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2026年中考模拟数学试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数(红色为正，黑色为负).若红色算筹“”表示的数是“＋32”，则黑色算筹“”表示的数是( )
A.＋43 B.＋34 C.－43 D.－44
2. 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海.如图，这是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知BC∥EF，若∠CBD＝75 ，则∠BDF的度数为( )
A.95 B.100 C.105 D.110
3. 中国瓷器以“技术＋文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力.如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是( )
A.主视图和俯视图相同 B.主视图和左视图相同
C.左视图和俯视图相同 D.主视图、左视图和俯视图都相同
4. 下列计算正确的是( )
A.a2·(－a)3＝－a5 B.a2·a4＝a8 C.(－2a)2＝－4a2 D.a3＋a3＝2a6
5. 下列说法正确的是( )
A.调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法
B.某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖100次一定有一次中奖
C.甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩的平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定 D.掷一枚均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件
6. 在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
设x1、x2是方程x2＋mx＋4＝0的两个根，且x1＋x2﹣x1x2＝2，则m的值是(　　)
A.2 B.－2 C.6 D.－6
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝40 ，将△ABC绕点B逆时针旋转60 得到△DBE，点A，C的对应点分别为D，E，连接DA，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是( )
A.∠ABC＝∠EBA B.∠DEC＝90 C.DE∥AB D.BE⊥CD
9. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程(　　)
A.144(1＋x)2＝225 B.144×2(1＋x)＝225 C.144×(1＋2x)＝225 D.144(1＋x)＋144(1＋x)2＝225
10.如图，在□ABCD中，AB＝，以点D为圆心作弧，交边AB于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，连接CE，若CE平分∠BCD，DE＝，，则边AD的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.写出一个能与合并的二次根式_______.
12.“天宫课堂”开课时，航天员从包含“浮力消失”“水膜张力”和“液体结晶”的三个实验中随机抽取一个进行演示，则抽到“水膜张力”的概率是__________.
13.圆内接正六边形的半径为a cm，则这个正六边形的周长为________cm.
14.化简÷＝　 　
15.如图1，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD，EG与AB在一条直线上，点F在CB的延长线上，将△EFG以1个单位/秒的速度沿BC向点C运动，当点G与点C重合时停止运动，运动时间为t秒，设矩形ABCD与△EFG重合部分的面积为s，s与t的函数图象如图2所示，它是由线段OP，QM和曲线PQ三部分组成.根据图中信息可知，AD的长为__________,a的值为________.
三、解答题(共75分)
16.(6分)计算：－12－|－|＋2－1＋(－)0.
17.(6分)如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△ EAB 是等腰三角形.
18.(6分)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q的南偏西50 的方向，求河宽(结果精确到1 m).(sin40 ≈0.64，cos40 ≈0.77，tan40 ≈0.84)
19.(8分)2026年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A，B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量.
【数据收集与整理】A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位：万件)条形统计图如图所示：
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位：万件)如表所示：
分拣快递数量(万件) 16 17 18 19 20
机器人台数(台) 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件
A型号 14和16 b 15
B型号 a 20 20
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1) 填空：表中a＝_____，b＝_____，直接补全条形统计图；
(2) 若该省共投放市场的型号智能机器人有80台、型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
(3) 若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议.
20.(8分)进位制与整数整除规律
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数方式，约定逢十进一就是十位制，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的就是十进制.当我们学完《用字母表示数》以后，发现用字母表示数简洁明了，具有普遍性和概括性，可以揭示一般规律和本质，也可以进行代数推理和证明，而探究整数整除规律，就是一个典型的代数推理过程.
(1) 我们常用表示一个十位数字为a，个位数字为b的两位数，即用代数式10a＋b表示，类似的，请你用代数式表示三位数＝_______________ .
(2) 在小学中，我们知道一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除.例如：一个两位数，若a＋b能被3整除，则这个两位数就能被3整除，理由如下：
证明：＝10a＋b＝9a＋a＋b＝9a＋(a＋b)，
∵9a中有因数3且a为整数，∴9a能被3整除，
∵a＋b能被3整除，∴9a＋(a＋b)能被3整除，
即因为能被3整除.
请用类似的方法说明：若a＋b＋c能被9整除，则三位数就能被9整除.
(3) 请选出三位数能被11整除的条件是______ .
A.a＋b＋c能被11整除 B.a﹣b＋c能被11整除
C.a＋b﹣c能被11整除 D.a－b－c能被11整除
在此条件下，交换这个三位数的个位数字与百位数字后得到的新三位数能否被11整除，请说明理由.
21.(8分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D为中点，过D作AC的垂线，垂足为E.
⑴ 求证：DE是⊙O的切线；
⑵ 若AC＝2CE＝2，求图中阴影部分的面积.
22.(10分)为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动.在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生.
(1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？
(2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示.学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车.设租用m辆甲型客车，设租车的总费用为W元.
甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 35 30
租金(元/辆) 400 320
①求W与m的函数解析式；
②求学校租车最少的总费用.
23.(11分)在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，CD上，EF⊥FG.
(1)如图1，求证：△AEF∽△DFG；
(2)如图2，延长EF，CD交于点M，若EF＝FG，AB＝6，DM＝1，求FM的长；
(3)如图3，延长EF，CD交于点M，延长FG，BC交于点N，若BN＝EM，AF＝DF，求的值.
24.(12分)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋3的图象交x轴于A(－1，0)、B两点，交y轴于点C，点P是x轴上方抛物线上一点，点P的横坐标为m.
⑴ 求a的值；
⑵ 若点P是第一象限抛物线上的点，且CB平分∠ACP，求点P的坐标；
⑶ 若点Q的横坐标为2m－2，且PQ∥x轴，则点Q是点P的“衍生点”，过P作PD∥y轴交直线BC于点D，以PD、PQ为边作矩形PDEQ叫作点P的“衍生矩形”，“衍生矩形”的周长为.
①求l与m的函数解析式；
②当l随m的增大而增大时，且抛物线与“衍生矩形”PDEQ的任意一条边交于点F，若点F是“衍生矩形”边的中点，直接写出m的值.
襄州区九年级数学适考题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A D A D C A C
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11. （答案不唯一） 12. 13. 6a 14. 15.5(1分)，7(2分)
三、解答题(本大题共9个小题，共75分)
16.（6分）解：原式＝－1－＋＋1 ……………………………………………………………………4分
＝0． ……………………………………………………………………………………………6分
17.（6分）证明：在△DAB和△CBA中
，
∴△DAB≌△CBA……………………………………3分
∴∠DBA＝∠CBA……………………………………4分
∴EA＝EB………………………………………5分
∴△EAB 是等腰三角形………………………6分
18.（6分）解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90 ，∠PQT＝90 －50 ＝40 ，……………2分
∴PT＝PQ·tan∠PQT＝180×tan40 ≈151(m)，
答：河宽约为151 m．…………………………6分（列式与代入求值各给两分，没答不扣分）
19.（6分）解：（1）20，15，…………………2分
补全条形统计图如图所示；……3分
（2）由题意得，80×15＋100×20＝3200（万件）；
答：该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万 件； ……………………………………6分
（3）B型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数
都高于A型号智能机器人，所以购买B型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可）…8分
20.（8分）解：（1）100a＋10b＋c；………………………………………1分
证明：（2）∵＝100a＋10b＋c＝99a＋9b＋（a＋b＋c），
∵99a＋9b能被9整除，
∴若a＋b＋c能被9整除，那么99a＋9b＋（a＋b＋c）就能被9整除，
则三位数就能被9整除．………………………………………3分
（3）B；…………………………………………………………5分
理由：∵＝100a＋10b＋c＝（110a＋11b﹣11a）＋（a﹣b＋c），
∵110a＋11b﹣11a能被11整除，
∴若a﹣b＋c能被11整除，那么（110a＋11b﹣11a）＋（a﹣b＋c）就能被11整除，
即能被11整除。（理由供参考，选择B即给分）
交换后新三位数为
＝100c＋10b＋a＝100c＋10b＋a＝99c＋c＋11b﹣b＋a＝（99c＋11b）＋（c﹣b＋a）＝11（9c＋b）＋（c﹣b＋a），
∵原数中a﹣b＋c能被11整除，即c﹣b＋a能被11整除，
∴也能被11整除．…………………………………………8分
21.（8分）（1）证明：连接OD，OC，∵D是的中点，即＝，
∴∠COD＝∠BOD＝∠COB，又∠A＝∠COB＝∠BOD，……1分
∴OD∥AE，∴∠E＋∠ODE＝180 ，……………………2分
∵DE⊥AE，∴∠E＝90 ，∴∠ODE＝90 ，∴OD⊥ED，……3分
又OD是⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线.…………………4分
（2）过点O作OF⊥AC于点F，则AF＝FC＝AC，又AC＝2CE＝2，
AF＝FC＝CE＝1，EF＝2， ……………………………………5分
∠AFO＝∠CFO＝90 ，又∠E＝∠ODE＝90 ，∴四边形ODEF是矩形，∴OD＝EF＝2＝OA， …6分
在Rt△AFO中，cos∠A＝＝，OF＝＝＝， ∴∠A＝60 ，……7分
∴∠COD＝∠DOB＝∠A＝60 ，
∴S阴影＝S梯形CEDO－S扇形OCD＝(CE＋OD)·ED－
＝(1＋2)·－ ＝－.………………………………8分
22.（10分）解：（1）设参加此次研学活动的老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名，
根据题意得：，解得，………………………………3分
答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名.
方程组的列法不唯一，正确即可.
①解：W＝400m＋320（8﹣m）＝80m＋2560. …………………6分
②根据题意得：35m＋30（8﹣m）≥8＋247，∴m≥3，……………7分
在W＝80m＋2560中，∵80＞0，∴W随m的增大而增大，………………8分
∴当m＝3时，W最小＝240＋2560＝2800，…………………………9分
∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元. ……………10分
23.（11分）（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADE＝90 ，……1分
∴∠AEF＋∠AFE＝90 ，又EF⊥FG，∴∠AFE＋∠GFD＝90 ，……………2分
∴∠AEF＝∠GFD，∴△AEF∽△DFG. ……………………3分
（2）如图2，同（1）可知：∠AEF＝∠GFD，∠A＝∠ADC＝∠ADM＝90 ，
又EF＝FG，∴△AEF≌△DFG，∴AE＝FD，…………………4分
设AE＝FD＝x，又AB＝AD＝6，∴AF＝6－x，
又∠AFE＝∠MFD，∴tan∠AFE＝tan∠MFD，……………5分
（证明△AEF∽△DMF也可以）
∴＝，即＝，解得：x1＝2，x2＝－3(舍去)，……6分
∴FM＝＝＝.……………………7分
（3）如图3，过点N作NH⊥AD交AD延长线于H，∴∠H＝90 ，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90 ，ABCD，ADBC，
∴∠1＋∠3＝90 ，又EF⊥FG，∴∠4＝90 ，∴∠1＋∠2＝90 ，
∴∠3＝∠2，∴△AEF∽△HFN，∴＝，………………8分
可知：四边形CDHN是矩形，且AF＝FD，
∴HN＝CD＝AD＝2AF＝2FD，∴＝＝，∴FN＝2EF，
又AB∥CD，∴＝，∴EF＝FM，∴EM＝2EF，
∴FN＝EM，又EM＝BN，∴FN＝BN，…………………9分
设AF＝FD＝x，CN＝DH＝a，则HN＝AD＝2x，FN＝BN＝2x＋a，
在Rt△FHN中，FN2＝FH2＋HN2，∴(2x＋a)2＝(x＋a)2＋(2x)2，
∴x1＝2a，x2＝0（舍去），…………………………10分
∴AF＝2a，EM＝BN＝5a，EF＝a，
由勾股定理得：AE＝a，∴EB＝4a－a＝a，∴＝＝.…………11分
24.（12分）解：（1）把A（－1，0）代入y＝ax2＋2x＋3得：（－1）2a＋2×（－1）＋3＝0，………2分
解得：a＝－1. …………………………………3分
（2）当a＝－1时，y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，
∴x1＝3，x2＝－1，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3，∴∠2＝∠3＝45 ，
设yBC＝kx＋b，∴，∴yBC＝－x＋3，…………………4分
过P作PM∥y轴，过点C作CM∥x轴交PM于M，则P（m，－m2＋2m＋3），则M（m，3），∠1＝∠3＝45 ，∴PM＝－m2＋2m＋3－3＝－m2＋2m，CM＝m，……………5分
∵CB平分∠ACP，∴∠BCA＝∠BCP，
∴∠OCA＝∠MCP，∴tan∠OCA＝tan∠MCP，即＝，
∴＝，∴m1＝0(舍去)，m2＝，…………6分
当m＝时，－（）2＋2×＋3＝，
∴P（，）. ……………………7分
（3）①∵PQ∥x轴，PD∥y轴，
∴P（ m，－m2＋2m＋3），Q（2m－2，－m2＋2m＋3），D（m，－m＋3），
当－1＜m＜0时，如图2，PD＝－m＋3－（－m2＋2m＋3）＝m2－3m，PQ＝m－（2m－2）＝2－m，
∴l＝2（PD＋PQ）＝2（m2－3m＋2－m）＝2m2－8m＋4，…………8分
当0＜m＜2时，如图3，∴PD＝－m2＋3m，PQ＝2－m，
∴l＝2（－m2＋3m＋2－m）＝－2m2＋4m＋4，…………………9分
当2＜m＜3时，如图4，∴PD＝－m2＋3m，PQ＝m－2，
∴l＝2（－m2＋3m＋m－2）＝－2m2＋8m－4，…………………10分
综上：l＝.
②m＝或m＝1. ………………………12分

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