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福建省漳州市诏安县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
2.若x＜y成立，则下列不等式成立的是（ ）
A. x-2＜y-2 B. 4x＞4y C. -x+2＜-y+2 D. -3x＜-3y
3.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）
A. a（m+n）＝am+an B. x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
C. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 75°
6.某超市花费1140元购进苹果100千克, 销售中有5%的正常损耗, 为避免亏本(其它费用不考虑),售价至少应定为多少元 设售价定为每千克x元时不亏本, 根据题意列不等式是( )
A. 100(1+5%)x>1140 B. 100(1-5%)x>1140
C. 100(1+5%)x1140 D. 100(1-5%)x1140
7.如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）
A. 63° B. 65° C. 75° D. 84°
8.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 我爱美 B. 仙河游 C. 我爱仙河 D. 美我仙河
9.对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长，交于，的垂直平分线分别交、于点、点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解： ．
12.若不等式（1-a）x> 1-a的解集是x< 1，则a的取值范围是
13.如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是 ．
14.甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ．
15.如图等腰三角形ABC的底边长为8cm,腰长为5cm,一动点P（不与B，C重合），在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动 秒时，三角形ACP是直角三角形.
16.如图，点是边上的一点，且，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18.因式分解：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
如图，已知，于点，于点，．求证：．
20.(本小题10分)
图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画三角形．
(1) 在图①中画一个，使三角形的面积为3；
(2) 在图②中画一个，使三角形为等腰三角形且底边长为，腰长为；
(3) 在图③中画一个，使三角形为直角三角形且一条直角边长为，斜边长为．
21.(本小题10分)
已知关于x、y的方程组
(1) 若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2) 在（1）的条件下，若关于m的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
22.(本小题10分)
“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示．
销售个数（个） 销售额（元）
滨滨 妮妮
第1周 20 15 3080
第2周 30 10 3520
(1) 分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格；
(2) 根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？
(3) 在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23.(本小题10分)
(1) 如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．试确定∠A和∠D的数量关系；
(2) 如图（b），BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．试确定∠A和∠E的数量关系；
(3) 如图（c），BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系．
24.(本小题10分)
我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等．
例如：分解因式：．
再例如：求代数式的最小值：
，因为，所以当时，有最小值，最小值是．
阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1) 分解因式：① ；② ．
(2) ①求多项式的最大值；②若，试求的最小值．
(3) ①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围．
25.(本小题12分)
如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
(1) 如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(2) 如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长；
(3) 若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】x（x﹣4）
12.【答案】
13.【答案】13
14.【答案】
15.【答案】1.75或4
16.【答案】6
17.【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集是；
在数轴上表示为：

18.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

19.【答案】证明：∵
∴
∴
∵
∴与是直角三角形
∵在与中，
，
∴

20.【答案】【小题1】
解：如图所示：
上图中可知，，，
∴，满足题意要求．
【小题2】
解：如图所示：
当三角形的直角边分别为3和1时则斜边为，
上图中，、均为直角边分别为和时对应的斜边，
即，且两个边长为的直角边恰好能组成．
【小题3】
解：如图所示：
图中方格为，
若要有一条边长为，则需满足直角边为和，
上图中满足该情况，故，
同理根据勾股定理可得，
另一条直角边需为，图中的长度为．

21.【答案】【小题1】
解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得；
【小题2】
解：∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴满足条件的的整数值是、0．

22.【答案】【小题1】
解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得，
解得
答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件；
【小题2】
解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个，
∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍，
，
解得：．
∵m应为正整数，
∴可得m至少为67．
答：至少需要购买67个“滨滨”摆件；
【小题3】
解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标．
根据题意，得：，
解得：
，
∵m应为正整数，
∴m可以取67，68．
当时，；当时，．
答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件．

23.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】

24.【答案】【小题1】


【小题2】
解：①
，
，，
当，有最大值；
②
，
且，
当且，即，时，
取得最小值．
答：①②．
【小题3】
解：①，，，
，，，
；
②，
，
，即，
，，
，，
、、是的三边，
，
故．
答：①②．

25.【答案】【小题1】
解：依然成立，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
由勾股定理得；
【小题3】
8

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