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2025-2026学年重庆市长寿区川维中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列四组数中，不是直角三角形的是（　　）
A. 3，4，5 B. ，， C. 6，8，15 D. 5，12，13
3.如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，BE=3，则CE的长为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
4.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD=BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AB∥CD B. ∠DAO=∠BCO C. AD=AC D. ∠BAD=∠DCB
5.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5
6.下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（　　）
填空（每小题4分，共20分）
①的倒数是；
②的绝对值是；
③=-2；
④；
⑤面积为12的正方形的边长为.
A. 4分 B. 8分 C. 12分 D. 16分
7.已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.如图所示，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是（　　）
A. B. C. 1 D.
9.在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，E是CD边上一点，连接BE，把△BEC沿BE翻折，点C恰好落在AD边上的F处，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，则NF的长度为（　　）
A.
B.
C. 4
D.
10.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12.如图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB=BC=1，∠AOB=30°，则OC=______．
13.若x,y为实数，且，则= .
14.如图，若圆柱的底面周长是8cm,高是6cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是 .
15.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是 .
16.如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“增长数”.例如：四位数2358，∵23+35=58，∴2358是“增长数”；又如：四位数1645，16+64≠45，1645不是“增长数”，若一个“增长数”为，则m的值为 ；若一个“增长数”A的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去6a,结果能被5整除，则满足条件的A的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC.
（1）按要求尺规作图：作线段AC的垂直平分线l交AB于点M，交AC于点O，交CD于点N，连接CM，AN；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，求证：四边形AMCN是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①______，
∴∠MAO=∠OCN，
又∵AC的垂直平分线为直线l,
∴MA=MC，②______OA=OC，
在△AMO与△CNO中，
，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴④______，
∴MC=MA=CN=AN，
∴四边形AMCN是菱形.
19.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中x=-1．
20.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，ED，DF，FB.求证：四边形BFDE是平行四边形.
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
（1）求证：FA=BD；
（2）连接BF，若AB=AC，求证：四边形ADBF是矩形.
22.(本小题10分)
如图，老李家有一块长方形空地ABCD，长BC为，宽AB为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓.其中长方形水池的长为，宽为.
（1）求长方形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
23.(本小题10分)
阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：，.
（1）模仿材料中的计算方法，化简=______；=______；
（2）计算：；
（3）已知，求a2+ab+b2的值.
24.(本小题10分)
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示证明勾股定理.
（1）如图1，Rt△ABE≌Rt△DEC，∠A=∠D=90°，直角边分别为a,b,斜边为c,请根据图1证明勾股定理a2+b2=c2；
（2）如图2，AD⊥CD，AB=13，BC=12，AD=4，CD=3，求阴影部分的面积；
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，使CH⊥AB，现测得CA=1.3千米，AB=1.4千米，BC=1.5千米，求新修路CH的长.
25.(本小题10分)
已知，在 ABCD中，点E在AD边上，过点E作EF⊥CD于点F，点G在BC边上，H在AB边上，且△EGH是等边三角形，连接AG、FG.
（1）如图1，若EG∥AB，EH=2EF，FG=，求EF的长；
（2）如图2，若EG平分∠AEF，∠EGF=2∠GFC=2∠AGH，且FG⊥HG，求证：2AH+AE=BC.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x≥5
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】10cm．
15.【答案】b-2．
16.【答案】2
4156

17.【答案】 2
18.【答案】由题意，作图如下：
AB∥CD;AN=CN;AM=CN
19.【答案】解：原式=（-）÷
=
=，
当x=-1时，
原式===．
20.【答案】连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
21.【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，
又∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
又∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=BD；
（2）证明：∵AF=BD，AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形ADBF是矩形．
22.【答案】 1120元
23.【答案】; 2025 10
24.【答案】∵Rt△ABE≌Rt△DEC，
∴∠AEB=∠DCE，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，即∠BEC=90°，
∴，
，
∴，
∴a2+b2=c2 24 1.2
25.【答案】EF的长为1 过点G作GM∥AB交AD于点M，交EF于点N．
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
则∠FGM=∠GFC．
∵∠EGF=2∠GFC，
∴∠MGE =∠GFC=∠FGM．
又∵∠AGH=∠GFC，
∴∠MGE=∠AGH．
∵△EGH是等边三角形，
∴GE= GH，∠EGH=∠GEH=∠EHG= 60°．
由于FG⊥HG，
∴∠FGH=90°，
那么∠EGF=30°，
∴∠GFC= 15°．
∵EF⊥DC，
∴∠EFC=90°，则∠EFG=75°．
在△EFG中，∠FEG=180°-∠EGI+-∠EFG=180°-30°-75°=75°，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE= GF，△GEF是等腰三角形．
∵GM∥DC，EF⊥DC，
∴GM⊥EF，根据等腰三角形三线-合一定理，EN=NF，
∴NM是△DEF的中位线，
∴EM=MD．
∵EG平分∠AEF，∠AEG=∠GEF=75°，
∴∠DEF=30°．
在Rt△DEF中，∠D=90°-30°= 60°．
∵GM∥AB，
∴∠AMG=∠D =60°．
又∵∠MGE=∠AGH，EG= HG，∠AMG=HG=60°，
∴△AGH≌△MGE（SAS）．
∴AH=EM．
∵AD=AE+EM+MD，且EM =MD，AH=EM，AD=BC，
∴2AH+AE=DE+AE=AD=BC
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