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2026年黑龙江省绥化市海伦市中考数学二模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验.下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.据统计，黑龙江省的绥化市总面积约为35000平方千米，将数35000用科学记数法表示正确的是（　　）
A. 3.5×104 B. 35×105 C. 3.5×103 D. 35×103
3.已知α，β是一元二次方程x2+2x-9=0的两根，则的值等于（　　）
A. B. C. D.
4.如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量.图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD，BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC.若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（　　）
A. 127° B. 106° C. 76° D. 74°
5.下列计算正确的是（　　）
A. （xy2）2=xy4 B. （3xy）3=9x3y
C. （-2a2）2=-4a2 D. （-3ab2）2=9a2b4
6.在物理学中，物质的密度ρ等于物体的质量m与它的体积V之比，即.已知A，B两个物体的密度之比为3：5，当物体A的质量是100g,物体B的质量是200g时，物体B的体积比物体A的体积小27cm3.如果设物体A的体积是x cm3，那么根据题意列方程为（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），C（0，7），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　）
A. 9
B. 12
C.
D. 16
8.福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图1）.小明想测量白塔AB的高度（如图2），在离白塔底端B正前方8米的C处，用高为1.5米的测角仪CD测得白塔顶部A处的仰角为α，则白塔AB的高度为 （　　）
A. （8tanα+1.5）米 B. （1.5tanα+8）米
C. （8cosα+1.5）米 D. （8sinα+1.5）米
9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M和N分别是AB和AD上一点，沿MN将△AMN折叠，点A恰好落在边BC的中点E上，若AB=4，则AM的长为（　　）
A. 2.4 B. 2.8 C. 3 D. 3.2
10.端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（　　）
A. 20% B. 25% C. 75% D. 80%
11.如图，在正方形ABCD中，，点E为AD上一点，连接CE交BD于点F，延长CE交BA的延长线于点G，若AG=1，则CF的长为（　　）
A.
B.
C.
D. 2
12.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，图象与负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB.则下列结论： ①abc＜0；②＞0；③ac+b+1＞0；④若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2-x1＞2c.其中正确结论的个数是（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
13.如果代数式有意义，则x的取值范围是 .
14.因式分解：-3x2+12xy-12y2= .
15.化简：，结果为 .
16.已知直线m∥n,将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，∠F=30°，另一直角三角板一直角边与直线n重合，∠C=45°，若BC∥EF，则∠MDE= .
17.将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为AC=3，AB=4，新几何体的最大横截面圆的半径AD=2，则新几何体的表面积为 .
18.在平面直角坐标系中，将△ABC的每一个顶点的横纵坐标均乘以-2，得到新的△A′B′C′，若S△A′B′C′=24，则S△ABC= .
19.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图.则所需的小正方体的个数最多有 个小正方体.
20.如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为 .
21.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5.若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM+MN取最小值时△BMN的周长为 .
22.如图，点A1，A2，A3…在反比例函数的图象上，点B1，B2，B3， ，Bn在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=…，直线y=x与双曲线交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2026的坐标是 .
三、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题6分)
欧几里德.古希腊著名数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”.
（1）尺规作图：如图1，过点P作O的两条切线PQ，PR切点分别为点P，点R（保留作图痕迹，痕迹要清晰）；
（2）如图2，连接QO并延长交圆O于点B，连接BR，已知BR=2，圆O的半径，求PO.
24.(本小题8分)
某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为A、B、C、D四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.
（1）本次抽取调查学生共有______人，其中A组的学生人数为______；
（2）补全条形统计图并求出扇形统计图中C组部分所占的圆心角α的度数；
（3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到A、B、C、D四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率.
25.(本小题7分)
如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，连接AD并延长至点C，使∠DBC=∠DAB，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）记△ABD，△BCD的面积分别为S1，S2，若，求的值；
（3）若⊙O的半径为1，设PA=x,，试求y关于x的函数解析式.
26.(本小题12分)
为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题：
（1）甲无人机的速度是______米/秒，乙无人机的速度是______米/秒；
（2）求线段PQ对应的函数表达式；
（3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间.
27.(本小题9分)
综合与实践.
【问题发现】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：BE=BF.
【类比探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，且∠ACB=60°，连接EF，求的值.
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的中点M，连接BM，CM.若，则当△CBM是直角三角形时，请求出CF的长.
28.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（-1，0），B两点，交y轴于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】B
13.【答案】x＞2且x≠4．
14.【答案】-3（x-2y）2．
15.【答案】
16.【答案】15°．
17.【答案】14π
18.【答案】6
19.【答案】8．
20.【答案】
21.【答案】12．
22.【答案】
23.【答案】如图1，
OP=5
24.【答案】60 21
25.【答案】证明见解析；
；
．
26.【答案】6，3；
y=6x-48（14≤x≤20）；
17秒．
27.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，CF⊥AC，
∴∠EBF=∠ECF=90°=∠ABC，
∴∠ABE=∠CBF，∠BCF=45°=∠BAC，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴BE=BF；
（2）解：∵BE⊥BF，CF⊥AC，
∴∠EBF=∠ECF=90°，
∴点C，点E，点B，点F四点共圆，
∴∠ACB=∠EFB=60°，
∴∠BAE=∠BEF=30°，
∴AB=BC，BE=BF，
∴=
∵∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴==；
（3）解：由（2）知：==，
∵AB=2，
∴CB=2，
∵△ABE∽△CBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°，
∵M为EF的中点，
∴BM=EF，
由（2）知∠ACF=90°，
∴CM=EF，
∴BM=CM，
又∵△CBM是直角三角形，
∴CM=BC=，
∴EF=2CM=2，
设CF=x,则AE=x,
∵∠CAB=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴CE=AC-AE=4-x,
∵∠ECF=90°，
∴CE2+CF2=EF2，
∴x2+（4-x）2=8，
∴x=-1或x=+1（不合题意，舍去），
当∠MBC=90°或∠MCB=90°时，点M不存在，
当E在AC延长线上时，设CF=x,则AE=x,
∵∠CAB=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴CE=AE-AC=x-4，
∵∠ECF=90°，
∴CE2+CF2=EF2，
∴x2+（x-4）2=8，
∴x=-1（不合题意，舍去）或x=+1，
当点E在CA的延长线上时，
∵点M是EF的中点，
∴CM=BM=EM=EM，
∴△BCM是等腰三角形，
∵点M在AC的上方，
∴△BMC不可能是直角三角形，
∴点E不在CA的延长线上．
综上所述，CF的长为-1或+1．
28.【答案】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（-1，0），B两点，交y轴于点C．代入得：
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，
令，
解得x1=-1，x2=4，
∴B（4，0），则OB=4，
当x=0时，y=2，∴C（0，2），则OC=2；
设直线BC的表达式为y=kx+t,
则，
解得，
∴直线BC的表达式为，
设，则，
∴==，
∵，0＜x＜4，
∴当x=2时，PE最大，最大值为2，此时点P坐标为（2，3）；
∵PE∥y轴，PD⊥BC，
∴∠PED=∠OCB，，
∵，，
∴，，
∵△PDE周长为PE+PD+DE==，
∴△PDE周长的最大值为，点P坐标为（2，3）；
（3）在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，符合条件的N点坐标为或或；理由如下：
∵，，
∴根据平移性质，该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为，
设，N（p,s），AP2=（-1-2）2+（0-3）2=18，
当AP为对角线时，则AM=AN，
∴，
解得，
∴点N坐标为；
当AM或AN为对角线时，AP=AN或AP=AM，
则或，
解得（不合题意的值已舍去），
∴点N坐标为或，
综上，满足题意的N点坐标为或或．
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