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2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（　　）
A. 中位数为5，极差为7 B. 中位数为5，极差为8
C. 中位数为5.5，极差为7 D. 中位数为5.5，极差为8
2.某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人.为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（　　）
A. 10 B. 12 C. 18 D. 20
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3+a7=18，S5=25，则数列{an}的公差为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为、、，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.的展开式中的常数项为15，则实数a=（　　）
A. B. C. D.
6.计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为（　　）
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42
7.若函数不单调，则实数a的取值范围是（　　）
A. （0，+∞） B. （-1，0）
C. （-∞，-1）∪（0，+∞） D. （-1，+∞）
8.已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：的右顶点、下顶点和左焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥OF.若AB⊥OP，估计椭圆C的离心率的值所在的区间为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知一组数据x1，x2，…，x9的平均数为5，方差为s2.现将该组数据进行以下两种处理：
操作1：加入一个新数据5，得到10个数据y1，y2，…，y10，方差为
操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据z1，z2，…，z9，方差为，则下列说法正确的是（　　）
A. s2=2 B. s2＜2 C. D.
10.已知（x-2）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则下列结论正确的有（　　）
A. 所有二项式系数之和为210 B. 二项式系数最大的项是第五项和第六项
C. a0+a2+a4+…+a10= D. a1+2a2+3a3+…+10a10=-10
11.在我国的“杨辉三角”中蕴含着优美的组合数关系式.瑞士数学家欧拉也曾提出过一个名叫“欧拉三角形”的数表，其中的数类似于组合数，也蕴含着优美的关系式.将1，2，…，n（n≥2）这n个数排成一排，得到一个排列（a1，a2，…，an），设排列中满足ai＜ai+1的正整数i有k个，就称排列（a1，a2，…，an）的“升程数”为k.比如：n=3时，排列1，2，3的“升程数”为2，排列2，1，3的“升程数”为1.记为将1，2，…，n（n≥2）排成一排后“升程数”恰为k（k=0，1，…，n-1）的排列数.比如：n=3时，“升程数”为1的排列有（1，3，2）、（2，1，3）、（2，3，1）、（3，1，2）这4个，即，则下列说法正确的是（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 .
13.已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为 .
14.为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中旬举行自编操比赛，出场顺序抽签决定.则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有 种.（请用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-n.
（1）求证：{an+1}是等比数列，并求an；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为100分）中抽取一个样本量为100的样本，成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）年级计划给成绩排名前25%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线；
（3）在[50，60）和[90，100]的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率.
17.(本小题15分)
已知平面内动点M到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等.记动点M的轨迹为Γ，过点Q（2，0）的直线l与曲线Γ相交于A，B两点.
（1）求轨迹Γ的方程；
（2）设点A关于x轴对称的点为D，证明：直线BD恒过定点.
18.(本小题17分)
某层高为7楼的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼.每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层.两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）.设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为ai和bi（i=1，2，3）.
（1）求电梯A最终停在6楼的概率；
（2）若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电.记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望；
（3）若|ai-bi|≤1对任意i=1，2，3都成立，则称两部电梯“同步”.当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）证明：f（x）＞0；
（2）已知函数恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2）.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）若方程g（x）=m有三个解x3，x4，x5（x3＜x4＜x5），请在下面两个结论中选择一个加以证明，若两个都选，以第一个结论的解答为准.
A.x3+x4＞2x1
B.x4+x5＜2x2
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】y=x+．
13.【答案】．
14.【答案】348．
15.【答案】由Sn=2an-n，可得a1=S1=2a1-1，解得a1=1，
当n≥2时，由Sn=2an-n，可得Sn-1=2an-1-n+1，
上面两式相减可得an=2an-2an-1-1，即为an=2an-1+1，
可得an+1=2（an-1+1），
即有{an+1}是公比和首项均为2的等比数列；an=2n-1 Tn=1-
16.【答案】A=0.030；71分 82分
17.【答案】y2=4x 证明：设直线AB的方程为x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，-y1），
联立，消去x并整理得y2-4my-8=0，
由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-8，
此时，
所以直线BD的方程为，
因为抛物线关于x对称，
若直线BD过定点，
此时定点必然在x轴上，
将y=0代入直线BD的方程中，
解得，
因为x1=my1+2，x2=my2+2，
又y1+y2=4m，y1y2=-8，
所以
==．
则直线BD恒过定点（-2，0）
18.【答案】 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（Y）=0.025度
19.【答案】证明见解析 （i）a＞0；（ii）证明：由g（x）的单调性：（0，x1）递增，（x1，x2）递减，（x2，+∞）递增，
故g（x）=m的解满足x3∈（0，x1），x4∈（x1，x2），且g（x3）=g（x4），
若选A：构造F（t）=g（t）-g（2x1-t）（t∈（0，x1）），则F（x1）=0，
，
由g'（x1）=0得，代入并化简：
，
因lnx1＞0，且，故，
因此F′（t）＞0，F（t）在（0，x1）单调递增，
故F（t）＜F（x1）=0，即g（t）＜g（2x1-t），令t=x3，得g（x3）＜g（2x1-x3），
又g（x3）=g（x4），故g（x4）＜g（2x1-x3），因g（x）在（x1，x2）单调递减，
故x4＞2x1-x3，即x3+x4＞2x1；若选B：由x3∈（0，x1），x4∈（x1，x2），可知x3＜x2且x4＜x2，
直接相加得x3+x4＜x2+x2=2x2，结论成立
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