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2025-2026学年山东省济南市长清区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国传统纹样作为华夏文明的重要组成部分，是民族历史与祥瑞文化脉络赓续传承的生动体现.下列纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.在数轴上表示不等式x+2≤0的解集正确的是（　　）
A. B.
C. D.
3.若a＜b,则下列不等式变形正确的是（　　）
A. a+1＜b-1 B. -a＜-b C. -1+a＜-1+b D.
4.下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. x（x-1）=x2-x B. x2-y2=（x-y）2
C. x2+3x+3=x（x+3）+3 D. x2-2x+1=（x-1）2
5.已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=（　　）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
6.2025年U20亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行24场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，其中一支队伍在前20场比赛中，负2场，积分超过了48分，设该球队胜了x场，则下列不等关系正确的是（　　）
A. 3x+（20-x）＞48 B. 3x+（18-x）＞48
C. 3x+（20-x）≥48 D. 3x+（18-x）≥48
7.若将多项式x2+mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m的值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△AB′C′.当点B，C，B′在同一直线上，∠BAC=85°，则∠C′=（　　）
A. 80°
B. 75°
C. 60°
D. 70°
9.如图，直线l1：y=x+n与直线l2：y=kx+m交于点P，下列结论错误的是（　　）
A. k＜0，m＞0
B. 关于x的方程x+n=kx+m的解为x=3
C. 关于x的不等式（k-1）x＜n-m的解集为x＜3
D. 直线l1上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜x2时，则y1＜y2
10.如图，Rt△OAB中的OB与x轴重合，∠OBA=90°，AB=OB=2，将△OAB绕原点O顺时针旋转45°后得到△OA1B1，将△OA1B1绕原点O顺时针旋转45°得到△OA2B2…，如此继续下去，连续旋转2026次得到△OA2026B2026，则点B2026的坐标是（　　）
A. （0，-2）
B. （0，2）
C. （-2，2）
D. （1，-1）
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.因式分解：x2-2x= .
12.将“y与3的和不小于0”用不等式表示为 .
13.如图，△ABC的边长AB=4cm,BC=6cm,AC=3cm,将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜6cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为______cm.
14.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+2y＞14，则k的取值范围为 .
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=6，点P是在△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP'B'.若点C，P，P'，B'恰好在同一直线上，则PA+PB+PC= .
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.解不等式组：，并写出它的所有整数解.
四、解答题：本题共9小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
因式分解：
（1）x2-9；
（2）2m3n-12m2n+18mn.
18.(本小题7分)
如图，在△AMB中，∠AMB=90°，AM=4，BM=3，将△AMB以点B为旋转中心顺时针旋转90°，得到△CNB.连接AC，求AC的长.
19.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标______；
（3）若将△ABC平移得△DEF，使得点A与D对应，点B与E对应，点C与F对应，其中点D的坐标为（2，-3），则平移的距离为______.
20.(本小题8分)
对于任意实数a,b,定义一种新运算：a※b=2a+b-1.
例如：3※4=2×3+4-1=9.
（1）（-2）※3=______，3※（-2）=______；
（2）若（2x+3）※7的结果小于2，请根据上述定义列不等式求出x的取值范围.
21.(本小题9分)
我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等.
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法；
例如：x2+2xy+y2-4=（x2+2xy+y2）-4=（x+y）2-22=（x+y+2）（x+y-2）.
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如：x2-2x-8=x2-2x+1-9=（x-1）2-32=（x-1-3）（x-1+3）=（x-4）（x+2）.
（1）仿照以上方法，按照要求因式分解：
①分组分解法：x2+6x+9-y2=（______）2-y2=______；
②拆项法（写出计算过程）：x2-8x+12.
（2）应用：若a2+b2+c2-6a=10b+8c-50，求a、b、c的值.
22.(本小题10分)
为落实《长清区创建全国县域义务教育优质均衡发展区实施方案（2022-2026年）》要求，保障校园体育场地设施与器材设备达标，长清区某中学计划补充采购足球和篮球，用于课后延时服务、班级联赛及校级体育课程创新教学等.经对接长清区教育装备定点供应商询价得知：已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元.
（1）求每个足球和每个篮球的售价；
（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？
23.(本小题10分)
在北师版八下数学124页12题中我们探究过一个图形可通过两种不同的方法来计算它的面积或体积，从而得到一个数学等式.在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式.这种方法称为等面积法.类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法.
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示.然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示.将之分成三部分，如图（3）所示.这三部分长方体的体积依次为：b2（a-b）、ab（a-b）、a2（a-b）.
（1）将图（3）中三块长方体的体积和进行因式分解：
a2（a-b）+ab（a-b）+b2（a-b）=______.
（2）根据图（1）写出该立体图形的体积为：______，结合图（1）和图（3）思考：类比平方差公式，利用等体积法我们能得到等式：______（写成因式分解的形式）.
（3）利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3-8.
（4）应用：若已知2a-3b=3，ab=1，则8a4b-27ab4的值.
24.(本小题12分)
如图，在直角坐标系中，直线l1：与x轴交于点A，与直线l2：交于，直线l2分别与x轴、y轴交于C、D，连接AD.
（1）求出m、n的值；
（2）直接根据图象写出关于x的不等式的解集；
（3）将直线l1沿y轴向上平移后与直线l2交于点E，若△ADE的面积为6，求平移后的直线表达式.
25.(本小题12分)
如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE.
（1）如图1，线段BD与CE的数量关系是______，∠ABD和∠ACE的数量关系是______；
（2）如图2，若∠BAC=∠DAE=90°，且点D恰好落在线段BC的延长线上时，第一问的两个结论是否依然成立，请说明理由；
（3）如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点M（4，0），点N是y轴上一个动点，连接MN，在MN下作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，连接OP，请直接写出线段OP的最小值及此时ON的长度.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】x（x-2）．
12.【答案】y+3≥0．
13.【答案】13
14.【答案】k＜-2
15.【答案】3
16.【答案】解：解不等式①，得x＞-1，
解不等式②，得x＜3，
在数轴上表示不等式①②的解集如下：

∴原不等式组的解集是-1＜x＜3，
∴它的所有整数解有：0，1，2．
17.【答案】（x+3）（x-3） 2 mn（m-3）2
18.【答案】．
19.【答案】如下图所示：△A1B1C1即为所求； （2，-4）
20.【答案】-2;3 x＜-2.5
21.【答案】x+3;（x+y+3）（x-y+3） a=3，b=5，c=4
22.【答案】每个足球50元，每个篮球80元 最多可买43个篮球
23.【答案】（a-b）（a2+ab+b2） a3-b3;a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2） （x-2）（x2+2x+4） 81
24.【答案】m=3，n= x 平移后的直线表达式为y=x+
25.【答案】BD=CE;∠ABD=∠ACE 成立．
理由：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE ON=4，OP最小值为4
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