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2025-2026学年上海市徐汇区西南模范中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列判断错误的是（　　）
A. 等腰三角形是轴对称图形
B. 有两条边相等的三角形是等腰三角形
C. 等腰三角形的两个底角相等
D. 等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
2.如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，E为线段BC上一点，连接AE，DE.已知BC=15，AB=6，∠AED=90°，AE=DE，则BE的长为（　　）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 6
3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=5，CF=3，则BD的长是（　　）
A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 1.5
4.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，其中AE=AF，GE=GF，若∠BAC=136°，则∠BAD的度数是（　　）
A. 58° B. 53° C. 68° D. 63°
5.用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）
A. B. C. D.
6.某种植物适宜生长温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55℃，现测得山脚下的气温为22℃，问该植物种在山上的哪一部分为宜？如果设该植物种植在海拔高度为x米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为（　　）
A. 18≤22-×0.55≤20 B. 18≤22-≤20
C. 18≤22-0.55x≤20 D. 18≤22-≤20
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
8.关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 .
9.“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是______．
10.若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足（a-5）2+（b-3）2=0，则第三边c的取值范围是 .
11.对于任意实数a,b,定义一种运算：a※b=ab-a+b.例如，2※5=2×5-2+5=13.请根据上述的定义解决问题：若有不等式3※x＜5，则这个不等式的正整数解是 .
12.如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，∠ACD=28°，则∠BCE=______°．
13.如图所示，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，那么∠1和∠2的关系是 .
14.如图，在△ABC中，点I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，AB=7，AC=5，BC=3，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC=8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于 .
16.如图，两个边长为9的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的对称中心，则图中阴影部分的面积为 .
17.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=18，点M，N在边OB上，PM=PN.若MN=5，则OM的长是 .
18.如图，有一张三角形纸片ABC，∠B=36°，∠A=96°，点D是边AB上的定点.在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与边AC平行时，∠BDE的度数为 .
三、解答题：本题共8小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
观察下面的三角形，并把它们的标号填在相应的圈内.
20.(本小题6分)
解下列各题：
（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
（2）先化简：，再从（1）中的解集中选取一个合适的x的整数值代入求值.
21.(本小题6分)
【实验发现】在平面内，分别用3根、5根、6根火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下.
火柴棒根数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
【回答问题】
（1）用4根火柴棒能搭成三角形吗？
（2）用12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图.
22.(本小题6分)
将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A.
（1）将图1中的△A1B1C1按顺时针方向旋转45°得图2，A1C与AB交于点P1，A1B1与BC交于点Q，求证：CP1=CQ；
（2）在图2中，若A1B1=24，AP1=15，求B1Q的长.
23.(本小题6分)
在六年级时，我们学习了圆的相关知识，知道在同圆中半径都相等.如图，半圆所对的直径为BC，点O是圆心，点A在半圆外，AB，AC分别与半圆交于点D，E，且BD=EC，求证：△ABC是等腰三角形.
24.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点B的对应点E恰好落在边AB上.
（1）根据题意，作△DEC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，判断AD与AB的位置关系，并说明理由.
25.(本小题6分)
【问题研究】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.过点D作△BCD的BC边上的高DE，从而得到△BCD的面积为.请你在图1中画出相应的辅助线，并说明结论的正确性.
【拓展应用】如图2，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=14.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求出△BCD的面积.
26.(本小题6分)
（1）操作实践：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并在图中标出分割成的两个等腰三角形底角的度数；
（2）深入探究：在△ABC中，最小内角∠B=28°.若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请直接写出△ABC最大内角的所有可能值；
（3）发现规律：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，在（2）中的探究中，你认为这样的三角形需具备什么特征？（请至少写出两个特征，不需证明）
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】80°
8.【答案】x≥3
9.【答案】两边上的中线相等的三角形是等腰三角形
10.【答案】2＜c＜8．
11.【答案】x=1．
12.【答案】28
13.【答案】∠1+∠2=90°．
14.【答案】7．
15.【答案】5．
16.【答案】．
17.【答案】．
18.【答案】120°．
19.【答案】
20.【答案】-2≤x＜， ，当x=-2时，原式==；当x=-1时，原式==
21.【答案】不能，理由如下：
因为是4根火柴棒，
所以三条线段长只能为1，1，2．
因为1+1=2，
所以用4根火柴棒不能搭成三角形 三种，示意图如下：

22.【答案】证明：由旋转的性质可得∠A=∠A1，AC=A1C1，∠B1CB=∠ACA1=45°，
∴∠BCA1=45°=∠ACA1，
∴△CQA1≌△CP1A（ASA），
∴CP1=CQ 9
23.【答案】∵BD=EC，OB=OC=OD=OE，
∴△OBD≌△OCE（SSS），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
24.【答案】见解答．
AD⊥AB，理由见解答．
25.【答案】【问题研究】证明：如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°．
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=a．
∵S△BCD=BC DE
∴S△BCD=a2；
【拓展应用】49．
26.【答案】方法一：如图，
方法二：如图，
114°或96°或90°或84° ①该三角形是直角三角形；②该三角形有一个角是最小角的2倍；③该三角形有一个角是其中一个角的3倍
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