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2025-2026学年上海市静安区新中高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（　　）
A. 70 B. 80 C. 90 D. 100
2.已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（　　）
A. 26 B. 6 C. 5 D. 4
3.过点M（2，4）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线共有（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知函数，关于x的方程2f2（x）=3a|f（x）|-a2有且仅有4个不同的实根，则实数a的取值范围为（　　）
A. （e2，2e2） B. C. （e,e2） D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.掷一颗质地均匀的骰子出现点数是5的概率为 .
6.某校高三年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为 .
7.在（1+2x）6的二项展开式中，x2项的系数为______．
8.一组数1，1，x,2，5的平均数为2，则这组数的方差为 .
9.已知事件A，B相互独立，且P（A）=0.2，P（B|A）=0.8，则P（AB）= .
10.双曲线的焦距为 .
11.函数的严格增区间为 .
12.直线l：2x+y-3=0被圆M：x2+（y+2）2=11截得的弦AB的长为 .
13.设甲、乙两射手独立地射击同一个目标，他们的命中率分别为0.85和0.9，在一次射击中，目标被击中的概率为 .
14.抛物线的焦点为F，过该抛物线上的一点P作其准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF=60°，则|PQ|= .
15.若函数有最小值，则k的取值范围是 .
16.法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆M，若直线x+y+6=0与圆M没有公共点，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知直线l斜率为2，且过定点（1，3），椭圆.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|.
18.(本小题15分)
某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间[50，100]内，将竞赛成绩数据分成[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[50，60）、[60，70）内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在[60，70）内的概率.
19.(本小题15分)
有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球，所有小球的大小和质地完全相同，仅仅是颜色有区别.
（1）若从甲袋中随机一次性取出2个球，其中红球的个数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）若先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，求取出的2个球都是红球的概率.
20.(本小题17分)
已知a为常数，且a∈R，f（x）=a+xlnx,.
（1）当a=0时，求函数y=f（x）的最小值；
（2）若函数y=g（x）在x=1处的切线过原点，求a的值；
（3）对于正实数t,比较f（x）+f（t-x）与f（t）+a-tln2的大小.
21.(本小题18分)
已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，设点P在第一象限且在双曲线T上，O为坐标原点.
（1）求双曲线T的两条渐近线夹角的余弦值；
（2）若，求的取值范围；
（3）设椭圆，直线AP与椭圆C的另一个交点为Q.记△AOP、△ABQ的面积分别为S1、S2，求的最小值，并写出取得最小值时P点的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】
6.【答案】49．
7.【答案】60
8.【答案】2.4
9.【答案】0.16
10.【答案】．
11.【答案】（1，+∞）．
12.【答案】
13.【答案】0.985．
14.【答案】．
15.【答案】[0，1]
16.【答案】．
17.【答案】y=2x+1
18.【答案】a=0.015，平均成绩为76.5分
19.【答案】X的分布列为：
X 0 1 2
P

20.【答案】 f（x）+f（t-x）≥f（t）+a-tln2，理由如下：
设函数h（x）=f（x）+f（t-x）（t＞0），
可得h（x）=xlnx+（t-x）ln（t-x）+2a，其中0＜x＜t，
则，
令h′（x）＜0，可得，解得，
令h′（x）＞0，可得，即，解得，
所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，
可得h（x）的最小值为，所以，
又由，
所以f（x）+f（t-x）≥f（t）-tln2+a
21.【答案】 ，
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