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2025-2026学年云南省昆明市第三中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知z=1+i,计算=（　　）
A. -i B. i C. -1 D. 1
2.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π
3.已知α，β为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确的是（　　）
A. 若m∥n，m⊥α，则n⊥α B. 若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C. 若m⊥α，α∩β=n，则m∥n D. 若m⊥α，m β，则α⊥β
4.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为（　　）
A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线
6. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则S△ABC的最大值为（　　）
A. B. C. D.
8.已知点O为△ABC的外心，且向量，λ∈R，若向量在向量上的投影向量为，则cosB的值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=3-i3，则下列结论正确的是（　　）
A. B. z在复平面内对应的点位于第二象限
C. z（1-i）的虚部为-2 D. z是方程x2-6x+10=0的根
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是面BCC1B1和面CDD1C1的中心，则下列结论正确的是（　　）
A. BC1与AA1共面 B. BC1与CD1夹角为
C. AC1⊥平面CB1D1 D. EF∥平面ABCD
11.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若sinA=cosB，则（　　）
A. △ABC为锐角三角形 B. 若a=1，则b=tanB
C. 2tanB+tanC的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，，则△ABC的最大内角等于
13.已知△ABC，AB=BC=1，∠B=120°，点E是BC边上一点，若BE=2CE，则= ______.
14.一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器ABC-A1B1C1，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面AA1B1B水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，满足，，．
（（1）若，求实数λ的值；
（2）若设与的夹角为θ，求θ的大小．
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC-b-c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．
17.(本小题15分)
《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥底面，PA=AD=1，E，F分别为AB，PC的中点.
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：平面BEF⊥平面PCD；
（3）求直线BF与平面ABCD所成角的大小.
18.(本小题17分)
折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S1，.
（1）证明：；
（2）若，求sinA的值；
（3）在（2）的条件下，若，D是AB的中点，现需要对纸片△ABC做一次折叠，使C点与D点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积S2.
19.(本小题17分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是线段AB上的一点，将△ADE沿DE翻折，使A点到达P的位置，且点P不在平面BCDE内.
（1）若平面PCD⊥平面BCDE，证明：平面PDC⊥平面PBC；
（2）设E为AB的中点，取DE的中点O，连接AO并延长，交BC延长线于点S，设∠POS=α.
①用α表示二面角P-BC-D的正切；
②当二面角P-BC-D最大时，求四棱锥P-BCDE的体积.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】105°
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由可得：，
即，
又由，，得，，
代入解得：，
所以，是不共线的向量．
由，可得：λ+=μ（+4λ），因为，是不共线的向量，
所以λ=μ且4λμ=1，解得．
（2）由于，，
由与的夹角为θ：，
由于θ∈[0，π]，所以．
16.【答案】解：（）∵在中，，
利用正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入上式并约去2R得：
，
而,
∴,
∴,
∵C为三角形内角，∴0°< C<180°,∴sinC≠0，
∴，即，
∴，
∵A为三角形内角，∴0°< A<180°,
∴．
（）若，的面积为，
则，
∴①，
又由余弦定理可得，
∴②，
由①②解得．
17.【答案】证明：在四棱锥P-ABCD中，取PD的中点M，连接AM、MF，
由M、F分别为PD、PC的中点，
所以MF∥DC，且，
又因为AE∥DC，且，
所以MF∥AE且MF=AE，
所以四边形AMFE为平行四边形，
所以EF∥AM，
因为AM 平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD 证明：因为AD=PA，所以AM⊥PD，
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为CD⊥AD，PA，AD 平面PAD，且PA∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AM，
因为EF∥AM，AM⊥PD，所以CD⊥EF，EF⊥PD，
又因为PD∩CD=D，PD，CD 平面PCD，
所以EF⊥平面PCD，又EF 平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PCD
18.【答案】证明见解析；
；
．
19.【答案】证明见解析 ①；②
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