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2025-2026学年广东省肇庆中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-3的绝对值是（　　）
A. 3 B. C. D. -3
2.下列四个汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
5.五台山景区空气清爽，景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算，总收入为20160000元，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入20160000元用科学记数法表示为（　　）
A. 2.016×108元
B. 0.2016×107元
C. 2.016×107元
D. 2016×104元
6.在函数y=-中，自变量x的取值范围是（　　）
A. x＞-1 B. x≥-1 C. x＞-1且x≠2 D. x≥-1且x≠2
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（　　）
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
8.一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为（　　）
A. （x-2）2=5 B. （x+2）2=3 C. （x+2）2=5 D. （x-2）2=3
9.草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径AB为8cm,高CO为3cm,则该模型的侧面积为（　　）
A. 16πcm2 B. 20πcm2 C. 24πcm2 D. 25πcm2
10.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S△ABM=4S△FDM；②PN=；③tan∠EAF=；④△PMN∽△DPE，正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：2a2-8= ．
12.计算：= .
13.把函数y=2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象与y轴的交点坐标是 .
14.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若DE=1，则BC的长为 ．
15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0），其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④3a+c＞0；其中正确的结论有 个.
16.如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知，BC=2，当CE+DE的值最小时，则的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解不等式组：.
18.(本小题7分)
如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，延长AB交直线l于点C.
（1）尺规作图：过点A作：AE⊥l于点E；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法）
（2）在（1）的条件下，求证：AD平分∠CAE.
19.(本小题6分)
如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高y是小孔到蜡烛的距离x的反比例函数，且当x=10时，y=4.
（1）求y关于x的函数解析式.
（2）若火焰的像高为5cm,求小孔到蜡烛的距离.
20.(本小题9分)
中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西举行，太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分.各班按测评成绩从高分到低分顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图.
请解答下列问题：
（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分.请你分别判断小华，小丽能否被录用（只写判断结果，不必写理由）.
（2）请你从平均数对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价.
（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好.志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率.
21.(本小题9分)
扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）
22.(本小题9分)
某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°
A，B之间的距离 5.4m 5.6m
… …
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是______m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
23.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4时，求点P的坐标．
24.(本小题14分)
新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段.
问题探究：
（1）如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 ；
（2）如图2，在△ABC中，AB=8，，∠B=30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC=6，AD=3，求出它的等积垂分线段长.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】2（a+2）（a-2）
12.【答案】．
13.【答案】（0，-4）．
14.【答案】2+
15.【答案】2．
16.【答案】．
17.【答案】-2＜x≤-1．
18.【答案】作图如下：
证明：如图，连接OD，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA=∠EAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EAD，
∴AD平分∠CAE
19.【答案】 小孔到蜡烛的距离为8cm
20.【答案】甲班的小华不能被录用，乙班的小丽能被录用 见解析
21.【答案】解：（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年每千克的批发价为（x+1）元，
今年的批发销售总额为10（1+20%）=12万元，
∴，
整理得x2-19x-120=0，
解得x=24或x=-5（不合题意，舍去），
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元；
（2）设每千克的平均售价为m元，
由（1）知平均批发价为24元，
则有=-60m2+4200m-66240，
∵a=-60＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m=35元时，w取最大值，
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．
22.【答案】任务一：5.5
任务二：设EG=xm，
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°=，
∴DE=，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°=，CE=，
∵CD=CE-DE，
∴-=5.5，
∴x=13.2，
∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7米；
任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到．
23.【答案】解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），
∵点A（4，0），则点M（2，1）；
（2）∵⊙M与直线AD相切，则∠CAD=90°，
设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=α，
tan∠CAO===tanα，则sinα=，cosα=，
AC=，则CD==10，
则点D（0，-8），
将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：
直线AD的表达式为：y=2x-8；
（3）抛物线的表达式为：y=a（x-2）2+1，
将点B坐标代入上式并解得：a=，
故抛物线的表达式为：y=x2-3x+4，
过点P作PH⊥EF，则EH=EF=2，
cos∠PEH=，
解得：PE=5，
设点P（x，x2-3x+4），则点E（x，2x-8），
则PE=x2-3x+4-2x+8=5，
解得x=或2，
则点P（，）或（2，1）．
24.【答案】解：（1）;
（2）作AH⊥BC于H，线段EF是垂直于BC边的等积垂分线，设EF=x,
在Rt△ABH中，
∵∠AHB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍），
∴BC边的等积垂分线段的长度为．
（3）①当线段EF是等积垂分线段时，作FG⊥BH于G，
设EF交BD于H．设DE=x,
在Rt△ABD中，
∵∠A=90°，AD=3，AB=6，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，
∴EH=2x,，
∴，
∵∠A=∠C=90°，
∴在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴∠ABD=∠CBD，
∵EF⊥AD,AB⊥AD,
∴EF∥AB,
∴∠DHE=∠ABD,
∵∠FHB=∠DHE，
∴∠FHB=∠FHB，
∴FH=FB，
∵FG⊥BH，
∴，
∵△FGB∽△DAB，
∴,
即，
∴，，
∴．
∵四边形EFCD的面积=四边形EFBA的面积，△ABD的面积=△BDC的面积，
∴△DEH的面积=△BHF的面积，
∴，
解得：（负根已舍），
∴．
②作EG⊥BD于G，EF交BD于H，当线段EF是等积垂分线段时，设FH=y,
∴BF=2y,．
∵EF∥AD，
∴∠ADH=∠EHD，
∵∠ADB=∠BDC，
∴∠EDH=∠EHD，
∴ED=EH，
∵EG⊥DH，
∴，
∵，
∴，，
∴．
由△DEH的面积=△BHF的面积，
∴，
解得（负根已舍），
∴．
综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为．
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