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2025-2026学年甘肃省兰州市贺阳高级中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，-2，-5）到平面Oxy的距离为（　　）
A. 1 B. C. 5 D.
2.下列求导数运算正确的是（　　）
A. （π10）′=10π9 B. （5x）′=5x
C. （cosx）′=sinx D. （ln4x）′=
3.已知向量=（x,3，y），=（0，1，m），若∥，则（　　）
A. x=1 B. ym=3 C. y=3m D. m=3y
4.已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f′（x），则=（　　）
A. f′（1） B. f′（1） C. 2f′（1） D. -f′（1）
5.若直线x+y=0交圆C：x2+y2-2x-1=0于A，B两点，则|AB|=（　　）
A. B. C. D. 2
6.某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（　　）
A. 120 B. 80 C. 60 D. 48
7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则点A到平面PMN的距离为（　　）
A.
B.
C. 1
D.
8.已知函数f（x）=（x+a）2（x-4）在x=-2处有极大值，则a=（　　）
A. 2 B. 14 C. -2或2 D. 2或14
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知三棱锥P-ABC的顶点分别为P（0，1，0），A（-1，2，1），B（-1，2，5），C（-2，4，2），则（　　）
A. PA⊥BC
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 平面ABC的一个法向量为=（2，1，0）
D. 直线PA与平面ABC所成角的正弦值为
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d,若a1a2=2，S3=6，则（　　）
A. d=1 B. a100=200
C. D.
11.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=+f′（3），则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 3是f（x）的极小值点
C. 当0＜x＜1时，f（x2）＜f（x）
D. 若t＜2，则过点（t,0）可作两条直线与曲线y=f（x）相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，都满足，若A，B，C，D四点共面，则m= .
13.已知函数f（x）的图象在点P处的切线如图所示，f（x）的导函数为f′（x），则f（3）+f′（3）= .
14.记函数f（x）的导函数为f′（x）， x∈R，f'（x）＜f（x），若关于x的不等式f（x+1）在上恒成立，则a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，∠PBA=∠PBC=60°，BA=BC=4，PB=6，D为AC的中点，M为BD的中点.
（1）用，，表示，并求；
（2）求异面直线PM与BC所成角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知椭圆C：的离心率为，A（2，0）是C上一点.
（1）求C的方程；
（2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程.
17.(本小题15分)
已知a≠0，函数f（x）=ax-a2lnx.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥2a2-a3.
18.(本小题17分)
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△ABA1是边长为2的等边三角形，D为A1B1的中点.
（1）证明：AC⊥CD.
（2）求平面A1B1C1与平面A1BC所成角的余弦值.
（3）若点A，B，C1，D均在球M的球面上，求球M的体积.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax2.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程.
（2）设f（x）有3个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）.
（i）求a的取值范围；
（ii）若x1，x2，x3成等差数列，求该数列的公差.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】2．
13.【答案】0．
14.【答案】（9，+∞）．
15.【答案】=，
16.【答案】
17.【答案】若a＜0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间，
若a＞0，f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a） 证明：当a＞0时，，
要证f（x）≥2a2-a3，只需证f（a）≥2a2-a3，
又f（a）-2a2+a3=-a2lna-a2+a3=a2（a-lna-1），
所以只需证a-lna-1≥0，
令g（a）=a-lna-1，则，
则当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，g'（a）＞0，
即g（a）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），
所以g（a）min=g（1）=0，即g（a）≥0，
所以当a＞0时，f（x）≥2a2-a3
18.【答案】证明：取AB中点E，连接A1E，BD，
因为△ABA1是边长为2的等边三角形，
所以A1E⊥AB，又侧面ABB1A1⊥底面ABC，且侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，
所以A1E⊥底面ABC，又BD∥A1E，
所以BD⊥底面ABC，又AC 底面ABC，
所以AC⊥BD，又AC⊥BC，BD∩BC=B，
所以AC⊥平面BCD，又CD 平面BCD，
所以AC⊥CD
19.【答案】x-y+1=0 （i）；（ii）2ln（+1）
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