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福建省泉州市晋江市季延中学教育集团校2025-2026学年下学期期中质量监测八年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. ±1
2.下列分式中，最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
3.通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有m/s,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“”用科学记数法表示为()
A. B.
C. D. 74
4.若点P（a，1﹣2a）在第四象限，那么a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7.若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
9.若关于x的分式方程有增根，则 m的值是（ ）
A. m＝2或m＝6 B. m＝2 C. m＝6 D. m＝2或m＝-6
10.如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.化简：的结果为 ．
12.若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 ．
13.在平面直角坐标系中，若点A（-7，6）与点B（a,b）关于x轴对称，则a+b= .
14.如图，在中，为的中点，过点且分别交，于点，.若，则的长为 .
15.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点是轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为，则的值为 ．
16.已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.计算、解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
先化简，再求值：．其中．
19.(本小题9分)
在中，E，F是对角线上两点，并且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形．
20.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题：
(1) 画出一次函数的图像；
(2) 此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是 ；
(3) 将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是 ．
21.(本小题10分)
某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
(1) 问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？
(2) 该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
22.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点．
(1) 求反比例函数的解析式和点E的坐标；
(2) 若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集．
(3) x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由；
23.(本小题9分)
【问题提出】
课堂上，老师提出了下面的问题：
，，，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较与的大小．
小华：∵
．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【问题解决】
(1) 请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2) 【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．
实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”．
实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性．
(3) 设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：．
24.(本小题9分)
一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离与行驶时间的函数关系如图（折线为快车，线段为慢车）：
(1) 甲、乙两地相距 ，快车速度是 ，慢车速度是 ；
(2) 求图中点的坐标；
(3) 请求出慢车出发多长时间后，两车相距？
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，此直线交x轴于点P，交y轴于点A，直线与x轴交于点N．
(1) 求A，P两点的坐标；
(2) 如图1，若点M在x轴上方，且在直线上，若面积等于9，请求出点M的坐标；
(3) 如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】2
12.【答案】5
13.【答案】-13
14.【答案】10
15.【答案】2
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
去分母得，
去括号得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．

18.【答案】解：原式
．
当时，原式．

19.【答案】证明：连接，交于O，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即．
∴四边形是平行四边形．

20.【答案】【小题1】
解：令，解得，令，则，
一次函数的图像如图：
【小题2】
4
【小题3】
或

21.【答案】【小题1】
解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
【小题2】
设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．

22.【答案】【小题1】
解：四边形是矩形，点在坐标轴上，
轴，轴．
，且为的中点，
∴点的纵坐标为2．
反比例函数的图象过和点，
∴反比例函数的解析式为
把代入，得
【小题2】
解：由图像可得，当或时，，
故的解集为或．
【小题3】
解：存在，理由如下：
设点，由题可知
①当时，则
解得．
②当时，则
解得，或
当时，三点共线，不能构成三角形，所以（舍）
③当时，则
解得，或
或
综上所述：存在点，且坐标为或或或．

23.【答案】【小题1】
，，
；
【小题2】
解：
证明如下：
加入m克糖后，糖水浓度为，
，
∵，
，
又∵
，
故答案为：；
【小题3】
证明：∵a、b、c为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．

24.【答案】【小题1】
400
100
40
【小题2】
线段所在直线的函数关系式为：，
设线段所在直线的函数关系式为：，
将点代入，得，解得，
∴线段所在直线的函数关系式为：．
联立，解得，
∴点的坐标为：．
【小题3】
当时，
，解得；
当时，
，解得（舍去）；
当时，
，解得；
当时，
解得．
综上所述，慢车出发或或后，两车相距．

25.【答案】【小题1】
直线交x轴于点P，交y轴于点A，
令，
令，
，
【小题2】
过作交轴于，连接，如图：
，面积等于9，
面积等于9，
，
即，
，
，设直线为，
则，
，
直线为，
令得，
；
【小题3】
存在，设，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，
∴，，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，连接，如图：
∴，，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，
∴，，
同②可证，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上，Q的坐标为或或．

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