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2025-2026学年吉林省长春市九台一中、农安实验中学等校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数的共轭复数为（　　）
A. -2-4i B. -2+4i C. 2+4i D. 2-4i
2.若向量=（-3，1），=（1，-2），则在上的投影向量为（　　）
A. （-1，2） B. （1，-2） C. D.
3.如图，用斜二测画法画出的水平放置△ABC的直观图为△A′B′C′，且B′C′=3，∠A′B′C′=，则AB=（　　）
A. 8
B. 4
C. 6
D. 3
4.三棱柱ABC-A1B1C1的9条棱所在的直线中，与直线AA1是异面直线的直线条数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.某游艇从A地出发向北航行了一段距离到达B地，然后从B地向东偏南60°方向航行了40km到达C地，且C地在A地北偏东20°方向上，则A地与C地之间的距离为（取sin20°=）（　　）
A. 30km B. 50km C. 60km D. 80km
6.已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
7.从长度为2，4，5，7的4条线段中选出3条线段首尾相连构成三角形，则该三角形的形状为（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定的
8.若向量，满足||=2||，|+2|=，|2-|=，则与夹角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知点P，直线l,n,平面α，β，γ，则下列结论正确的是（　　）
A. 经过P和l,有且只有一个平面
B. 若P∈α，P∈β，α∩β=l,则P∈l
C. 若α∥β，α∩γ=l,β∩γ=n,则l∥n
D. 若l∥α，则l平行于α内的任意一条直线
10.已知点A（1，0），B（-1，2），向量，且△ABC是直角三角形，则t的值可能为（　　）
A. -1 B. 1 C. 3 D. 5
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且A=2B+2C，2b=3c,D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（　　）
A.
B. △ABC的周长为
C. 若AD为△ABC的中线，则
D. 若AD为△ABC的角平分线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.|2+i11|= .
13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,A=50°，b=3，a=5，则△ABC解的个数为 .
14.在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=4，M是侧棱PA上最靠近A的四等分点，一只蚂蚁从M出发沿该正四棱锥的表面爬行到C，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为d,则d= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b=，B=.
（1）求△ABC外接圆的面积；
（2）若a=2，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
已知复数z1=m2-m-2i,z2=2-|m|i,m∈R.
（1）若z1-z2为实数，求m的值；
（2）若z1-z2为纯虚数，求z1-z2；
（3）证明：z1+z2在复平面内对应的点位于第四象限.
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，CD，BB1的中点.
（1）证明：A1，B，E，F四点共面.
（2）若P是线段CG上的动点，证明：PD1∥平面A1BFE.
18.(本小题17分)
如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点.
（1）用表示，.
（2）求.
（3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且bsinA=2sinB.
（1）求a.
（2）已知sinB+sinC-sinA=sinBsinC.
（i）证明：.
（ii）求bc的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】BD
11.【答案】ABD
12.【答案】．
13.【答案】1．
14.【答案】．
15.【答案】13π
16.【答案】m=±2 - i 证明：，
因为，-|m|-2＜0，
所以z1+z2在复平面内对应的点（m2-m+2，-|m|-2）位于第四象限
17.【答案】连接D1C，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1=BC，
所以四边形A1D1CB为平行四边形，
所以A1B∥D1C，
因为E、F分别是DD1、CD的中点，所以EF∥D1C，
所以EF∥A1B．
又两条平行线确定一个平面，
所以A1，B，E、F四点共面 取AA1中点H，连接DH，GH，
正方体ABCD-A1B1C1D1中，G、H为中点，
则GH∥AB∥DC，GH=AB=DC，
所以四边形HGCD为平行四边形，所以GC∥HD，
正方形ADD1A1中，AA1∥DD1，AA1=DD1，
又E、H为中点，所以A1H=ED，A1H∥ED，
所以四边形A1EDH为平行四边形，所以A1E∥HD，
所以A1E∥GC．
又A1E 平面A1BFE，GC 平面A1BFE，
所以GC∥平面A1BFE．
由（1）知，A1B∥D1C，同理可得D1C∥平面A1BFE．
又D1C∩GC=C，D1C，GC 平面D1CG，
所以平面D1CG∥平面A1BFE．
又PD1 平面D1CG，
所以PD1∥平面A1BFE
18.【答案】 是，
19.【答案】a=2 （i）因为△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
所以sinB+sinC-sinA=sinB+sinC-sin（B+C）=sinB+sinC-sinBcosC-cosBsinC=sin B（1-cos C）+sinC（1-cos B），
结合题意sinB+sinC-sinA=sinBsinC，可得sin B（1-cos C）+sinC（1-cos B）=sin BsinC，
所以，即，化简得；（ii）
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