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2026年初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题.(每小题3分，共30分)
1. 下列实数中，无理数是( )
A.3.141 B. C. D.
2. 鲁班锁作为一种传统的、具有中国文化特色的玩具，其设计原理源于中国古代建筑中的榫卯结构.如图是鲁班锁的其中一个部件，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A.a3＋a2＝a5 B.a3 a2＝a5 C.(a3)2＝a9 D.a8÷a2＝a4
4. 某种近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，其图象如图所示.已知某同学佩戴该种眼镜镜片的焦距为0.2米，经过矫正治疗后眼镜镜片的焦距调整到0.5米，则该同学佩戴该种近视眼镜的度数减少了( )
A.500度 B.300度 C.200度 D.100度
5. 已知方程x2－3x＋k＝0的一个根是另一个根的2倍，则k的值是( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
6. 将含45 角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上.若m∥n，∠1＝30 ，则∠2的度数为( )
A.30 B.45 C.60 D.75
7. 下列事件中，属于随机事件的是( )
A.在一个仅装有白球的袋中，摸出一个黑球 B.掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7
C.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D.在一个标准大气压下，水加热至沸腾时温度为100℃
8. 如图，⊙O的直径AB平分弦CD.若∠D＝35 ，则∠C的度数为( )
A.35 B.45 C.50 D.55
9. 下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.⑴如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；⑵作射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；以点为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点；⑶过点作射线，则∠＝∠AOB.上述方法的作图原理是( )
A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
10.如图，E为正方形ABCD内一点，∠CEB＝90 ，CE＝3，CB＝5，将△CBE绕点C按顺时针方向旋转90 ，得到△CDF，延长BE交DF于点H，连接DE.则DE的长为( )
A. B. C.4 D.
二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11.若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
12.对于反比例函数y＝(k≠0)，在每一象限内，y随x增大而增大，任意写一个满足条件的k的值______.
13.方程＋＝0的解为　 　.
14.二十四节气起源于我国黄河流域，是前人世代农耕劳作智慧的结晶，是我国传统文化在历法中的体现.小明购买了“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四张以二十四节气为主题的书签，从中随机抽取两张，恰好抽到的是“立春”“立秋”的概率为_________.
15.为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2).如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点.请回答下列问题：⑴m＝___________；⑵当AQ＝16 km时，则PQ的长度为_______km.
三、解答题(共75分)
16.(6分)计算：(－1)2026＋|－1|－＋9÷(－3).
17.(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，使AE＝BD，
连接CE，DE.
求证：四边形ADCE是矩形.
18.(6分)小刚所在的数学兴趣小组选择以“测量某河段的宽度”为活动项目，制定了多种测量方案.其中一个方案是：如图所示，将无人机悬停在点C处，测得河岸边点A处的俯角α为45 ，测得与点A正对岸的岸边点B的俯角β为56.3 ，此时无人机到河面的高度是85 m，求河宽AB.(结果保留整数.参考数据：sin56.3 ≈0.83，cos56.3 ≈0.55，tan56.3 ≈1.5)
19.(8分)某校八年级学生在开展综合与实践活动时，为研究不同种植条件对玉米生长的影响，分别从试验田和对照田中各随机选取40株玉米测量其株高.
【数据整理】根据收集到的数据，将玉米株高h(单位：cm)分为A(40≤h＜44)，
B(44≤h＜48)，C(48≤h＜52)，D(52≤h＜56)，E(56≤h≤60)五组，制成如下频数分布表.
组别类型 A B C D E
试验田玉米株频 4 8 15 11 2
对照田玉米株频 7 5 6 14 8
【数据描述】根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图.
⑴ 补全试验田频数直方图，扇形图中对照田D组圆心角的度数为_________；
⑵ 已知玉米株高h满足48≤h＜56为长势良好.比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息.(写出一条信息即可)
【数据分析】对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
⑶ 根据⑵中“长势良好”的标准及以上信息，评估试验田的玉米生长情况.
⑷ 若有一株玉米的高度为51 cm，属于该类型田块的中上游高度，请你判断该株玉米出自试验田还是对照田，并说明理由.
20.(8分)我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例.下面是某学习小组开展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请阅读并解决问题.
主题 探寻“杨辉三角”的奥秘
活动一 初识 “杨辉三角” 如图，是“杨辉三角”数阵，请观察数阵： … ⑴ 第六行中a＝________，b＝________；
活动二 初探 “杨辉三角” 此数阵中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的各项的系数，等等.利用上面的数阵，解答下列问题： ⑵ 写出(a＋b)4的展开式的第三项为________； ⑶ 某小组发现图中第n行的数字之和是2n－1，根据这个结论，小颖同学在计算 (a＋b)n－1的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则n＝________；
活动三 再探 “杨辉三角” ⑷ 小明所在的小组发现：第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m(即每一行的第三位数)与所在横行n(n≥3，n为正整数)具有二次函数关系m＝.小明提出以下问题，请解答： ①请验证当n＝5时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致，并说明理由； ②若展开式第三项的系数为190，则n＝________.
21.(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.底BC交⊙O于点E，F.
⑴ 求证：AC是⊙O的切线；
⑵ 若BD＝，BE＝1，求图中阴影部分的面积.
22.(10分)习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来.”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表：
类别 A类 B类
进货价(元/本) 25 16
销售价(元/本) 35 24
⑴ 第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？
⑵ 第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本(图书的进货价不变)，但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
⑶ 在⑵中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出0.2a元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值.
23.(11分)在□ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点.
⑴ 如图1，四边形ABCD是正方形，当CE＝CF时. 求证：BE＝DF，BE⊥DF.
⑵ 如图2，四边形ABCD是矩形，当AB＝3，AD＝4，CE＝2DE时，将△BED沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F.求DG的长.
⑶ 如图3，∠A＝120 ，AB＝3，AD＝4，CE＝2DE，连接DF交BE延长线于点G.当∠DGB＝120 时.
①求BE的长；
②求FG的长.
24.(12分)直线l：y＝x＋m与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝－x2＋mx的顶点为P，且与x轴交点为O，C.
⑴ 如图，若m＞0，
①当点P在直线AB上时，求m的值；
②若抛物线在0≤x≤1的范围内，至少存在一个x的值，使y＞1，求m的取值范围.
⑵ 过P作PH⊥AB于H，令S＝PH.
①求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②分别求出当CP∥AB与CP⊥AB时m的值(直接写出结果).
2026年初中学业水平模拟考试
参考答案及评分标准
评分说明：
1.若有与参考答案不同的解法而解答过程正确者，参照评分标准分步给分；
2.学生在答题过程中省略某些非关键性步骤，不扣分；学生在答题过程中省略了关键性步骤，后面解答正确者，只扣省略关键性步骤分，不影响后面得分．
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B C D C D A B
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11. x≥3（即可） 12.　－1（答案不唯一，小于0即可) 13. x＝－1
14. 15. 13，3 （填对一个空得2分）
三、解答题(本大题共9个小题，共72分)
16. 解：.
＝1＋－1＋2－3，…………………………………………4分(每化简对一处得1分)
＝－1. ………………………………………………………………………………6分
17. 解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC，…………………………………………………………………2分
∵AE∥BC，AE＝BD，
∴AE∥DC，AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形.…………………………………………………………4分
又AD⊥BC，
∴∠ADC＝45°，
∴四边形ADCE是矩形. ……………………………………………………………………6分
18. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
由题意，得∠A＝α＝45°，∠B＝β＝56.3°，DC＝85，…………………………………2分
在Rt△ACD中，tanA＝＝1，
∴AD＝CD＝85，…………………………………………3分
在Rt△BCD中，tanB＝≈1.5．
∴BD＝CD÷tanB＝85÷tan56.3°≈56.7，…………………………………………………5分
∴AB＝AD＋BD≈142．
答：河宽AB约为142m．……………………………6分
19. 解：（1）补全直方图（如图），126°；
……………………………2分(对一处得1分)
（2）试验田中长势良好的玉米株数为15＋11＝26，
占比；
对照田中长势良好的玉米株数占比为35%＋15%＝50%；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田；
………………………………4分（答案不唯一，合理即可）
（3）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．综合以上信息，试验田长势好于对照田．……………………………………………………………………6分
（4）该珠玉米出自试验田．该株玉米高度为51 cm大于试验田的株高中位数49.5 cm，说明该珠玉米高度在试验田处于的中上游高度．…………………………………………………8分
20. 解：（1）10，5；………………………………………………………………2分(对一空得1分)
（2）6a2b2；…………………………………………………………………………………3分
（3）7；……………………………………………………………………………………5分
（4）解：①一致，验证如下：
根据题意得：m是第五行第三个数，即10，
当n＝5时，，
∴函数m的值与“杨辉三角形”中的值一致；………………………………………7分
②21．………………………………………………………………………………………8分
21. （1）解：连接OD，OA，过点O作OG⊥AC于点F，……………………………………1分
∵AB＝AC，O是底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC，……………………………2分
∵腰AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，……………………………3分
又∵OG⊥AC，
∴OD＝OG，即OG为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；……………………………………………………………………4分
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，
∴，
在中，由勾股定理，得，即，
解得r=1；……………………………………………………………………………………5分
又OD＝1，OB＝1＋1=2，
∴，
∴∠B＝30 ，…………………………………………………………………………………6分
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30 ，
∴∠CAB＝120 ，
∴∠DAO＝∠GAO＝60 ，
∴∠AOD＝∠GOF＝90 －60 ＝30 ，
∴∠DOG＝60 ，………………………………………………………………………………7分
在Rt△AOD中，，
∴
．……………………………………………………………………………………8分
22. （1）解：设电商平台购进A种图书m件，则购进B种图书n件，
根据题意得 …………………………………………………………3分
解得，
∴电商平台购进A种图书40件，B种图书60件；…………………………………4分
（2）解：设电商平台购进A种图书x件，获得的利润为w元，
根据题意得，解得x≤45，……………………………………………5分
，………………………………………6分
∵k＝2>0；
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝45时，w有最大值，最大值为2×45＋1440＝1530，
此时B种图书有：180－45＝135(件)，
答：当电商平台购进A种图书45件，B种图书145件时，获得的利润最大，最大利润为1530元．………………………………………………………………………7分
（3）解：由题意得，，………………………9分
解得a≤5，
∴a的最大值为5．……………………………………………………………………10分
23. （1）证明：延长BE交DF于点H．…………………………1分
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，………………………2分
∵，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴，，………………………………………………………………3分
∵，，
∴，
∴BE⊥DF；………………………………………………………………………………………4分
（2）解：延长BE交DF于点H．…………………………………………………………………5分
∵矩形ABCD中，，，，
∴，，，，
在Rt△BCE中，
，………………………6分
∵△BED沿BE折叠得△BEG，
∴垂直平分，即，，
∴，
∵，
∴△BCE∽△DHE，……………………………………………………………………………7分
∴，，
∴，
∴，
∴．…………………………………………………………………………8分
（3）解：①由（2）得，，．
当∠DGB＝120 ，则∠BGF＝60 ，
过点E作交BC延长线于P．………………………9分
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝120 ，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴在Rt△CEP中，
，，
∴，
∴．…………………………………………………10分
②延长BG交AD延长线于N．
∵∠BCD＝∠DGE＝120 ，∠BEC＝∠DEG，
∴△BCE∽△DGE，
∴，
∴ ，
∴，，
∴，
∵，
∴△NDE∽△BCE，
∴
，，
∴，
∵AD∥BC，
∴△NDG∽△BFG，
∴，
∴，
∴．………………………………………………………………………………11分
24. （1） 解： 由
∴，坐标代入得，
，
解之，．……………………………3分
②在0≤x≤1范围内，根据二次函数图像和性质，
当时，即，…………………………4分
y在顶点P最高，而，所以不可能有；
………………………………………5分
当时，即，
y在x＝1最大，而，所以至少存在一个，
综上所述，．…………………………………7分
（2）如图，
由直线与对称轴DE的图像可分析得出，
∠DAE＝∠ADE＝45 ，
在Rt△PHD中，，……………………8分
由，
∴，
结合图像分析可得，
．………………………………10分（每写对一个得1分）
②当时，,
解得：；………………………………………………………………………………11分
当CP∥AB，时，，
解得：.………………………………………………………………………………12分

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