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江西宜春中学等校2026届高三年级5月高考大练兵数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2.若集合，，且，则的值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
3.函数的值域为( )
A. B. C. D.
4.已知公比的等比数列，且，，则( )
A. B. C. D.
5.某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近年的蔬菜种植面积单位：亩依次为，，，，，且这年的总利润为万元，由这年的数据求得年利润单位：万元与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到亩时年利润的预测值为( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
6.已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知面积为的正方形的顶点都在双曲线上，点是上与点，，，都不重合的动点记，，，的斜率分别为，，，，若的虚轴长的取值范围为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C. D.
10.若，则的值可能是( )
A. B. C. D.
11.已知圆与曲线，则( )
A. ，恒有公共点
B. 当时，，恰有个公共点
C. 当时，，在时的公共点有个
D. 当时，直线与有个公共点的充要条件是直线与圆相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的第项的系数为 ．
13.已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为 ．
14.已知数列中，为正整数，且，，，则当的值最大时，满足的的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
求；
若点为的中点，且，求．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若当时，，求的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱柱的所有棱长都为，三棱锥是正三棱锥．
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．
若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射次．记发射的次数为，求的分布列与期望；
若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为即修复后，系统恢复到正常发射状态修复失败的概率为考虑一个简化的连续发射模型，从第次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续次发射失败，试验也终止．
求至少发射次的概率；
定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为．
求的方程；
若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值；
若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上．
参考答案
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14.
15.解：解：因为
所以，由余弦定理得，整理得，
所以，
因为，所以，
所以
解：由知，所以，
因为，所以，
在中由余弦定理得

16.解：解：因为，定义域为，
所以，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增．
解：由，得，即，
因为在上单调递增，
所以，即，
设，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是．

17.解：在所有棱长都为的四棱柱中，四边形是菱形，则，
设，则为的中点，连接，由三棱锥是正三棱锥，
得，则，而平面，
因此平面，而平面，所以平面平面．
依题意，三棱锥是所有棱长均为的正三棱锥，取正中心，连接，
则平面，且，在平面内过作，
以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：由题知，的所有可能取值分别为，，，，
则，
，
所以的分布列为
．
记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，
则，，，
记至少发射次为事件，则，
所以
．
第次发射成功有种情形：第次、第次发射成功，
或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，
所以，
设，则，
所以，解得，或
因为，，所以时，
是等比数列，
所以．

19.解：因为，所以，
因为的离心率为，所以，解得，
所以的方程为．
设直线的方程为，令，得，
设点，其中，则，
则，
所以，
所以直线的方程为，
所以，
，
当且仅当时等号成立．
故的最小值是．
证明：设，，直线的方程为，
联立，得，
所以，，且，，
，
．
设的外接圆方程为，
把点代入圆的方程得，
因为点，在圆上，所以，，
得，
其中，
，
所以，
即，
得，
易得，且，
上式两边同时除以得，
整理得，即，
代入得，
所以，或．
当时，，不满足题意，
所以，即，
即点正在定直线上，
所以的外心恒在定直线上．

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