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福建三明市尤溪县2025-2026学年第二学期期中综合练习八年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.交通法规人人遵守，文明城市处处安全在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高标志．则通过该桥洞的车高的范围在数轴上可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形（ ）
A. 两个较小的内角之和小于 B. 两个较小的内角之和大于
C. 两个较小的内角之和等于 D. 两个较小的内角之和不等于
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴上，A（1，2），C（3，0）．将等腰三角形ABC向上平移2个单位长度后，点B的对应点的坐标是（　　）
A. （﹣2，1） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （﹣2，2）
7.若ABC的三边长分别是a,b,c,则下列条件中,不能判定ABC是直角三角形的是( )
A. A+B=C B. a:b:c=5:12:13
C. A:B:C=3:4:5 D. =(a+c)(a-c)
8.直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于，于M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长于点D，下列结论错误的是（ ）
A. 平分 B.
C. D.
10.如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点且．下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的结论是（ ）
A. ①②④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.是非负数，用不等式表示为 ．
12.命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
13.如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是 边形．
14.如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为 ．
15.直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ．
16.如图，已知中，，，动点满足，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.解不等式组：
四、解答题：本题共8小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
【阅读理解】下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解：去分母，得 ①
去括号，得 ②
移项，得 ③
合并同类项，得 ④
系数化成1，得 ⑤
(1) 以上解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
(2) 请直接写出该不等式的正确解集： ．
(3) 请把解集在数轴上表示出来．
19.(本小题9分)
如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为,．（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1) 平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标： ；
(2) 将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．
21.(本小题10分)
如图，在中，
(1) 在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 若，，求线段的长．
22.(本小题10分)
如图，在四边形 中， ， 与 互余，将 ， 分别平移到 和 的位置， ．
(1) 求 的度数；
(2) 若，，求的长．
23.(本小题10分)
在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武 BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．
(1) 甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2) 已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？
24.(本小题8分)
新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1) 在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
(2) 若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3) 若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．
25.(本小题11分)
在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目：
(1) 【初步感知】如图1，在中，，，点D为斜边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则 ．
(2) 【探究应用】如图2，在中，，，点D为内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求的度数．
(3) 【拓展提升】如图3，若是边长为6的等边三角形，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值以及此时的面积；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】假
13.【答案】十二
14.【答案】
15.【答案】x≥1
16.【答案】3
17.【答案】解：，
解①，得，
解②，得，
∴原不等式组的解集是.

18.【答案】【小题1】
⑤；
不等式的两边都除以时，没有改变不等号的方向；
【小题2】

【小题3】
表示不等式解集为：

19.【答案】证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
∴，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；点的坐标：；
【小题2】
解：如图，即为所求．

21.【答案】【小题1】
解：如图所示，点即为所求：
【小题2】
解：连接，
依题得，
中，，，，
，
设，则，
中，，
，
解得，
即．

22.【答案】【小题1】
解： 平移到 的位置，
∴
，
与 互余，
；
【小题2】
解：，分别平移到和的位置，且
，，
，
，
，
即，
．

23.【答案】【小题1】
解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元．
【小题2】
解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台．
依题意，得
解得．
设6台机器人每天服务客人的人数为，
则．
，
随的增大而增大，
∴当时，取得最大值
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大.

24.【答案】【小题1】
②
【小题2】
解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，

根据“相依方程”的含义可得：


解得：
【小题3】
解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有4个整数解，
∴整数解为2，3，4，5，
∴
解得；
因为，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
即
解得：，
即
综上：

25.【答案】【小题1】
【小题2】
解：∵在中，，，
∴，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：的周长存在最小值．
∵是边长为6的等边三角形，
∴，，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，则，，
∵，，，
∴，
∴，
∴的周长为，
当时，最短，此时的周长最小，
如图，
在中，，，
∴，
∴的周长的最小值为，
过E作延长线于H，则，，
∴，
∴．

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