确；
对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有=36(种)不同的安排方法，故C正确；
对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有=240(种)不同的安排方法，故D正确.
10.设x8=a0+a1(x+t)+a2(x+t)2+a3(x+t)3+…+a8(x+t)8，若a1=8，则(　　)
A.t=1 B.a2=28
C.a0+a1+a2+…+a8=0 D.a2+a4+a6+a8=127
答案　BD
解析　由于x8=[-t+(x+t)]8，所以a1=(-t)7=-8t7=8，所以t=-1，
a2=(-t)6=28t6=28，故A错误，B正确；
x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a8(x-1)8，
令x=1，可得a0=1，
令x=2，可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8，
令x=0，可得0=a0-a1+a2-a3+…+a8，
则a2+a4+a6+a8=-a0=128-1=127，故C错误，D正确.
11.在“双减”政策的推动下，某市教育局提出了教师轮岗制度，让更多的学生享受到更好更优质的师资，充分体现了教育的公平性.现从某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级.要求每个班级至少分配1名教师，至多分配3名教师，则(　　)
A.若将8名教师平均分配到4个不同班级，则有种分配方法
B.若有两个班级分配1名教师，另两个班级分配3名教师，则有种分配方法
C.根据班级实际情况，现(1)班需要1名教师，(2)班和(3)班均需要2名教师，(4)班需要3名教师，有种分配方法
D.根据教学经验分析，甲、乙、丙3名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，则有·种分配方法
答案　ACD
解析　对于A，若将8名教师平均分配到4个不同班级，则有·=(种)分配方法，故A正确；
对于B，若有两个班级分配1名教师，另两个班级分配3名教师，则有·=6(种)分配方法，故B错误；
对于C，(1)班需要1名教师，(2)班和(3)班均需要2名教师，(4)班需要3名教师，有·=(种)分配方法，故C正确；
对于D，甲、乙、丙3名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，
故剩余5名教师可按1，2，2和1，1，3两种情况分类，有·种分配方法，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.若=，则+++…+的值为　　　　.
答案　285
解析　由=，得m-3=或m-3+=13，解得m=(舍去)或m=12，
则+++…+=++++…+-1=+++…+-1=…=-1=285.
13.现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体ABCDEF的六个顶点，要求A，B用同一种颜色的彩灯，其他各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有　　　　种.(用数字作答)
答案　72
解析　首先给A，B两个顶点挂彩灯，有4种方法，再给C顶点挂彩灯，有3种方法，
①若D，F挂同一种颜色的彩灯，则有2种方法，
最后挂E点有2种方法，故有4×3×2×2=48(种)装饰方案；
②若D，F挂不同种颜色的彩灯，此时挂D点有2种方法，挂F点有1种方法，
最后挂E点有1种方法，故有4×3×2×1×1=24(种)装饰方案，
综上可得，共有48+24=72(种)不同的装饰方案.
14.75 600有　　　　个正约数，有　　　　个正奇约数.
答案　120　24
解析　因为75 600=24×33×52×7，所以75 600的每个约数都可以写成2i·3j·5k·7l的形式，其中0≤i≤4，0≤j≤3，0≤k≤2，0≤l≤1，且i，j，k，l∈N，所以75 600的正约数的个数为5×4×3×2=120，正奇约数的个数为4×3×2=24.
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.(13分)4名男生、3名女生排成一行，求下列情形各有多少种不同的排法：
(1)甲、乙两人必须排在两端；(4分)
(2)男女间隔排列；(4分)
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.(5分)
解　(1)先排甲、乙，再排其余5人，
根据分步乘法计数原理，共有=240(种)排法.
(2)先排4名男生，有种方法，
再将3名女生插在男生形成的3个空上，有种方法，
根据分步乘法计数原理，共有=144(种)排法.
(3)方法一　7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，故共有=840(种)排法.
方法二　先排剩下的4人，从7个位置选出4个位置就有种方法，再排甲、乙、丙有1种方法，则共有=840(种)排法.
16.(15分)在二项式的展开式中，
(1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项；(7分)
(2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项.(8分)
解　(1)由题意得(·23)∶(·25)=5∶6，
∴6=20，即n2-7n+6=0，
解得n=6或n=1(舍去).
∴该二项式展开式的通项为Tk+1=·()6-k·=·2k·，k=0，1，2，…，6，
∴当k=0，3，6时，Tk+1为有理项，
即展开式中的有理项为T1=x2，T4=，T7=.
(2)∵展开式中只有第5项的二项式系数最大，
∴n=8，
设展开式中第k+1项的系数最大，则解得5≤k≤6.
又k∈N，∴k=5或k=6，
∴展开式中系数最大的项为T6=)3=1 792x-4，T7=)2=1 792.
17.(15分)从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者.
(1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？(5分)
(2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地(每个场地均要有人去，1人只能去一个场地)，则有多少种安排方法？(5分)
(3)若男、女生各需要2人，选出4人后安排与2名组织者合影留念(站一排)，2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？(5分)
解　(1)从这11人中任选4人的选法有=330(种)，
其中只有男生的选法有=15(种)，只有女生的选法有=5(种)，
故4人中必须既有男生又有女生的选法有330-15-5=310(种).
(2)从这11人中任选4人的选法有=330(种)，
若人数按1，3分配，则安排方法有330=2 640(种)；
若人数按2，2分配，则安排方法有330··=1 980(种)，
所以共有2 640+1 980=4 620(种)安排方法.
(3)因为男、女生各需要2人，所以选出4人的方法有=150(种).
先排2名男生与2名组织者，有=24(种)排法；
再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空中，有=10(种)方法，
所以共有150×24×10=36 000(种)不同的合影方法.
18.(17分)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，其中a0，a1，a2，…，an∈R，若第二项与第三项的二项式系数之比是1∶4.
(1)求n的值；(5分)
(2)求a1+a2+…+an；(可用指数形式作答)(5分)
(3)若x=-4，求该二项式的值被8除的余数.(7分)
解　(1)第二项与第三项的二项式系数之比是1∶4，
所以=，即4n=，
解得n=9或n=0(舍去).
(2)令x=0，得19=1=a0，
令x=1，得(1-2)9=-1=a0+a1+a2+…+a9，
得a1+a2+…+a9=-2.
(3)当x=-4时，
(1-2x)9=99=(1+8)9=+×8+×82+…+×89=+8(+×81+…+×88)，
因为8是8的倍数，
所以8(+×81+…+×88)能被8整除，
所以99=(1+8)9=+×8+×82+…+×89被8除的余数为1.
19.(17分)在(1+x+x2)n=+x+x2+…+xr+…+x2n-1+x2n中，把，，，…，称为三项式系数.
(1)当n=2时，写出三项式系数，，，，的值；(3分)
(2)(a+b)n(n∈N)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数的数阵表；(6分)
(3)求-+-+…+的值.(用组合数作答)(8分)
解　(1)因为=1+2x+3x2+2x3+x4，
所以=1，=2，=3，=2，=1.
(2)因为(1+x+x2)0=1，
(1+x+x2)1=1+x+x2，
(1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4，
(1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，
(1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，
所以三项式的n(0≤n≤4，n∈N)次系数的数阵表如图.
(3)·(x-1)2 016=(+x+x2+…+xr+…+x4 031+x4 032)·[x2 016-x2 015+x2 014-x2 013+…+(-1)rx2 016-r+…-x+]，
其中x2 016的系数为-+-+…+，
又·(x-1)2 016=，
而二项式的展开式的通项为Tk+1=(-1)k(0≤k≤2 016且k∈N)，
由3×(2 016-k)=2 016，解得k=1 344，
所以x2 016的系数为=，
由代数式恒成立，
所以-+-+…+=.

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