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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若函数f（x）=x2，则=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.曲线f（x）=lnx在x=1处的切线方程为（　　）
A. y=x B. y=x-1 C. y=x+1 D. y=-x+1
3.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（　　）
A. r1 B. r2 C. r3 D. r4
4.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
5.函数f（x）=x3-ax+1在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A. a＜3 B. a＞3 C. a≤3 D. a≥3
6.函数f（x）=（x-1）ex的图象大致为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.10件不同商品中含有3件次品，随机抽取5件，抽到的次品数的均值为（　　）
A. B. C. D. 2
8.函数f（x）=ex-e-x-2sinx,若满足f（x2+x）+f（1-t）≥0恒成立，则实数t的取值范围为（　　）
A. [2，+∞） B. [l,+∞） C. D. （-∞，1]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于概率统计说法中正确的是（　　）
A. 若X～B（10，0.5），则E（X）=5
B. 设随机变量ξ～N（2，1），若p（ξ＞3）=p,则
C. 运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本点中心（，）
D. 决定系数R2越接近0，拟合效果越好
10.下列求导数运算正确的是（　　）
A. （2x）′=2xln2 B.
C. （xe2x）′=（x+1）e2x D.
11.已知函数f（x）=x（x-3）2，则说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）在x=1处有极小值
B. f（2+x）+f（2-x）=4
C. 曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线f（x）有且仅有一个公共点
D. 若0≤x≤t时，f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某高校有A、B两家餐厅，王同学第一天去A、B两家餐厅就餐的概率分别为0.6和0.4，如果他第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.4，如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去了A餐厅的概率为 .
13.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，
①f（b）＞f（a）＞f（c）；
②函数f（x）在x=c处取得极小值，在x=e处取得极大值；
③函数f（x）在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值；
④函数f（x）的最小值为f（d）.
以上正确的序号是 .
14.已知函数f（x）=ex-a（a∈R），若函数f（x）的图象与相交于两个不同点A，B，记直线AB的斜率为k,则k的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f（x）=ex-ax,且x=0为函数的极值点.
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的值域.
16.(本小题15分)
将正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到如图所示的几何体，且H为AC的中点.
（1）证明：A1H∥平面B1CD1.
（2）求二面角A-B1H-A1的正弦值.
17.(本小题15分)
某汽车厂商为研究新能源汽车的电池类型与用户满意情况的关联性，以及某新能源汽车续航里程（单位：百千米）与充电频率（单位：次/月）的关系，收集了200位用户的调研数据，得到如下表格：
表1 单位：人
电池类型 用户满意情况 合计
满意 不满意
A类型电池 85 15 100
B类型电池 65 35 100
合计 150 50 200
表2
续航里程x 3 4 5 6 7
充电频率 17 13 10 8 7
（1）根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析新能源汽车的电池类型与用户满意情况是否有关；
（2）根据表2中的数据建立该新能源汽车的充电频率关于续航里程的一元线性经验回归方程.
参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d；
.
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
18.(本小题15分)
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=2时，试确定f（x）的零点个数；
（3）若不等式xf（x）≥2（x-a）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为p（0＜p＜1），向后移动的概率为1-p.
（1）若，求4次后停在初始点的概率；
（2）求机器人移动3次后停在初始点前方的概率；
（3）设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率p=x,若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率p=a-x（0＜a＜2），移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分.记两轮测试最终得分的期望E（x）=f（x），若f（x）存在极大值点，求a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】0.44．
13.【答案】③．
14.【答案】．
15.【答案】a=1 [1，e2-2]
16.【答案】取B1D1的中点M，连接A1M，MC，
易证A1M∥AC，且，
又H为AC的中点，所以A1M∥HC，且A1M=HC，
则四边形A1MCH是平行四边形，
所以A1H∥MC，
因为A1H 平面B1CD1，MC 平面B1CD1，
所以A1H∥平面B1CD1
17.【答案】（1）新能源汽车的电池类型与用户满意情况有关 （2）
18.【答案】当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-a，+∞）上单调递增，在（0，-a）上单调递减 1个 [1，+∞）
19.【答案】 p2（3-2p）
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