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云南昭通市第一中学教研联盟 2025-2026 学年高一下学期期中考试
数学试题（A 卷）
一、单选题
1．下列关于向量的论述中，正确的是（ ）
A．零向量是只有大小没有方向的向量
uuur uuur uuur uuur
B． | AB |=| BA |，则 AB + BA = 0
uuur
C． | AB |与有向线段 BA 的长度不相等
r r
D．对任一非零向量 a,| a |> 0 总是成立的
2．设 a R, a + i 1- ai = 2，则 a =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
32
A． 4 3π B． π C．8π D． 4π3
r r r
4．已知 | ar + 2b |= 2 3, ar = (0, 2),| b | r=1，则平面向量 a 与b 的夹角为（ ）
A．30° B． 45° C． 60° D．120°
5．已知 A 1,2 ，B 2,3 ，C -2,5 ，则DABC 的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
6．已知 l，m，n 为三条不同的直线，a、b 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若a //b , m//a ，则m / /b
B．若 l //b ,m//b , l a ,m a ，则a //b
C．若m//a , n//a ，则m//n
D．若m//n,a b = m，则 n//a 或 n//b
r r
7．在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，向量 p = (2b, 2c - a), q = (1,cos A) r，且 p / /qr ，则 B 的大
小为（ ）
A． 45° B． 60° C．120° D．150°
ar
r
8．设向量 = x +1,2x ,b = x,1 ，则（ ）
r
A．“ x = 0 ” “ ar是 ^ b ”的必要条件
r
B．“ x = -1”是“ ar//b ”的必要条件
r
C．“ x = -1+ 3 ” “ ar是 //b ”的充分条件
r
D．“ x = -3” “ ar是 ^ b ”的充分条件
二、多选题
9．下列命题中成立的是（ ）
A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
r r r r rC．若 a //b ,b //cr，则 a //c
r r r r
D r．若 a,b r为非零向量且 | a + b |=| ar - b |，则 ar ^ b
10．下列关于平面向量的推断正确的是（ ）
r r r r r
A r r．若平面向量 a,b ，满足 a ×b b cr= × ，则 a = c
r r r r ra b cr r r r rB．对任意平面向量 a,b ,c ，则有 + × = a ×c + b ×c
r r r
C．若向量 a = r2,1 ,b 1= -3,1 r，则向量 a 在向量b 上的投影向量为- b
2
D．点 A 1,3 , B 4, 3 4-1 uuur ，与向量 AB 同方向的单位向量为 ,- ÷
è 5 5
11．如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线 A1C1与BD1为异面直线
B． A1C1 //平面 ACD1
8
C．三棱锥D1 - ABC 的体积为 3
D．平面a 过点 B 且a //平面 ACD1，则平面a 截正方体 ABCD - A1B1C1D1所得截面的图形的周长为 6 2
三、填空题
12．已知复数 z = (m -1) + (m +1)i的模等于 2，则实数m 的值为______.
uuur uuur r uuur r
13．已知在VABC 中，D、E 分别为 AB、CD r的中点，设 AB = a, AC = b ，则 AE = ______.
r
（用向量 a,b 为基
底表示）
14．已知在棱长为 4 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，O为 AC1的中点，若球O的球面与该正方体的表面有公
共点，则球O的半径的取值范围是______.
四、解答题
r
15 r．已知 a = (-2,3),b = (4, 2) .
r
(1)求 | ar + b |；
r r(2)求 a 在b 方向上的投影向量（用坐标表示）.
16．如图，已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的各棱长均为 2，D 为 BC 上的一点，A1C AC1 = O，连接 OD 且 A1B//
平面 ADC1 .
(1)求证：D为 BC 的中点；
(2)求三棱锥C1 - ADC 的表面积及B1到平面 ADC1的距离.
17．记VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 sin C = 2 cos B, sin2 A + sin2 B - sin2 C = 2 sin Asin B .
(1)求角 B 的大小；
(2)设VABC 的面积为3+ 3 ，求VABC 的周长.
18．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 为C1C 的中点.
(1)求证：BC1 // 平面 AD1E；
(2)在图中作出平面 AD1E和底面 ABCD 的交线，并求平面 AD1E将正方体分成两部分的体积之比.
A + C
19．在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足：b = 3，且 a sin = bsin A .
2
(1)求 B 的大小；
(2)求VABC 面积的最大值；
ac
(3)求 的最大值.
a + c
参考答案及解析
1．D
解析：对于 A：零向量的模为0 ，方向是任意的，并不是没有方向，A 错误；
uuur uuur
对于 B：由于 AB 与BA方向相反，长度相等，和是零向量，而不是0 ，B 错误；
uuur
对于 C： | AB |与有向线段BA的长度相等，C 错误；
r r r
对于 D：因为零向量的模为 0，又因为a 非零向量，a 的模 | a |> 0，D 正确.
2．C
解析：因为 a + i 1- ai = a - a2i + i + a = 2a + 1- a2 i = 2，
ì2a = 2
所以 í1 a2 0 ，解得：
a =1．
- =
故选：C.
3．A
解析：因为正方体棱长为 2，所以正方体的体对角线长为 22 + 22 + 22 = 2 3 ，
所以正方体的外接球的半径为 3，
4π 3
所以该球的体积为 v = R = 4 3π .3
4．C
r r
解析： a = 2, b =1，
r r r r 2 r r r r r r
因为 a + 2b = a + 2b = a2 + 4a·b + 4b 2 = 4 + 4a·b + 4 = 2 3 ，
所以 ar

× b = 1，所以 ar × b =| ar || b | cosáa ,b = 1，
r r r
所以 cosna
r,bn 1= ，又0o nar,bn 180o r，故平面向量 a 与b 的夹角为60° .
2
5．A
uuur uuur
解析：Q AB = 1,1 ， AC = -3,3 ，
uuur uuur
\ AB × AC =1 -3 +1 3 = 0，
uuur uuur
\ AB ^ AC ，\ BAC = 90°，
DABC 为直角三角形.
故选：A
6．D
解析：选项 A：若a∥b ，m / /a ，则m b 或m / /b ，故 A 错误；
选项 B：面面平行的判定定理：a 内两条相交直线 l, m， l ∥ b，m∥ b ，则a∥b ，
由于直线 l，m不一定相交，故命题不一定成立，故 B 错误；
选项 C：若m / /a ，n∥a ，则m ， n 平行或异面或相交，故 C 错误；
选项 D：当n a，且 n 不在 b 内时，m∥n，m b ，则 n//b ，
当 n b ，且 n 不在a 内时，m∥n，m a ，则n∥a ，
当 n 既不在a 也不在 b 内，m∥n，m a，m b ，则n∥a 且 n//b ，故 D 正确.
7．B
r
解析：Q p = (2b, 2c - a)
r
， q = (1, cos A) ，且 p
r / /qr ，
∴2c - a = 2bcos A，
a b c
根据正弦定理 = =sin A sin B sin C ，
∴2sin C - sin A = 2sin B cos A，
∴2sin(A + B) - sin A = 2sin B cos A，
∴2sin Acos B - sin A = 0，
Q A (0, π)， sin A 0 ，
\cos B 1= ，
2
QB (0, π)，
B π\ = ．
3
8．D
r r r r
解析：对于 A，当 a ^ b 时，则 a·b = 0，所以 x· x +1 + 2x = 0 ，解得 x = 0或 x = -3，即必要性不成立，故 A
错误；
r r 1
对于 B，当 a / /b 时，则 2x2 = x +1，解得 x =1或 x = - 必要性不成立，故 B 错误；2
r
对于 C r，当 x = -1+ 3 时，不满足 2x2 = x +1，所以 a / /b 不成立，即充分性不成立，故 C 错误；
r r r r
对于 D，当 x = -3时， a = -2, -6 ，b = -3,1 ar·b 0 ar，故 = ，所以 ^ b ，即充分性成立，故 D 正确.
9．BD
解析：对于 A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个
多面体不是棱锥，如图，故 A 错误；
对于 B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，则侧棱与底面垂直，此时棱柱
一定是直棱柱，故 B 正确；
r r r r
对于 C 选项，当b 为0 时，a 与 c可能不平行，故 C 错误；
r r r r r r r r
对于 D 选项， | a + b |=| a - b |，根据数量积运算法则，则两边平方化简可得 a g b = 0，\a ^ b ，故 D 正确，
10．BCD
r r r r r r r r r
解析：对于 A，根据平面向量数量积的概念，由 a ×b = b × c ，可得 a,c 在b 上的投影相等，但未必有 a = c ，
故 A 错误；
对于 B，向量数量积满足分配律，故 B 正确；
r r r r
对于 C， a ×b = -6 +1 = -5 ， a = 5 ， b = 10 ，
r r
r r a ×b rb -5
r 1 r
所以a 在b 上的投影向量为 r 2 × = ×b = - b10 2 ，故 C 正确；b
uuur uuur 1 3 4
对于 D，AB = 3, -4 2 uuur ，且 AB = 32 + -4 = 5，故与 AB 同向的单位向量为 3, -4 = ,- ，故 D 正确．5 è 5 5 ÷
11．ABD
解析：对于 A，因为 AD1 平面 ADD1A1， A1C1 平面 ADD1A1 = A1， A1 AD1，所以直线 A1C1与BD1为异面
直线，A 正确；
对于 B，因为在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， A1C1∥AC ， A1C1 平面 ACD1， AC 平面 ACD1，所以 A1C1 / /
平面 ACD1，B 正确；
对于 C，则由正方体的性质可得VABC 为等腰直角三角形，所以VABC 的面积为 2，故三棱锥D1 - ABC 的
4
体积为 ，C 错误；
3
对于 D，连接 BA1，A1C1，BC1 ,则平面 BA1C1即为平面a ，截面图形△BA1C1为等边三角形，所以平面a 截正方体
ABCD - A1B1C1D1所得截面的图形的周长为 6 2 ，D 正确.
12．±1
解析：Q复数的模等于 2，故 (m -1)2 + (m +1)2 = 2，
故m2 =1，解得m = ±1.
1 ra 1
r
13． + b
4 2
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur
解析：因为 E 为CD的中点，则 AE = (AD + AC) ，因为 D 为 AB 的中点，则 AD = AB，
2 2
uuur 1 uuur 1 uuur uuur r uuur r uuur r r
所以 AE AB AC
1 1
= + ， AB=a ， AC = b ，则 AE = a + b .4 2 4 2
14． é2,2 3ù
解析：设球的半径为 R ，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，
所求的球的半径最大，若半径变得更大，正方体完全位于球内，此时球面与正方体没有公共点，
正方体的外接球直径 2R 为体对角线长 AC1 = 4
2 + 42 + 42 = 4 3 ，
即 2R = 4 3，R = 2 3 ，
故Rmax = 2 3 ；
当球O与正方体 ABCD - A1B1C1D1的各面相切时，球O的半径达到最小，
即 R 的最小值为 2，
R é2,2 3ù .
15．(1) 29
2 1(2) - , -

÷
è 5 5
r r
解析：（1）根据题意， a = -2,3 ，b = 4,2 ，
r r
\a + b = 2,5 ，
r r
故 | a + b |= 22 + 52 = 29 .
r r
（2）由 a = -2,3 ，b = 4,2 ，得
r r r
a g b = -8 + 6 = -2， b = 16 + 4 = 2 5 ，
r r r
r r a·b b 1 r 2 1
所以a 在b 方向上的投影向量为 r · r = - b =b b 10
- , -
5 5 ֏ .
16．(1)证明见解析
(2) 3 3 + 15 4 5表面积为 + ，距离为
2 5
解析：（1）证明：如图，因为 A1B / / 平面 ADC1且 A1B 平面 A1BC ，
又因平面 A1BC 平面 ADC1 = OD，
所以OD / / A1B .
又因在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， ACC1A1 为平行四边形，
所以O为 AC1的中点，
所以OD 为VA1BC 的中位线.
所以D为BC 的中点.
（2）因为三棱柱 ABC - A1B1C1是直三棱柱且所有棱长均为 2，
在△ ADC1 中，由勾股定理可得 AC = AC 2 + CC 2 2 21 1 = 2 2 ，C1D = CD + CC1 = 5 ，
AD = AB2 - BD2 = 3 .
AC 2 = C D2 2因为 1 1 + AD ，
所以 ADC1 = 90°，所以△ ADC1 为直角三角形，
三棱锥C1 - ADC 的表面积为 S = S△ACC + S1 △DCC + S△ADC + S1 △ADC1
1 1
= 2 2 + 1 2 1+ 1 3 1+ 3 5
2 2 2 2
= 3 3 + 15+ .
2
1 1
设B1到平面 ADC1的距离为 d ，因为VB1 - ADC = V1 A-B C D ，所以 S1 1 3 VADC
·d = S
1 3 VB1C1D
·AD
1

1 1 1
即 5 3 ÷ d =

2 2
3 d 4 5÷ ，解得 = ，3 è 2 3 è 2 5
所以B 4 51到平面 ADC1的距离为 .
5
π
17．(1) B =
3
(2) 6 + 3 2 + 2 3
解析：（1）由正弦定理代入 sin2 A + sin2 B - sin2 C = 2 sin Asin B，得： a2 + b2 - c2 = 2ab，
由余弦定理有 a2 + b2 - c2 = 2abcosC，
2 2 2
所以 cosC
a + b - c 2ab 2
= = = ，
2ab 2ab 2
\C π= .
4
或者（(因为C 0, π ，所以 sin C > 0，
2

从而 sin C = 1 cos2 C 1 2 2- = - 2 ÷÷
= ，）
è 2
cos B 1又因为 sin C = 2 cos B ，即 = ，2
注意到B 0, π ，
π
所以B = .
3
π π
（2）由（1）可得B = ， C = ，
3 4
A π π π 5π所以 = - - = ，
3 4 12
而 sin A = sin
5π π π 2 3 2 1 6 + 2
÷ = sin + ÷ = + = .
è 12 è 4 6 2 2 2 2 4
a b c
=
由正弦定理有 sin 5π sin π
=
sin π ，
12 3 4
a 6 + 2 3 +1 3 6从而 = g 2c = c，b = g 2c = c，
4 2 2 2
由三角形面积公式可知，VABC 的面积可表示为
S 1△ABC = absin C
1 g 3 +1c g 6 c g 2 3 + 3= = c2 .
2 2 2 2 2 8
因为VABC 3+ 3的面积为3+ 3 ，所以 c2 = 3 + 3，即 c = 2 2 ，
8
所以 a = 6 + 2 ，b = 2 3 ，
所以VABC 的周长为 6 + 3 2 + 2 3 .
18．(1)证明见解析
(2)作图见解析，7∶17
解析：（1）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB / / A1B1 且 AB = A1B1， A1B1 / /C1D1且 A1B1 = C1D1，
\ AB / /C1D1且 AB = C1D1，所以，四边形 ABC1D1 为平行四边形，
所以BC1 / / AD1 .
又QBC1 平面 AD1E， AD1 平面 AD1E，
\BC1 / / 平面 AD1E .
（2）在正方形DCC1D1中，直线D1E 与直线DC 相交.
延长D1E, DC ，交于点F ，连接 AF ，
∵F DC ，DC 平面 ABCD，则F 平面 ABCD .
∵F D1E ，D1E 平面 AD1E，\F 平面 AD1E .
\平面 AD1E 平面 ABCD = AF ，则平面 AD1E和底面 ABCD 的交线为，
设BC AF = G ，则如图平面 AD1E和底面 ABCD 的交线为 AG ，
连接GE ，则GE 为平面 AD1E和平面BCC1B1的交线.
由E 为CC1的中点，得G 为BC 的中点，\EG / / AD1 .
所以平面 AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE - DAD1 .
解法一：设正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2.
V 7 7 1 7棱台CGE-DAD = VF -DAD -VF -CGE = VF -DAD = S△DAD FD = .1 1 8 1 8 3 1 3
\ 3 7 17另一部分几何体的体积为 2 - = .
3 3
\两部分的体积比为 7∶17.
解法二：设正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，所以平面 AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台
CGE - DAD1 ，
1 7
所以VCGE-DAD = (S1 3 △ADD
+ S△ADD S△CGE + S△CGE ) g CD = .1 1 3
\ 3 7 17另一部分几何体的体积为 2 - = ，
3 3
\两部分的体积比为 7∶17.
π
19．(1) B =
3
(2) 9 3
4
3
(3)
2
A + C π B
解析：（1）法一：由三角形的内角和定理得 = - ，
2 2 2
此时 a sin
A + C
= bsin A就变为 a sin
π B
- ÷ = bsin A .2 è 2 2
sin π B 由诱导公式得 - ÷ = cos
B
，所以 a cos
B
= bsin A .
è 2 2 2
2
在VABC 中，由正弦定理知 a = 2R sin A，b = 2Rsin B ，
此时就有 sin Acos
B
= sin B sin A，又 A 0, π ，故 sin A 0 ，
2
即 cos
B
= sin B ，
2
cos B 2sin B cos B B π再由二倍角的正弦公式得 = ，解得 = .
2 2 2 3
A + C A + C
法二：由题设及正弦定理可得 sin = sin B，又 sin = cos
B B
，故 cos = sin B，
2 2 2 2
sin2 A + C sin2 B 1- cos(A + C)两边平方得 = ，即 = sin2 B .
2 2
又 A + B + C = π，即 cos(A + C) = -cos B ，所以1+ cos B = 2sin2 B，
进一步整理得 2cos2 B + cos B -1 = 0，
1 π
解得 cos B= 2 ，因此
B = .
3
A + C A + C
法三：根据题意 a sin = bsin A，由正弦定理得 sin Asin = sin B sin A，
2 2
因为0 < A < π ，故 sin A > 0，
A + C
消去 sin A 得 sin = sin B .
2
A + C π A + C A + C
因为0 < B < π ，0 < < ，故 = B 或者 + B = π，
2 2 2 2
A + C A + C
而根据题意 A + B + C = π，故 + B = π不成立，所以 = B .
2 2
π
又因为 A + B + C = π，代入得3B = π ，所以B = .
3
（2）因为b = 3，由余弦定理可知：b2 = a2 + c2 - 2accos B，
即：9 = a2 + c2 - ac≥2ac - ac = ac ， ac≤9，
当且仅当 a = c = 3时等号成立.
S 1△ABC = ac sin B
9 3
.
2 4
（3）根据余弦定理 a2 + c2 - b2 = 2ac cos B ，得 a2 + c2 - ac = 9，得 (a + c)2 = 9 + 3ac ，
a + c 2
由基本不等式可知 ac ÷ ，
è 2
2
\(a a + c+ c)2 3 2 ÷
+ 9.
è
因 a + c > 3，
\3 < a + c 6（当且仅当 a = c = 3时取等号）.
2
设 t = a + c，则 t 3,6 ac t - 9，∴ = .
a + c 3t
2
设 f (t)
t - 9 1 9
= = t -
3t 3 t ÷
， t 3,6 .
è
则 f (t) 在区间 3,6 上单调递增，
\ f (t) f (6) 3 ac 3的最大值为 = ，\ 的最大值为 .
2 a + c 2

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