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2026年广东省河源市东源县崇文学校教育集团中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，最小的数是（　　）
A. 0 B. 2 C. -1 D. -3
2.下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.人体中红细胞的直径约为0.0000077m,用科学记数法表示数的结果是（　　）
A. 7.7×106m B. 0.77×10-6m C. 7.7×10-5m D. 7.7×10-6m
4.有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A. 19，19 B. 19，18 C. 18，18 D. 18，19
5.下列计算正确的是（　　）
A. a6÷a3=a2 B. a3+a2=a6 C. 4a3 3a2=12a6 D. （a2b）3=a6b3
6.如图，AB是⊙O的直径，∠E=25°，则∠AOD=（　　）
A. 25°
B. 40°
C. 60°
D. 50°
7.计算的结果等于（　　）
A. 1 B. x-1 C. D.
8.已知二次函数y=-2（x+1）2-3，下列说法正确的是（　　）
A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为（-1，3）
C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为（0，-3）
9.我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步.如果设宽为x步，则可列出方程（　　）
A. x（x-6）=864 B. x（x-12）=864 C. x（x+6）=864 D. x（x+12）=864
10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC=（　　）
A. 1：3
B. 1：4
C. 1：9
D. 1：81
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式有意义，则x的取值范围是 .
12.分解因式：a4-a2b2=______．
13.如图是一个简单几何体的三视图，则这个几何体是______.
14.如图直线AB∥CD∥EF，若，BD=6cm,则BF= cm.
15.如图， ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x轴，当双曲线y=经过点D时，则 ABCD面积为______．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）解方程：x2-7x-18=0；
（2）计算：.
17.(本小题7分)
如图，在 ABCD中，BD为对角线．
（1）请用尺规作图法在CD上求作点E，使得DE=BE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
18.(本小题7分)
如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平面的夹角为60°，求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米，参考数据：1.73）
19.(本小题9分)
体育强则中国强，国运兴则体育兴.中心学校在校运会举行了投篮比赛活动，学校随机抽取几名同学参加，规定每人投篮10次，将投中次数进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题.
（1）a= ______，∠α= ______；
（2）补全条形统计图；
（3）体育老师从成绩较好的5名同学（设为胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮）中随机抽取2名同学代表学校参加省级联赛，请用画树状图或列表的方法求出楠楠被抽中的概率.
20.(本小题9分)
某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼.鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍.
（1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？
（2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28元，杏仁饼每盒售价18元.若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？
21.(本小题9分)
如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF=4，求AC的长度.
22.(本小题12分)
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构.如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间.大棚的设计要保证通风性且利于采光.
建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE=4m,宽ON=12m.现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系.求此抛物线的解析式.
解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB=BE=EC=CD.求门高AB的值.
（3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长.
23.(本小题12分)
综合与实践
【问题情境】
在一次数学探究课上，老师给出了一道例题题干，如下：如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上且.
【探究实践】
老师带领同学们自己观察图形，进行猜想和假设，找寻图中蕴含的几何关系，经过思考和讨论，小华和小颖同学分享了自己的发现.
（1）如图1，小华发现，当点E为AB中点时，AE=BF，请你给出证明；
（2）如图2，小颖发现，当E不是AB中点时，AE=BF仍成立，请你给出证明.
【拓展应用】
如图3，小聪在EF上取一点M使得CE=EM，小聪发现∠BCM为固定值，请你给出证明并求∠BCM.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】x≠-2
12.【答案】a2（a+b）（a-b）
13.【答案】圆柱
14.【答案】14
15.【答案】8
16.【答案】x1=9，x2=-2 1
17.【答案】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠ABD，
∵ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ABD=∠EBD，
∴BD平分∠ABE．
18.【答案】0.5米．
19.【答案】3；120°；
见解析；
．
20.【答案】解：（1）设鸡仔饼的进价是x元/盒，则杏仁饼的进价是（x-5）元/盒，
由题意得：=×2，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，
∴x-5=15-5=10，
答：鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒；
（2）设购进鸡仔饼m盒，则购进杏仁饼（60-m）盒，
由题意得：（28-15）m+（18-10）（60-m）＞680，
解得：m＞40，
∵m为正整数，
∴m的最小值为41，
答：至少购进鸡仔饼41盒．
21.【答案】（1）证明：连接OD、AD．
∵点D是的中点，
∴=，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接BC．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AE，
∴∠DOB=∠EAB，
∵∠DFO=∠ACB=90°，
∴△DFO∽△BCA，
∴==，
即=，
∴AC=8．
22.【答案】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，4），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+4．
又抛物线过（0，0），
∴0=36a+4．
∴．
∴抛物线的解析式为；
（2）由题意，设AB=BE=EC=CD=m,
∴A（6-m,m）．
又A在抛物线，
∴．
∴m=3或m=-12（舍去）．
∴AB=3；
答：门高AB为3m；
（3）由题意，∵A（3，3），N（12，0），
∴直线AN为．
又∵PQ∥AN，
∴可设PQ为．
∴．
∴x2-15x+9b=0．
∴Δ=225-36b=0．
∴．
∴直线PQ为．
令y=0，
∴．即，
答：此时OQ的长为．

23.【答案】解：（1）∵AC⊥BC，AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵点E为AB中点，
∴，
∴∠ACE=45°，
∴∠AEC=90°，
∴，
∵，
∴EF=AC，
∵过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上，
∴∠EBF=90°，
在Rt△AEC和Rt△FBE中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△FBE（HL），
∴AE=BF；
（2）如图2，将△AEC顺时针旋转90°，得△BHC，即点A与点B重合，点E的对应点是H点，连接EH，
∴CE=CH，∠ECH=90°，∠CBH=∠A=45°，AE=HB，∠ACE=∠HCB，
∴∠EBH=∠CBH+∠CBA=45°+45°=90°，
即∠EBH=∠EBF，
∴，
∵，
∴EF=AC=CH，
∵EB=EB，
∴Rt△EFB≌Rt△EHB（HL），
∴BF=HB，
∵AE=HB，
∴AE=BF；
【拓展应用】设∠CEB=x,∠EFB=y,

∵△EFB≌△EHB，
∴∠EHB=∠EFB=y,
由（2）得CE=CH，∠ECH=90°，∠ACE=∠HCB，
∴∠CHE=45°，
在△CBH中，∠HCB=180°-∠CHE-y-∠HBC=90°-y,
∴∠ACE=∠HCB=90°-y,
∴∠CEM=x+90°-y,
∵过点B作AB的垂线BD（D在BC上方），E，F两点分别在AB，BD上，
∴∠EBF=90°，∠FEB=90°-y,
则∠CEB=∠A+∠ACE=45°+90°-y=135°-y,
即x=135°-y,
∴x+y=135°．
∵CE=EM，
∴，
∴∠BCM=∠ECB-∠ECM
=
=
=
=
=22.5°．
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