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2026年中考考前预测卷
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ）
A．-2026 B．2026 C． D．
2．下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
3．“柳叶鸣蜩绿暗，荷花落日红酣”描绘了一幅夏日傍晚绚丽多彩且富有生机的情景．将“荷花落日红酣这六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“花”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．日 B．红 C．荷 D．酣
4．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（ ）
A．64° B．58° C．68° D．116°
6．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
7．因式分解：______．
8．计算_____．
9．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________．
10．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心，则______．
11．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是__________．
三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（6分）先化简，再求值：，其中．
13．（6分）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．
14．（6分）把六张仅有编号不同的卡片分成A，B两组，A组的三张卡片编号分别是1，2，3，B组的三张卡片编号分别是4，5，6，若分别从这两组卡片中各随机抽取一张，求抽到的编号都是奇数的概率．
15．（7分）如图，在矩形中，点是上一点，于，．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
16．（7分）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中的圆上找一格点，使得；
(2)在图2中的圆上找一点，使平分．
17．（7分）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下：
乙组：6，6，6，6，6，7，7，8，9，10．
老师根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计表：
组别 平均数 中位数 众数
甲 7.1 b c
乙 a 6.5 6
根据以上信息，请解答下面的问题．
(1)填空： ， ， ；
(2)若从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
18．（8分）如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面．测得．．
(1)在图2中，_____；
(2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于．
①_____；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：）
19．（8分）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示．
(1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间；
(3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围．
20．（10分）如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与重叠部分的面积为S．
(1)当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ；
(2)当点H在线段上时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式．
21．（10分）问题情境：
为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图 1.
探究实践1：
老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处折痕为，再将分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图 2，.老师让同学们探究：的度数是多少 并说明理由.
探究实践2：
完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图3，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题.经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现：
（1）小虎发现：“如图4，将平行四边形沿着(F为的中点)所在直线折叠，点C的对应点为 ，连接并延长交 于点 G，则与 相等.”
（2）小倩发现：“将平行四边形ABCD沿过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为 ，使于点 H，折痕交 于点 M，连接，交 于点 N. 若给出平行四边形面积的数值，及 和 的长度，就可以求出点 M 到的距离，”
请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由.
老师肯定了小倩同学思路的正确性，若平行四边形 的面积为 80，，请你帮助小倩求出点M到的距离.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点，点为抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为．
(1)点的坐标为___________；
(2)当时，求的长度；
(3)当抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围；
(4)过两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值．2026年中考考前预测卷
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6
C D A B B C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7． 8． 9． 10． 11．
三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（6分）
解：原式；（4分）
当时，原式．（6分）
13．（6分）
【详解】解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，（1分）
根据题意得：，（3分）
解得：，（5分）
答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆．（6分）
14．（6分）
【详解】解：列表如下：
4 5 6
1
2
3
（4分）
由列表可得共有9种等可能的情况，其中抽到的编号都是奇数的有2种情况，
则抽到的编号都是奇数的概率为．（6分）
15．（7分）
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；（4分）
（2）解：，
∴，
∵，，
∴．（7分）
16．（7分）
【详解】（1）
（4分）
（2）（7分）
17．（7分）
【详解】（1），，8．（4.5分）
（2）解：应选甲组参加决赛，理由如下：
虽然两个组的平均数相同，但甲组的中位数和众数均比乙组高，所以应选甲组参加决赛．（7分）
18．（8分）
【详解】（1）．（2分）
（2）解：①．（3分）
②如图，过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，
则，，．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴乘客水杯的最大高度约为．（8分）
19．（8分）
【详解】（1）， ．（2分）
（2）解：如图，
设的解析式为，
将点代入得：
，解得，
的解析式为，
设的解析式为，将点代入得：
，
解得，
的解析式为，
，
解得，
答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同．（6分）
（3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为．（8分）
20．（10分）
【详解】（1）3；9；（2分）
（2）解：当点H在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：．（5分）
（3）解：当时，如图1所示：
，
∴此时；
当时，如图2所示：
∵，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上所述：S与t的函数关系式为：
．（10分）
21．（10分）
【详解】（1）解：，理由如下：
由折叠得：，
∴，，，
∴，
∴，
∴；（2分）
（2）小虎的结论正确，理由如下：
∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴． （6分）
（3）如图，过点M作于Q，
∵的面积为80，边长，于点H，
∴，
∴，，
∵将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，
∴，
∵于点H，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴点M到的距离为．（10分）
22．（12分）
【详解】（1）解：∵，
　∴抛物线的顶点的坐标为．（2分）
（2）解：∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
当时，，
，，
∴，，
∴轴，
∴．（5分）
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值为，
∵抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大，
∴且，
解得：，
当时，解得：，
∴在时，抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值最大值为，最小值为，
又∵函数值最大值与最小值差为，
∴，
即；
当时，解得： ，
∴当时，抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值最大值为，最小值为，
又∵函数值最大值与最小值差为，
∴，
即．
综上，与的关系式为．（8分）
（4）解：当M，N两点时，即解得：，
分两种情况：
①当M为最高点或对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部，如图，
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
又∵轴，
∴，
∴，
∵点到该正方形边的最小距离是1，，∴，
∴，
∵正方形，∴，即，
解得：，（舍去）；（10分）
②当N为最高点时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部，如图，
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
又∵轴，
∴，
∴，
∵点到该正方形边的最小距离是1，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，即，
解得：（舍去），；
综上，当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，的值为或．（12分）2026年中考考前预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ）
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解．
【详解】解：的相反数是．
2．下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查代数式的书写规范，根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可．
【详解】解：∵ 带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数，
因此A不符合书写规范．
∵ 除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号，
因此B不符合书写规范．
∵ 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号，
因此C不符合书写规范．
∵ 符合代数式书写规范，因此D正确．
∴ 答案选D．
3．“柳叶鸣蜩绿暗，荷花落日红酣”描绘了一幅夏日傍晚绚丽多彩且富有生机的情景．将“荷花落日红酣这六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“花”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．日 B．红 C．荷 D．酣
【答案】A
【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形即可解答．
【详解】解：根据正方体的表面展开图可知，与“花”字相对的面上的汉字是“日”．
4．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
则，不等式组的解集为，
故选：B．
5．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（ ）
A．64° B．58° C．68° D．116°
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．先根据旋转的性质，结合已知条件得到且，再由等腰三角形性质可得
，最后在中，运用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，
∴且，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
6．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；由等腰三角形的三线合一可得，所以可知垂直平分线段，进而可得答案．
【详解】解：连接，，
由作法得，，
垂直平分，
，故①正确；
，，
，
由作法得平分，
，
，
，
在中，，
，
，故②正确；
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，故③错误；
， ，
，
垂直平分线段，故④正确．
故正确的个数有3个．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
7．因式分解：______．
【答案】
【详解】解：．
8．计算_____．
【答案】
【分析】先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式，即可得到答案．
【详解】解：．
9．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________．
【答案】
【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程.
【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为，
每人竿少竿，可得竹竿总数为，
因为竹竿总数不变，
因此可列方程：.
10．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心，则______．
【答案】
【分析】根据正多边形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可
【详解】解：∵是正六边形，点为中心，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴．
11．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】取点，连接交于点，连接，取的中点，连接．因为、，所以，所以当最小时，、最小，运动到时，最小，由此即可解决问题．
【详解】解：取点，连接交于点，连接，取的中点，连接，此时最小．
设点的坐标为，则，
，，点是的中点，
，，
．
当运动到时，最小，
此时的最小值．
故答案为：．
三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】
，
【详解】解：原式；
当时，原式．
13．（6分）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．
【答案】
租用甲型客车6辆，乙型客车4辆
【分析】设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可；
【详解】解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，
根据题意得：，
解得：，
答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆．
14．（6分）把六张仅有编号不同的卡片分成A，B两组，A组的三张卡片编号分别是1，2，3，B组的三张卡片编号分别是4，5，6，若分别从这两组卡片中各随机抽取一张，求抽到的编号都是奇数的概率．
【答案】．
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的情况数，找出抽到的编号都是奇数的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表如下：
4 5 6
1
2
3
由列表可得共有9种等可能的情况，其中抽到的编号都是奇数的有2种情况，
则抽到的编号都是奇数的概率为．
15．（7分）如图，在矩形中，点是上一点，于，．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，进一步即可得到结论；
（2）根据线段的和差计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，，
∴．
16．（7分）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中的圆上找一格点，使得；
(2)在图2中的圆上找一点，使平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补的性质，找到与互补的即可；
（2）根据垂径定理，找到的垂直平分线与的交点即可．
【详解】（1）解：根据圆内接四边形对角互补，找到圆与格点的交点即可，
如图所示，点即为所求．
（2）解：如图，记与格线的交点为，连接，延长后与圆交于点，则点即为所求．
17．（7分）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下：
乙组：6，6，6，6，6，7，7，8，9，10．
老师根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计表：
组别 平均数 中位数 众数
甲 7.1 b c
乙 a 6.5 6
根据以上信息，请解答下面的问题．
(1)填空： ， ， ；
(2)若从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【答案】(1)，，8
(2)应选甲组参加决赛，理由见解析
【分析】本题考查了平均数、中位数和众数，熟练掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据平均数，众数与中位数的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：乙组的平均数，
甲组10人成绩从小到大排列为，其排在中间的两个数分别是7和8，
所以甲组的中位数，
在甲组10人的成绩中，8出现的次数最多，
所以甲组的众数，
故答案为：，，8．
（2）解：应选甲组参加决赛，理由如下：
虽然两个组的平均数相同，但甲组的中位数和众数均比乙组高，所以应选甲组参加决赛．
18．（8分）如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面．测得．．
(1)在图2中，_____；
(2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于．
①_____；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）作，由题意可知，则．结合，可以计算出；
（2）①根据平行线的性质可得；
②过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，．在中，利用三角函数的定义可得，则可得，．在中，利用三角函数的定义可得，进而可得杯子的高度为．
【详解】（1）解：如图，作，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴．
故答案为：．
②如图，过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，
则，，．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴乘客水杯的最大高度约为．
19．（8分）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示．
(1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间；
(3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)2，14
(2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟
(3)
【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为；
（2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可；
（3）根据函数图象，得出答案即可．
【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同，
折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；
注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化，
此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为．
（2）解：如图，
设的解析式为，
将点代入得：
，解得，
的解析式为，
设的解析式为，将点代入得：
，
解得，
的解析式为，
，
解得，
答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同．
（3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为．
20．（10分）如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与重叠部分的面积为S．
(1)当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ；
(2)当点H在线段上时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式．
【答案】(1)3；9
(2)
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，动点问题的函数关系式．恰当分类并正确表示动点运动的线段的长是解题的关键．
（1）根据，分别求出当时，时，，的值，再求出的值即可；
（2）根据等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，证明，得出，解关于t的方程即可；
（3）当点H在线段上时，可求出，可分两种情况讨论：当时，，只需用t的代数式表示出即可解决问题；当时，，只需用t的代数式分别表示出即可解决问题．
【详解】（1）解：当时，，
，
∴，
即此时正方形的边长是3；
当时，，
，
∴，
即此时正方形的边长是9；
（2）解：当点H在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）解：当时，如图1所示：
，
∴此时；
当时，如图2所示：
∵，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上所述：S与t的函数关系式为：
．
21．（10分）问题情境：
为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图 1.
探究实践1：
老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处折痕为，再将分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图 2，.老师让同学们探究：的度数是多少 并说明理由.
探究实践2：
完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图3，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题.经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现：
（1）小虎发现：“如图4，将平行四边形沿着(F为的中点)所在直线折叠，点C的对应点为 ，连接并延长交 于点 G，则与 相等.”
（2）小倩发现：“将平行四边形ABCD沿过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为 ，使于点 H，折痕交 于点 M，连接，交 于点 N. 若给出平行四边形面积的数值，及 和 的长度，就可以求出点 M 到的距离，”
请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由.
老师肯定了小倩同学思路的正确性，若平行四边形 的面积为 80，，请你帮助小倩求出点M到的距离.
【答案】，理由见解析；小虎的结论正确，理由见解析；
【分析】题目主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据折叠的性质及等量代换得出，再由平行线的判定和性质及折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明；
（3）过点M作于Q，根据平行四边形的性质及勾股定理求解得出，，再利用等腰三角形的判定和性质确定，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
由折叠得：，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）小虎的结论正确，理由如下：
∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，过点M作于Q，
∵的面积为80，边长，于点H，
∴，
∴，，
∵将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，
∴，
∵于点H，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴点M到的距离为．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点，点为抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为．
(1)点的坐标为___________；
(2)当时，求的长度；
(3)当抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围；
(4)过两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)或
【分析】（1）将解析式化成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）把代入计算出点M、N的坐标，继而可求得的长度；
（3）先求得函数最小值为，再根据函数的增减性求得，然后分当时；当时； 根据函数值最大值与最小值差为，列式即可求解；
（4）分两种情况：①当M为最高点或对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部；②当N为最高点时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部；分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
　∴抛物线的顶点的坐标为．
（2）解：∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
当时，，
，，
∴，，
∴轴，
∴．
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值为，
∵抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大，
∴且，
解得：，
当时，解得：，
∴在时，抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值最大值为，最小值为，
又∵函数值最大值与最小值差为，
∴，
即；
当时，解得： ，
∴当时，抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值最大值为，最小值为，
又∵函数值最大值与最小值差为，
∴，
即．
综上，与的关系式为．
（4）解：当M，N两点时，即解得：，
分两种情况：
①当M为最高点或对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部，如图，
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
又∵轴，
∴，
∴，
∵点到该正方形边的最小距离是1，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，即，
解得：，（舍去）；
②当N为最高点时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部，如图，
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
又∵轴，
∴，
∴，
∵点到该正方形边的最小距离是1，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，即，
解得：（舍去），；
综上，当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，的值为或．

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