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2025-2026学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（　　）
A. x＞1 B. x≤3 C. -1≤x＜3 D. -1＜x≤3
3.下列各式从左到右是因式分解的是（　　）
A. 2a2-8=2（a2-4） B. a2+2a+1=a（a+1）+1
C. （a+1）（a-3）=a2-2a-3 D. 2a2-6ab=2a（a-3b）
4.正十二边形的每一个外角为（　　）
A. 30° B. 72° C. 108° D. 150°
5.如图，△ABC中，∠A=40°，AB=AC，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△A′C′B，点A，C的对应点分别为A′，C′，点C′恰好落在边AC上，则∠ABC′=（　　）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
6.如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，作AB的垂直平分线，交AB，BC于D，E两点，BE=2，则AC的长度为（　　）
A. B. C. 2 D.
7.如图，直线与直线l2：y=ax+b相交于点A（m,4），则关于x的不等式的解集是（　　）
A. x≥4
B. x≤4
C.
D.
8.琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（　　）
用平方差公式分解下列各式：
①x2-9；②-x2-16；③-x2+25；④4m2-25n2.
A. ①题 B. ②题 C. ③题 D. ④题
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P.连接AP并延长交BC于点D.若CD=2，则△ABD的面积为（　　）
A. B. C. 2 D.
10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为（　　）
A. 8
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：2a2-32= .
12.若分式有意义，则x的取值范围是______．
13.如图，在△ABC中，∠ABC=65°，AC沿AB方向平移得到DE，AD=BC，连接BE，CE.则∠CBE的度数为 .
14.若不等式组的解集为m＜x≤n,则2m+n= .
15.在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
①；②；③∠E=∠A；④∠E+∠DCF=90°+∠ABD.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解不等式组与化简
（1）
（2）
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为：A（1，2）、B（3，4）、C（4，1）.
（1）画出△ABC先向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标.
18.(本小题8分)
如图：在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E、F分别为CD、AD上的点，且CE=AF.
（1）求证：△ABF≌△CAE.
（2）若∠AED=62°，求∠DBF的度数.
19.(本小题8分)
一次函数y1=x与y2=-x+6的图象如图所示.
（1）点C的坐标为______；
（2）当______时，y1＞y2＞0；
（3）若点D在直线OC上，且满足，求点D的坐标.
20.(本小题8分)
近年来，为了加大消费扶贫力度，通过全省上下联动，助力销售农产品.某食品公司推出A，B两款援疆坚果礼盒，其中2盒A和3盒B共需580元，3盒A和2盒B共需545元.
（1）求A，B两款坚果礼盒的单价；
（2）某公司计划购买A，B两款坚果共100盒，且B款不超过A款的，求该公司最多需花费多少元.
21.(本小题10分)
材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a,b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.
例如：因为13=32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2=（a+b）2+b2（a,b是整数），所以a2+2ab+2b2是“完美数”.
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______.
（2）试判断（x+3y）（x+5y）+2y2（x,y是整数）是否为“完美数”，并说明理由.
（3）已知M=x2+4y2-6x+12y+k（x,y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由.
22.(本小题12分)
如图（1），在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A顺时针方向旋转，得到△ADE，点B的对应点是点D，点C的对应点是点E，直线D且与BC边所在的直线相交于点M.
（1）判断线段ME与MC的数量关系，并证明你的结论.
（2）如图（2），作点B关于点A的对称点P，当直线DE经过点P（点P不与点D重合）时，求线段MC的长.
（3）在旋转过程中，当DE∥AB时，请直接写出线段MC的长.
23.(本小题13分)
如图（1），平面直角坐标系中，△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，∠OAB=∠OCD=90°，点A（2，0），OD=2OB，将线段CD平移到线段BE的位置，连接AE，AC.
（1）请直接写出点E的坐标和线段AE的长.
（2）将△OCD绕点O逆时针方向旋转至如图（2）的位置，连接DE.
①判断线段AC和AE的数量关系和位置关系，并证明你的结论.
②当旋转角为30°时，求线段DE2的长.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】2（a+4）（a-4）
12.【答案】x≠±1
13.【答案】57.5°．
14.【答案】2．
15.【答案】①②④
16.【答案】-1≤x＜1
17.【答案】
18.【答案】∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，∠ACB=∠ABC=45°，∠BAC=90°，
∴∠BAD=45°=∠ACB，
∵CE=AF，AB=AC，
∴△ABF≌△CAE（SAS） 28°
19.【答案】（3，3），3＜x＜6；
点D的坐标为或
20.【答案】A款坚果礼盒的单价是95元/盒，B款坚果礼盒的单价是130元/盒 该公司最多需花费10900元
21.【答案】解：（1）2（答案不唯一）；
（2）（x+3y）（x+5y）+2y2是“完美数”，理由如下：
（x+3y）（x+5y）+2y2
=x2+8xy+17y2
=x2+8xy+16y2+y2
=（x+4y）2+y2，（x,y是整数）
所以（x+3y）（x+5y）+2y2是“完美数”．
（3）M=x2+4y2-6x+12y+k
=（x2-6x+9）+（4y2+12y+9）+k-18
=（x-3）2+（2y+3）2+k-18，
因为M为“完美数”，
所以k-18=0，
所以k=18．
22.【答案】ME=MC，
连接EC，如图，
根据旋转的性质有：AE=AC，∠AED=∠ACB=90°，
即有：∠AED=∠ACM=90°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
∴∠AED-∠AEC=∠ACM-∠ACE，
即有∠CED=∠ECM，
∴ME=MC；
；
2或18
23.【答案】（6，2），；
①AC⊥AE，AC=AE；
证明：如图1，CD与y轴交于点G，延长EB交y轴于点J，交x轴于点H，
由平移的性质得：CD=BE，CD∥BE，即OC=CD=BE，
∵CD∥BE，
∴∠CGO=∠HJO，
∵∠OAB=∠HOG=90°，
∴AB∥OG，
∴∠ABH=∠HJO，
∴∠ABH=∠CGO，
∵∠COG+∠CGO=90°，∠COG+∠COH=90°，
∴∠CGO=∠COH，
∴∠ABH=∠COH，
∵∠AOC=180°-∠COH，∠ABE=180°-∠ABH，
∴∠AOC=∠ABE，
在△AOC和△ABE中，
，
∴△AOC≌△ABE（SAS），
∴AC=AE，∠OAC=∠BAE，
∵∠OAC+∠CAB=90°，
∴∠BAE+∠CAB=90°，
∴∠EAC=90°，即AC⊥AE；
②
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