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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026年浙江省宁波市九年级中考数学模练预测试卷二（解析版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1.实数 的相反数是（ ）
A． B． C． D．2026
【答案】A
【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可．
【详解】解： 的相反数为．
故选：A．
如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据得；结合平分，得到，结合，得，解答即可.
本题考查了角的平分线，平行线性质，补角的定义，熟练掌握平行线的性质，角的平分线，是解题的关键.
【详解】∵，
∴，
∵平分，
∴.
∵，
∴,
故选B.
3．2026年是“十五五”开局之年，浙江省级重点项目年度计划投资达1100000000000元，
精准投向交通强省、能源转型等核心领域．将数据“1100000000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的定义确定a和n的值即可，科学记数法的表示形式为，要求满足，n为整数，n等于原数的整数位数减1．
【详解】解：∵待表示的原数为1100000000000，共13位整数，
∴，
将原数整理为满足的形式，得，
∴．
4. 榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯．
如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键．根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形，进行分析即可求解．主视图中存在的线段，在俯视图中看不到的线段要用虚线表示．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：
故选：B．
5. 如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．
已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据位似关系得到，得到相似比再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵线段与线段是位似图形，位似中心为点O．点，的坐标分别为，．
∴，，与x轴平行，
∵，
∴，
∴相似比为，
∵点，
∴点的对应点A的坐标是，即
故选：A．
为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，
绘制出如图统计图，若我校共有2000名学生，则下列说法正确的是（ ）
A．本次接受调查的学生人数为400
B．扇形统计图中的
C．所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7
D．学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，
估计我校获“志愿者勋章”的学生人数为700人
【答案】C
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
由两个统计图可得样本参加志愿服务为5次的有4人，占调查人数的10%，由频率可求出调查人数，可以判断A，进而求出参加志愿服务为8次所占的百分比，得出m的值，即可判断B；根据平均数公式进行计算即可判断C；用样本中的“参加志愿服务7次”的学生所占的百分比去估计全校2000名学生“参加志愿服务7次”所占的百分比，再根据频率进行计算即可判断D．
【详解】解：A． 本次接受调查的学生人数为（人），此选项不正确；
B． 参加志愿服务为8次的有10人，所占的百分比为，所以，此选项不正确；
C． 所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为（次），此选项正确；
D．我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有（名），此选项不正确；
故选C．
7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：
有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．
问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．
设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．
【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个，
然后根据题意可得：．
故选D．
8．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．若函数图象分布在第二、四象限，则
B．若点在函数图象上，且，则
C．若，则当时，的最大值为
D．若函数图象上有两点，满足且，则
【答案】B
【分析】根据反比例函数的系数的正负，结合反比例函数的图象与性质逐一判断选项，找出错误说法即可．
【详解】解：在反比例函数中，比例系数，
对选项A：∵函数图象分布在第二、四象限，
∴，解得，A说法正确；
对选项B：当，即时，在内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
当，即时，在内，y随x的增大而减小，
∵，
∴，题中的结论不成立，B说法错误；
对选项C：∵，
∴，
∵时，反比例函数y随x增大而减小，
∴时，时y取最大值，最大值为，C说法正确；
对选项D：∵，若，则说明时，时，
可得，即，D说法正确．
9．如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，
若与的长之比为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，先证，设，则，由三角形内角和定理得，由菱形对角线互相平分，可得，，再根据，可得，最后利用弧长公式求解．
【详解】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，
由题意知，
，，
四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
设，
则，
，
与的长之比为，
，
，
，
菱形中，
，
，
，
，
，
故选：C．
如图1，菱形的边长为6，动点，同时从点出发，点沿线段向终点运动，
点沿折线向终点运动，两点同时到达终点并停止运动．
设运动的时间为秒，的面积为，与的关系如图2所示，有下列说法：
①点的速度为每秒1个单位长度；②点的速度为每秒3个单位长度；
③菱形的面积为30；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用数形结合以及菱形的性质逐项进行判断．
【详解】解：①∵四边形为菱形，边长为6，
∴，
∴点的速度为每秒1个单位长度，
该选项正确；
②∵四边形为菱形，边长为6，
∴
∴点的速度为每秒3个单位长度，
该选项正确；
③由点得，，
菱形边上的高为，
菱形的面积为，
该选项正确；
④假设，
菱形边上的高为，与③中所求的高矛盾，
∴该选项错误；
综上，正确的个数为3个．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．计算：=_______
【答案】
【分析】根据求解即可；
【详解】解：原式
．
不等式组的解为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：；
由②得：，
所以：原不等式组的解集为：，
故答案为：．
，
故答案为：．
13．如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底点22米的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，
则可估算出多宝塔的高度为 米（结果保留整数，参考数据：
，，）
【答案】20
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握正切函数的定义是解决问题的关键．由题意判断出米，，那么，利用的正切值列出方程，可得的长．
【详解】解：由题意得：米，，
，
，
，
解得：（米），
故答案为：20．
14．如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：设为①，为②，为③，画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①，共4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
【文化欣赏】：如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．
弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理和弦图，解一元二次方程，
设，，表示出，然后根据得到，整理为，然后解方程即可．
【详解】解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成
∴设，
∴
∴
∵
∴
∴整理得，
∴
解得
∵
∴
∴．
故答案为：．
16．如图，是的直径，是的弦，交的延长线于点D，
过点作的切线交于点，当时， ．
【答案】
【分析】连接，过点作于点，不妨设，先利用平行线的性质，证明，结合，推出，从而推出为等腰直角三角形，接着利用勾股定理求得，，然后利用求得答案．
【详解】解：连接，过点作于点，不妨设，如图所示：
过点作的切线交于点，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式混合运算并求值；掌握运算步骤及，注意去括号时变号是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式进行运算，再去括号，最后进行加减运算，代值计算，即可求解；
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，
并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得，
去括号，得，
解得，，
经检验：是方程的解．
19．已知平行四边形，在平行四边形内作菱形．
小亮的作法：
如图1，连接，分别以为圆心大于的长为半径画弧，
连接两弧交点与平行四边形两边交于点，连接，则四边形即为菱形．
判断小亮的作法是否正确，并说明理由；
小丽说，作平行四边形一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？
请你在图2中作出图形（保留作图痕迹）．
【答案】(1)小亮的作法正确，理由见解析；
(2)小丽的作法错误；见解析．
【分析】（1）设与交于点，由作图方法可知，垂直平分，则，证明，推出，据此可得结论；
（2）先根据角平分线的尺规作图方法作图，再根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，进一步可证明，则四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明，则无法证明是菱形，据此可得结论．
【详解】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
20. 某校九年级（一）班、（二）班全体同学都参加了校园科技知识竞赛．
现从九（一）班、九（二）班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，
并把九（二）班的竞赛成绩分成A，B，C，D四组，每组范围如下（表示分值）：
A. ；B．；C．；D．，
还制作了如图所示的九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图（不完整）．
【数据呈现】
九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩（单位：分）：
65，70，73，75，81，85，85，85，90，91．
九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩（单位：分）：
80，80，82，83．
【分析数据】
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分）
九（一）班 80
九（二）班 80 81 80 92
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
填空：______，______，______．
说明“九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是81分”的理由．
已知九（一）班有45名学生，九（二）班有50名学生，
若本次竞赛成绩在90分及90分以上的学生都获奖，请估计这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数．
【答案】(1)83；85；30
(2)见解析
(3)24人
【分析】（1）根据中位数、众数定义进行求解即可；
（2）先求出九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩在C、D两组的人数之和，然后根据中位数定义，进行求解即可；
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩从小到大进行排序：
65，70，73，75，81，85，85，85，90，91．
排在第5、第6的分别为81，85，因此中位数；
85出现次数最多，因此众数；
，
则；
（2）解：九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩在C、D两组的人数之和为：
，
∵九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩为：80，80，82，83．
∴将九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在第5、第6的分别为80，82，
∴九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是：（分）；
（3）解：（人），
答：这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数为24人．
21．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：
一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，
又∵，
∴，
∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
① 它的立方根是 位数；
② 它的立方根的个位数字是 ；
③1 9683的立方根是 ．
求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
【答案】(1)①两；②7；③27
(2)48
【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算．
（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论．
【详解】（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数．
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
如图，在中，，平分交于点，点在边上，
以为直径的恰好过点．
求证：与相切．
当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明即可；
（2）利用解直角三角形求解即可；
【详解】（1）解：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解：，
，
，
，，．
，
，
．
已知二次函数的图象经过点．
求该图象的对称轴．
若该函数的最大值为，求该函数的表达式．
已知，为该函数图象上两点，当且时，满足，
求a的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3)或
【分析】（1）代入点到，整理得到，再根据二次函数的对称轴公式即可求解；
（2）由（1）得，结合函数有最大值可知，且当时，二次函数取得最大值，结合题意列出关于的方程，求出的值即可解答；
（3）根据二次函数的对称性可得，则，结合求得，则有当时，恒成立，再分和两种情况讨论，求出在范围内的最大值，进而列出关于的不等式，即可得出答案．
【详解】（1）解：代入点到，得，
整理得：，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴该图象的对称轴为直线；
（2）解：由（1）得，，
∴二次函数的表达式为，
∵二次函数有最大值，
∴，
∴当时，二次函数取得最大值，
∵该函数的最大值为，
∴，
解得（舍去），，
∴二次函数的表达式为；
（3）解：∵，为该函数图象上两点，且点和点纵坐标相同，
∴点和点关于对称轴对称，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，满足，
①若，则在范围内随的增大而增大，
∴当时，有最大值，
∴，
解得，
∴；
②若，则在范围内随的增大而减小，
∴当时，有最大值，
∴，
解得，
∴；
综上所述，a的取值范围为或．
如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，
设，将沿折叠得到，连接并延长交于点．
用含的代数式表示．
求证：
① ；
② ．
(3) 如图2，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质得到，根据折叠的性质得到，进而可求；
（2）①根据等边对等角及三角形内角和得到，根据等边三角形的判定和性质证明即可；
②根据菱形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明；
（3）连接，延长交于，作于，根据等边三角形的判定和性质得到，证明，得到，设，根据角的性质得到，根据勾股定理得到，，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：∵菱形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
（2）证明：①∵菱形，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，延长交于，作于．
由（2）得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，．
在中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026年浙江省宁波市九年级中考数学模练预测试卷二
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 实数 的相反数是（ ）
A． B． C． D．2026
如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3． 2026年是“十五五”开局之年，浙江省级重点项目年度计划投资达1100000000000元，
精准投向交通强省、能源转型等核心领域．将数据“1100000000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4. 榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯．
如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．
已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，
绘制出如图统计图，若我校共有2000名学生，则下列说法正确的是（ ）
A．本次接受调查的学生人数为400
B．扇形统计图中的
C．所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7
D．学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，
估计我校获“志愿者勋章”的学生人数为700人
7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：
有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．
问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8． 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．若函数图象分布在第二、四象限，则
B．若点在函数图象上，且，则
C．若，则当时，的最大值为
D．若函数图象上有两点，满足且，则
9． 如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，
若与的长之比为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
如图1，菱形的边长为6，动点，同时从点出发，点沿线段向终点运动，
点沿折线向终点运动，两点同时到达终点并停止运动．
设运动的时间为秒，的面积为，与的关系如图2所示，有下列说法：
①点的速度为每秒1个单位长度；②点的速度为每秒3个单位长度；
③菱形的面积为30；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．计算：=_______
不等式组的解为 ．
13．如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底点22米的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，
则可估算出多宝塔的高度为 米（结果保留整数，参考数据：
，，）
14．如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为________．
【文化欣赏】：如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．
弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________．
16．如图，是的直径，是的弦，交的延长线于点D，
过点作的切线交于点，当时， ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17化简求值：，其中．
小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，
并写出你的解答过程．
19．已知平行四边形，在平行四边形内作菱形．
小亮的作法：
如图1，连接，分别以为圆心大于的长为半径画弧，
连接两弧交点与平行四边形两边交于点，连接，则四边形即为菱形．
判断小亮的作法是否正确，并说明理由；
小丽说，作平行四边形一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？
请你在图2中作出图形（保留作图痕迹）．
20. 某校九年级（一）班、（二）班全体同学都参加了校园科技知识竞赛．
现从九（一）班、九（二）班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，
并把九（二）班的竞赛成绩分成A，B，C，D四组，每组范围如下（表示分值）：
A. ；B．；C．；D．，
还制作了如图所示的九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图（不完整）．
【数据呈现】
九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩（单位：分）：
65，70，73，75，81，85，85，85，90，91．
九（二）班随机抽取的10名学生中等级学生的竞赛成绩（单位：分）：
80，80，82，83．
【分析数据】
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分）
九（一）班 80
九（二）班 80 81 80 92
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
填空：______，______，______．
说明“九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是81分”的理由．
已知九（一）班有45名学生，九（二）班有50名学生，
若本次竞赛成绩在90分及90分以上的学生都获奖，请估计这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数．
21．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：
一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，
又∵，
∴，
∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
① 它的立方根是 位数；
② 它的立方根的个位数字是 ；
③1 9683的立方根是 ．
求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
如图，在中，，平分交于点，点在边上，
以为直径的恰好过点．
求证：与相切．
当时，求的长．
已知二次函数的图象经过点．
求该图象的对称轴．
若该函数的最大值为，求该函数的表达式．
已知，为该函数图象上两点，当且时，满足，
求a的取值范围．
如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，
设，将沿折叠得到，连接并延长交于点．
用含的代数式表示．
求证：
① ；
② ．
(3) 如图2，当时，求的值．
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