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2025-2026学年广东省广州市番禺区石楼镇三校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量.若，则x=（　　）
A. -7 B. 4 C. 1 D. -1
2.下列求导正确的是（　　）
A. （π3）′=3π2 B. （2x）′=2x
C. （cosx）′=-sinx D.
3.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　　）
A. 40个 B. 42个 C. 48个 D. 52个
4.某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（　　）
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
5.已知f（x）=x-sinx,则不等式f（x2-1）＞f（x-1）的解集是（　　）
A. （-∞，0）∪（1，+∞） B. （1，+∞）
C. （0，1） D. （-∞，1）
6.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（　　）
A. 将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有56种不同的放法
B. 将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法
C. 将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法
D. 现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种
7.已知f（x）=（2-x）8=a0+a1x+a2x2+ +a8x8，则下列描述正确的是（　　）
A. a1+a2+ +a8=1 B. f（-1）除以5所得的余数是1
C. D. 2a2+3a3+ +8a8=-8
8.已知F是椭圆C的右焦点，直线交C于A，B两点，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设A，B为一次随机试验中的两个事件.若，，，则（　　）
A. B. C. D.
10.已知直线l：mx-y+2m+1=0，圆C：x2+y2+2x-3=0，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线l过定点（-2，1）
B. 直线l被圆C截得弦长的最大值与最小值的和为
C. 若圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线l有两条
D. 若P（-5，0），Q（-2，0），M是圆C上任意一点，则|MP|=2|MQ|
11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=（x2-3）ex，则（　　）
A. f（-1）=-2e
B. f（x）在（-1，0）上单调递减
C. f（x）的极值点个数为2
D. 若方程f（x）=t有三个实数根，则t的取值范围是（-2e,-3）∪（3，2e）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（1+2x)4的展开式中含x2项的系数为 .
13.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点且直线PF2与x轴垂直，若|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2的面积为 .
14.若曲线y=x3+（x+1）2在点（0，1）处的切线也是曲线y=lnx+a的切线，则a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为0，且当x=3时，函数f（x）取得极值.
（1）求函数的极值；
（2）若存在x∈[-1，2]，使得不等式f（x）-m≤0成立，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
各项均不相等的等差数列{an}前n项和为Sn，已知S5=40，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=2，AB=1，BC=1，AD=2，M是PD的中点.
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）若AB⊥AD.
①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业 A B C D E F G
研发投入x（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000
年慢变河产击数为 3 5 7 6 9 10 11
（1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”.
（i）求条件概率P（N|M）的值；
（ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由；
（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax2+（a-2）x-lnx,a∈R.
（1）当a=1时，求函数f（x）的极小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】24
13.【答案】
14.【答案】/
15.【答案】极大值为，极小值为1；
．
16.【答案】解：（1）各项均不相等的等差数列{an}的公差设为d（d≠0），
S5=40，且a1，a3，a7成等比数列，可得
5a1+10d=40，a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），
解得a1=4，d=2，
则an=4+2（n-1）=2n+2；
（2）=+1
=+1=-+1，
数列{bn}的前n项和Tn=-+-+…+-+n
=-+n．
17.【答案】证明：取PA中点N，因为M为PD中点，
所以MN∥AD，且，
又因为BC=1，BC∥AD，
所以BC∥MN，且BC=MN，
所以四边形BCMN为平行四边形，即CM∥BN，
因为BN 平面PAB，CM 平面PAB，
所以CM∥平面PAB ①②存在，
18.【答案】（ⅰ）；（ⅱ）M与N不相互独立 X的分布列为
X 0 1 2 3
P

19.【答案】0 若a≤0，则f（x）是单调递减函数；若a＞0，则f（x）在上单调递减，在上单调递增 （0，1）
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