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2025-2026学年重庆市潼南区梓潼初级中学校等学校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中是无理数的是（　　）
A. -1 B. 0 C. 0. D.
2.以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 5，6，7 C. 6，8，10 D. 5，12，17
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
5.下列各组命题中，不是真命题的是（　　）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
6.估计的结果是（　　）
A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-6，0），（4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）
A. （6，8）
B. （10，8）
C. （10，6）
D. （4，6）
8.如图1叫作一个基本的“勾股树”，也叫作第一代勾股树，它有3个正方形.让图1中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图2），叫作第二代勾股树，它有7个正方形.从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图3），它有15个正方形，这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（　　）
A. 23 B. 31 C. 33 D. 63
9.如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，其中∠AFB=∠BEC=∠AGD=∠CHD=90°，连结AE，DE，若∠AED=∠ADE，，则正方形ABCD的边长是（　　）
A. B. 2 C. D.
10.已知整式，其中n为自然数，an，an-1，…，a1，a0为正整数，且满足N=an+an-1+…+a2+a1+a0，其中a0≤a1≤a2≤…≤an-1≤an.
下列说法：
①当N=4时，满足条件的整式M中最多只有4个单项式；
②当N=7时，所有满足条件的整式M的次数最高次为4次；
③当N≤3时，满足条件的整式M共有7个.
其中正确的个数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12.如图，数轴上点B表示的数为-4，AB⊥OB，AB=1，以原点O为圆心，OA长为半径作弧，与数轴交于点C，则点C表示的数为 .
13.如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为 cm.
14.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，则EC的长为 .
15.一个正n边形的每个内角为140°，这个正n边形的所有对角线的条数为 .
16.对任意一个三位数，如果t满足各个数位上的数字互不相同，且0＜a≤b≤c,那么称这个数为“递进数”，将一个“递进数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（t）.例如t=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.那么F（135）=______；如果m,n都是“递进数”，其中，，（1≤a≤9，1≤b≤9，a,b都是正整数），规定：，则k的最小正整数值为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（；
（2）.
18.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于点E.
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交直线AD于点F，连接EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图中，证明四边形ABEF为菱形，完成下列填空.
证明：∵平行四边形ABCD，
∴①______，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠DAE=∠BAE（②______），
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=③______，
同理：AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形（④______），
又∵AB=AF，
∴四边形ABED为菱形.
19.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中x=3.
20.(本小题10分)
2025年重庆“五一”特展展出的西南地区最大恐龙模型长26米，某恐龙馆计划据此设计改造成一款可触摸恐龙模型，为增加稳定性，避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡风险，该模型一条支架AC与另一条支架DC需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：AB=6m,BC=8m,AD=26m,CD=24m,∠ABC=90°.
（1）AC与DC垂直吗？请说明理由；
（2）当同学们到恐龙馆参观时，想知道模型中各段支架的长度，容易测量AB=6m,BC=8m,但不好测量AD的长，导游小姐姐看到大家的难题，给出了一个有用的信息：支架AD比CD长2m,你能根据导演小姐姐提供的信息验证支架AD的长度是否真的是26m吗？请写出你的验证过程.
21.(本小题10分)
综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动.
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图1，建立平面直角坐标系并画出网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时想到利用顶点A，B，C构造矩形，使它的顶点都在格点上，它的边分别经过点A，B，C，他们借助此图利用图形面积的和差求出了△ABC的面积.
（1）在图中，所画的△ABC的三边长分别是AB=______，BC=______，AC=______，△ABC的面积为______；
（2）第二小组的同学发现在正方形网格中非常容易研究几何问题，于是他们又把初一学过的平移搬到了坐标系中，画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1，并求出四边形ACC1A1的面积；
【继续探究】
（3）第三小组的同学想到借助曾经阅读的人教版八年级下册数学书17页资料来解决问题.“已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究.古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：，其中；
秦九韶公式：.
请你根据第（1）问中求出的边长选用适当的公式求△ABC的面积（写出计算过程）.
22.(本小题10分)
阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号.
例如；.
解答下列问题：
（1）计算：.
（2）小宇还发现了和上面的题相同的变形规律：
.
请化简：.
（3）若，，求9a2-6ab+b2的值.
23.(本小题10分)
如图，三角形区域ABC是一个公园，其中C点处有一个烈士陵园，E点处是一所中学，清明节到了，学校组织初一，初二年级的同学去扫墓，去陵园有两条线路：①E-A-C；②E-D-C.经勘测，点A在点B的正西方1千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向6千米处.（参考数据：，）
（1）求DE的长度.
（2）由于学生人数多，学校决定两个年级同时出发，但分开走，初一年级选择线路①步行，初二年级选择线路②步行，如果两个年级队列同样长，且行进速度一样，请计算说明哪个年级先到达？
24.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AB=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，四边形BFDE为矩形？请说明理由.
25.(本小题10分)
正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD上的动点，连接AF，BE.
（1）如图1，若DE=CF，求证：AF=BE；
（2）如图2，若F为DC的中点，过D作DM⊥AF，垂足为N，交BC于M，连接CN，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BN，过点C作CH⊥BN于H，交AN于点G，若正方形的边长为4，直接写出GH的长.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】x≥5
12.【答案】．
13.【答案】3
14.【答案】．
15.【答案】27．
16.【答案】9，11．
17.【答案】；
6
18.【答案】 AD∥BC;角平分线的定义;BE;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
19.【答案】-；-．
20.【答案】AC⊥DC，
∵∠ABC=90°，AB=6m，BC=8m，
由勾股定理得：（m），
∵AD=26m，CD=24m，
又102+242=676=262，
∴AC2+CD2=AD2，
∴AC⊥DC AD是26m．
由（1）可得AC=10m，
设AD=x，则CD=x-2，
由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，
∴102+（x-2）2=x2，
解得x=26，
答：支架AD的长度是26m
21.【答案】;;;1.5 ；8 ∵，BC=，AC=，
∴
22.【答案】+ 4 8
23.【答案】4千米 初一年级先到达
24.【答案】证明：在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴．
又∵AE=t，
∴AE=DF 当t=时，四边形AEFD能够成为菱形 t=5
25.【答案】证明见解析；
证明见解析；
．
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