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2025-2026学年广东省广州市天河区华南师范大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足i z=1+i,则|z|=（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
2.已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（　　）
A. B. 1 C. D. 2
3.若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（　　）
A. 9π B. 12π C. 16π D. 20π
4.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（　　）
A.
B.
C.
D. 2
5.已知向量，则x=（　　）
A. -6 B. -1 C. 1 D. 6
6.三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，，a≥c,则=（　　）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、AE的中点，则=（　　）
A. -1
B. 1
C.
D.
8.三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知，，点D满足，则|AD|的最小值为（　　）
A. B. 2 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=1+i,则下列结论正确的是（　　）
A. z2=2i B. C. D.
10.已知△ABC的内角A，B，C，下列说法正确的是（　　）
A. -sin（A+B）=sinC
B. A＞B是sinA＞sinB的充要条件
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
D. 若A，B为钝角△ABC的两个锐角，则sinA＜cosB
11.定义一种向量运算“ ”：，其中是任意的两个非零向量，θ是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若λ∈R，λ≠0，则
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，2+i是关于x的方程x2+ax+b=0（其中a,b∈R）的一个根，则a+b= .
13.已知点G是△ABC的重心，点M，N满足，若M，N，G三点共线，则λ= .
14.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，若AB=3，，，，则AD= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径是6cm,圆柱筒的高是2cm.
（1）这种“浮球”的体积是多少cm3？
（2）这种“浮球”的表面积是多少cm2？
16.(本小题15分)
已知，.
（1）若，且，求λ，μ的值；
（2）若，且，求的坐标.
17.(本小题15分)
某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本.如图1，测量重兴塔高度AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得cos∠BCD=-，C，D两地相距36米.
（1）求重兴塔高AB；
（2）如图2，塔顶为点A，距离塔顶A点竖直向下5米处有点E，若在离地面竖直高度为2米的点F处用测角仪器测得∠AFE=θ，求tanθ的最大值.
18.(本小题17分)
如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE为半径作半圆，B为半圆上除去直径端点的一点，连接BC，BD.
（1）若AD=2，以BD为边作正三角形BFD（点F在直线BD的上方），当四边形ABFD面积为时，求cos∠BAC；
（2）在△ABC中，记∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，满足（a2-b2） sin∠BAC=2S.
①求证：∠BAC=2∠ABC；
②求的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x|x-a|，其中a为常数.
（1）若f（x）为定义在R上的奇函数，求a的值；
（2）若a＞0，求f（x）在[0，4]上的最大值；
（3）若在[0，4]上存在2026个不同的实数xi（i=1，2，…，2026），0=x1＜x2＜…＜x2026=4，使得|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x2025）-f（x2026）|=10，求实数a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】2．
15.【答案】该“浮球“的体积是V=54π（cm）3 该“浮球“的表面积为S=48π（cm）2
16.【答案】， （6，3）或（-6，-3）
17.【答案】27米；

18.【答案】；
①证明过程见详解；
②4．
19.【答案】a=0
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