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2026年泸州市中考数学第三次模拟练习试卷
时间：120分钟，总分：150分
班级 姓名 学号 得分
选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．2和 D．和
2．据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等
8．如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
二、填空题（本大题有4个小题，每小题4分，共16分）
13．函数中，自变量x的取值范围是_____．
14．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为______．
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
16．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______．
三、解答题（共86分）
17．计算：．
18．如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
19．化简：．
20．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，84，84，84，87，87，88，92，93，96，99．九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为88，88，85，88，88，84，85，87．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数
八年级 79 84
九年级 79 88
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中：________，________，________；
(2)在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率．
21．两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型．
(1)“五·一”节前小王花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？
(2)由于市场供不应求，“五·一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小王分别花费了2500元、3000元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋香甜味桃片的售价．
22．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：）
23．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)当面积最大时，求点的坐标．
24．如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接交于点F．若，，求的半径．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求拋物线的解析式；
(2)当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026年泸州市中考数学第三次模拟练习试卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C C B A B C D
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意；
B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算，以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解题的关键．
分别根据负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算法则，以及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意；
B、，原写法错误，故本选项不符合题意；
C、，写法正确，故本选项符合题意；
D、，原写法错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．
结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可．
【详解】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高，
从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定，
∴选择乙同学参加比赛，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．
根据矩形和菱形的性质判断即可．
【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解．
【详解】解：∵
∴
正整数解为：，；，；，共3个，
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当时，，
∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴当时，的符号不确定，即的符号不确定，
∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意；
故选：D．
11．A
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得
解得．
故选：A．
12．B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
13．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
14．3
【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴黄球的个数为3个．
故答案为：3．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，

∴，，
∴，，
∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，
∴，
作轴于点，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．
【详解】解：原式，
，
．
18．证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，则，再证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19．
【分析】本题考查分式的化简，根据相关运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
20．(1)84，，40
(2)
【分析】本题考查了扇形统计图，求众数和平均数，树状图或列表法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可；
（2）依题意，先画出树状图，再求概率，即可作答．
【详解】（1）八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据，
；
九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个），
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数，
组数据从小到大排序后为：
．
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据，
．
故答案为：84，，40；
（2）解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为．
21．(1)每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元
(2)每袋香甜味桃片的售价为50元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，
根据题意，得，解得，
答：每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元；
（2）解：设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，
根据题意，得，
整理，得，
解得（负值已舍去）
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：每袋香甜味桃片的售价为50元．
22．(1)点A位于最高点时到地面的距离为米
(2)此时水桶B上升的高度为米
【分析】本题考查了三角函数的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．
（1）过O作于O，过A作于G，在中即可求解；
（2）过O作，过B作于C，过作于D，在中求出，在求出即可求解；
【详解】（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用、二次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先将点代入直线，解得，易知该直线的解析式为，再将点代入直线，进而确定点，将其代入反比例函数解析式并求解即可；
（2）设与x轴交于点，设，则，，易知，，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可得当时，面积取最大值，然后确定点的坐标即可．
【详解】（1）解：将点代入直线，
可得，解得，
∴该直线的解析式为，
∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴将点代入直线，
可得，即，
将代入反比例函数，
可得，解得，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）如下图，设与轴交于点，
∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图像于点，
∴可设，则，，
∴，，
∴，
∴当时，面积取最大值，最大值为4，
此时．
24．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及已知条件可证明可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接．易证可得、，进而得到，易证可得，则、、，根据特殊角的三角函数值可得，则，进而得到，然后求得即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
．
，
．
．
，垂足是C，
．
．
∴半径．
∴是的切线．
（2）解：如图：连接．
．
，
．
．
，，
，
．
．
，
．
，
．
．
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即的半径为．
25．(1)该抛物线的解析式为；
(2)点P的坐标为，的最大值为；
(3)点M的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）过点P作轴交直线于点E，设，进而表示出点的坐标，证明，列出比例式，将转化为二次函数求最值即可；
（3）设，则，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）当时，
∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）如图，设，则
∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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