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2025-2026学年吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数，则z=（　　）
A. 2-i B. 2+i C. 1-2i D. 1+2i
2.把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（　　）
A. A∩B是不可能事件 B. A，B是互斥事件
C. A∪B∪C是必然事件 D. B，C是对立事件
3.对于一组数据3，4，5，6，6，下列结论正确的是（　　）
A. 平均数为5，方差为2 B. 中位数为5，方差为
C. 众数为6，标准差为 D. 极差为3，方差为3
4.如图，在△ABC中，=2，P是BN上一点，若=t+，则实数t的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知，，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
6.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.若复数z=i（2i-1），则下列选项正确的是（　　）
A. iz在复平面内对应的点位于第二象限 B. z的共轭复数为2-i
C. 为正数 D.
8.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为SA、SB、SC，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知O是△ABC的内心，且.设△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R，则的值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，则下列结论中正确的是（　　）
A. 与可以作为所在平面的一组基底 B.
C. D.
10.下列说法正确的是（　　）
A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件
B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件M=“向上点数1或4”，事件N=“向上点数是奇数”则
C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23
D. 数据x1，x2， ，x20的平均数为2，方差为3，则数据3x1+5，3x2+5， ，3x20+5的平均数为11，方差为27
11.如图所示，为了测量A，B两岛的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（　　）
A. ∠CAD=45° B. A，D之间的距离为海里
C. B，D之间的距离为海里 D. A，B两岛间的距离为海里
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.学校书法类、公益类、音乐类兴趣小组的报名人数分别为150，105，120.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取25人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取 人.
13.衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为 .
14.设复数z满足|z-1|=1，则|z+2-i|（i为虚数单位）的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在某项1500m体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是p和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立.
（1）求p的值；
（2）求恰有一人通过体能测试的概率；
（3）求至少有一人通过体能测试的概率.
16.(本小题15分)
已知.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若∥，求实数k的值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a+2b=2ccosA．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，a+b=5，求边c的大小．
18.(本小题17分)
近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行.某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图：
已知成绩在[70，80）的频数是30，则：
（1）求图中a,b的值，并估计这100名学生成绩的平均数；
（2）根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数；
（3）学校拟从竞赛成绩在[70，80）和[80，90）两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率.
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A；
（2）若D为BC中点，的面积为，求AD的长度；
（3）若△ABC为锐角三角形，a=4，求△ABC的周长的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】10
13.【答案】．
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）因为，
所以，
所以，
又，
所以与的夹角为；
（2）；
（3）已知∥，
则存在实数λ使，
所以，
解得．
17.【答案】解：（1）由正弦定理得，sinA＋2sinB＝2sinCcosA，
则sinA＋2sin（A＋C）＝sinA＋2sinAcosC＋2cosAsinC＝2sinCcosA，
∴sinA＋2sinAcosC＝sinA（1＋2cosC）＝0，
在△ABC中，0＜A＜π，得sinA＞0，
∴1＋2cosC＝0，∴，
∵0＜C＜π，∴；
（2）△ABC的面积，∵，0＜C＜π，
∴，
，得ab＝4，
又因为a＋b＝5，所以a＝4，b＝1或者a＝1，b＝4，
由余弦定理得，
∴.

18.【答案】a=0.030，b=0.020，平均数为73 87.5
19.【答案】
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