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第7章　随机变量及其分布
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.投掷一枚质地均匀的骰子两次,记A=“两次的点数均为偶数”,B=“两次的点数之和为6”,则P(B|A)=(　　)
A B C D
2.已知某一随机变量X的分布列如下表所示,且E(X)=6.3,则a的值为(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B.6 C.7 D.8
3.设X的分布列为
X 1 2 3 4
P
又设Y=2X+5,则E(Y)等于(　　)
A B C D
4.如果随机变量X~N(4,1),则P(X<2)等于(　　)
附:P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
A.0.21 B.0.022 75 C.0.045 5 D.0.954 5
5.某人出差,委托邻居给家里的植物浇一次水.设不浇水时植物枯萎的概率为0.8,浇水时植物枯萎的概率为0.15,邻居记得浇水的概率为0.9,则该人回来时植物没有枯萎的概率为(　　)
A.0.785 B.0.845 C.0.765 D.0.215
6.如果甲、乙、丙三人通过某公司面试的概率分别为,那么三人中恰有两人通过的概率为(　　)
A B C D
7.已知随机变量X~B(12,p),若E(2X-3)=5,则D(3X)等于(　　)
A B.8 C.12 D.24
8.现有3个小组,每组3人,每人投篮1次,投中的概率均为,若1个小组中至少有1人投中,则称该组为“成功组”,则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为(　　)
A B C D
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.甲、乙两人历次环保知识测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态密度曲线如图所示,则下列说法中正确的是(　　)
附:随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
A.甲的平均成绩为75分
B.乙的平均成绩优于甲的平均成绩
C.甲成绩的方差比乙成绩的方差更大
D.若σ1=5,则甲成绩高于80分的概率约为0.158 7
10.书架上有100本书,其中科技书有40本,现从中任意取出20本,用随机变量X表示取出的20本书中科技书的本数,则(　　)
A.X的可能取值为0,1,2,…,20
B.P(X=k)=
C.E(X)=8
D.当k=8时,P(X=k)最大
11.一块高尔顿板示意图如图所示,在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,…,6,用X表示小球落入格子的号码,则(　　)
A.P(X=1)=P(X=0)=
B.P(X=2)=P(X=5)=
C.P(X=3)=P(X=4)=
D.D(X)=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某组有10名同学,其中男生6名,女生4名,从中任选3人参加数学竞赛.用X表示女生人数,则概率P(X≤2)=　　　　　.
13.某校高二年级学生数学考试的成绩(单位:分)X服从正态分布N(110,102),从中任取一个学生的数学成绩,记该学生的成绩在[90,110]内为事件A,记该学生的成绩在[80,100]内为事件B,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率P(B|A)=　　　　　.(用分数表示)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
14.在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为X.
(1)当n=6时,P(X≤2)=　　　　.
(2)已知切比雪夫不等式:对于任一随机变量Y,若其均值E(Y)和方差D(Y)均存在,则对任意正实数a,有P(|Y-E(Y)|四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示,据统计,随机变量X的分布列如下表所示.
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 2a a
(1)求a的值和X的均值;
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
16.(15分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为,且各棵大树是否成活互不影响,在移栽的4棵大树中,求:
(1)至少有1棵成活的概率;
(2)两种大树各成活1棵的概率.
17.(15分)设在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片,标号分别记为x,y,设随机变量X=|x-2|+|y-x|.
(1)写出x,y的可能取值,并求随机变量X的最大值;
(2)求事件“X取得最大值”的概率;
(3)求X的分布列、均值与方差.
18.(17分)每年高考结束后,高中毕业生的旅游意向都非常强烈.为了解高中毕业生每年高考结束后旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1 000名高中毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下表所示的频数分布表.
组别 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 2 250 450 290 8
(1)求所得样本的中位数(精确到百元);
(2)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布N(51,152),若该市共有高中毕业生35 000人,试估计有多少名学生旅游费用支出在8 100元以上;
(3)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生,3名男生,现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为Y,求Y的分布列与均值.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
19.(17分)某品种苹果按照等级可分为四类:A等级、B等级、C等级和D等级.某采购商打算订购一批该苹果销往外地,并从采购的这批苹果中随机抽取100箱,利用苹果的等级分类标准得到的数据如下表.
等级 A B C D
箱数 40 30 20 10
(1)若将频率作为概率,从这100箱苹果中有放回地随机抽取4箱,记这4箱中A等级的箱数为X,求概率P(X=2)以及X的均值.
(2)利用样本估计总体,果园老板提出两种方案供采购商参考.
方案一:不分等级出售,价格为30元/箱;
方法二:分等级出售,苹果价格如下表.
等级 A B C D
价格/(元/箱) 38 32 26 16
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案
(3)用比例分配的分层随机抽样的方法从这100箱苹果中抽取10箱,再从抽取的10箱中随机抽取3箱,用Z表示抽取的B等级的箱数,求Z的分布列及均值.
附加题
现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计,将每位运动员的平均得分所得数据用如图所示的频率分布直方图表示.规定分数在[10,20),[20,30),[30,40]上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员.现从这批篮球运动员中利用比例分配的分层随机抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表.
(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级篮球运动员的人数;
(2)若从篮球运动员代表中选出三人,求其中含有一级篮球运动员人数X的分布列;
(3)利用样本估计总体,若从该校篮球运动员中有放回地选三人,求其中含有一级篮球运动员人数Y的均值.
第7章　随机变量及其分布
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. C
投掷一枚质地均匀的骰子两次,共有6×6=36种可能的情况,所以P(A)=,
又事件AB有(2,4),(4,2),共2种情况,所以P(AB)=,所以P(B|A)=
2. C
由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得b=0.4,a=7.
3.D
E(X)=1+2+3+4,所以E(Y)=E(2X+5)=2E(X)+5=2+5=
4.B
P(X<2)=(1-P(2≤X≤6))=[1-P(4-2≤X≤4+2)](1-0.954 5)=0.022 75.
5.A
记事件A=“该人回来时植物没有枯萎”,事件W=“邻居记得给植物浇水”,则P(W)=0.9,P()=0.1,P(A|)=1-0.8=0.2,P(A|W)=1-0.15=0.85,因此P(A)=P(A|W)P(W)+P(A|)·P()=0.85×0.9+0.2×0.1=0.785.
6.C
已知甲、乙、丙三人通过某公司面试的概率分别为,则三人中恰有两人通过的概率为P=
7.D
因为随机变量X~B(12,p),所以E(X)=12p,E(2X-3)=2E(X)-3=24p-3=5,解得p=
因为D(X)=12(1-)=,
所以D(3X)=9D(X)=24.
8.B
1个小组是“成功组”的概率为1-()3=,则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为(1-)2=
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. ABD
由题中图象可知,甲的图象关于直线x=75对称,乙的图象关于直线x=85对称,所以甲的平均成绩为75分,乙的平均成绩为85分,故选项A,B正确;因为甲的图象比乙的图象更“瘦高”,所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右,则甲成绩的方差比乙成绩的方差小,故选项C错误;若σ1=5,则甲成绩高于80分的概率约为0.158 7,故选项D正确.故选ABD.
10.ACD
由题意得X服从超几何分布,X的可能取值为0,1,2,…,20,P(X=k)=,E(X)==8,故AC正确,B错误;
由
解得7k≤8,
所以当k=8时P(X=k)最大,故D正确.
11.BC
已知X表示小球落入格子的号码,则X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6,则P(X=1)=()5=,由对称性可知P(X=6)=P(X=1)=,而P(X=2)=P(X=5)=()4,P(X=3)=P(X=4)=()3×()2=,所以E(X)=(1+6)+(2+5)+(3+4),D(X)=(1-)2+(6-)2+(2-)2+(5-)2+(3-)2+(4-)2,
综上得选项BC正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.
P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=0)=
13.
由题意知,P(A)=P(90≤X≤110)0.954 5=0.477 25,P(AB)=P(90≤X≤100)(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
∴P(B|A)=
14.
(1)　(2)1 250
(1)当n=6时,由已知得X~B(6,),所以P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=()6+()5+()2×()4=
(2)由已知得X~B(n,),所以E(X)=0.5n,D(X)=0.25n.若0.4<<0.6,则0.4n所以估计信号发射次数n的最小值为1 250.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
(1)由分布列的性质得0.1+0.3+2a+a=1,
解得a=0.2,∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.4 0.2
∴均值E(X)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”;事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次”;事件A2表示“两个月均被投诉1次”.
则由事件的相互独立性得P(A1)=2×0.4×0.1=0.08,P(A2)=0.32=0.09.因此P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
16.
设Ak表示第k棵甲种大树成活,k=1,2,Bl表示第l棵乙种大树成活,l=1,2,则A1,A2,B1,B2相互独立,且P(A1)=P(A2)=,P(B1)=P(B2)=
(1)至少有1棵成活的概率为1-P()=1-P()P()P()P()=1-()2×()2=
(2)两种大树各成活1棵的概率为P=()·()=
17.
(1)x,y的可能取值都为1,2,3.
∵|x-2|≤1,|y-x|≤2,∴X≤3,
∴当x=1,y=3或x=3,y=1时,X取最大值3.
(2)有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数n=3×3=9,P(X=3)=
(3)X的所有取值为0,1,2,3,当X=0时,只有x=2,y=2这1种情况,P(X=0)=;当X=1时,只有x=1,y=1,或x=2,y=1,或x=2,y=3,或x=3,y=3,共4种情况,P(X=1)=;当X=2时,只有x=1,y=2,或x=3,y=2这2种情况,P(X=2)=;
当X=3时,P(X=3)=
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
均值E(X)=0+1+2+3,方差D(X)=
18.
(1)设样本的中位数为x百元,
则=0.5,
解得x≈51,故所得样本中位数为51百元.
(2)由已知,得μ=51,σ=15,μ+2σ=81,所以旅游费用支出在8 100元以上的概率为P(X>μ+2σ)==0.022 75,0.022 75×35 000≈796(人),所以估计有796名学生旅游费用支出在8 100元以上.
(3)Y的所有可能取值为0,1,2,3,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)=0+1+2+3
19.
(1)依题意从这100箱中随机抽1箱是A等级的概率P=,所以X~B(4,),所以P(X=2)=()2×()2=,E(X)=4
(2)设方案二中苹果的价格为Y元/箱,则E(Y)=38+32+26+16=31.6.因为31.6>30,所以从采购商的角度考虑,应该采用方案一.
(3)用比例分配的分层随机抽样的方法从这100箱苹果中抽取10箱,其中B等级3箱,非B等级7箱,现从中抽取3箱,则Z服从超几何分布,Z的所有可能取值为0,1,2,3,所以P(Z=0)=,P(Z=1)=,P(Z=2)=,P(Z=3)=
所以Z的分布列为
Z 0 1 2 3
P
故E(Z)=0+1+2+3
附加题
(1)由频率分布直方图知,(0.062 5+0.050 0+0.037 5+a+2×0.012 5)×5=1,解得a=0.025 0.
其中为一级篮球运动员的概率为(0.012 5+0.037 5)×5=0.25,∴选出篮球运动员代表中一级篮球运动员的人数为0.25×16=4.
(2)由已知可得X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(3)由已知得Y~B(3,),∴E(Y)=3,
∴含有一级篮球运动员人数Y的均值为
1

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