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2025-2026学年河北省石家庄市辛集中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知随机变量X服从正态分布N（3，22），且P（X＞a+3）=P（X＜2a），则a=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.（x+y）（x-y）6的展开式中x4y3的系数是（　　）
A. 10 B. -10 C. 5 D. -5
3.物价部门对某商品在各商场的售价x（元）及其一天的销售量y（件）进行调查，得到了若干对数据（xi，yi），经过分析、计算得到y关于x的经验回归方程为=-3x+19，则样本点（4，5）的残差为（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4.设随机变量X B（2，p），Y B（4，p），若，则D（Y）=（　　）
A. B. C. D.
5.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“两个点数不相同”，B为“至少出现一个6点”，则P（A|B）=（　　）
A. B. C. D.
6.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（　　）
A. 72 B. 96 C. 114 D. 124
7.已知平面α∥平面β，平面α内有A，B，C，D，E共5个点，其中有且仅有A，B，C三点共线，平面β内有F，G，H，J共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（　　）
A. 80个 B. 86个 C. 116个 D. 136个
8.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.以下四个命题中，说法正确的是（　　）
A. 在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用y2=bx+a拟合时的决定系数为，且，则y1的拟合效果好
B. 若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位
C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D. 成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1
10.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（　　）
A. 在第9条斜线上，各数之和为55
B. 在第n（n≥5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C. 在第n条斜线上，共有个数
D. 在第11条斜线上，最大的数是C
11.有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i=1，2，3，…，n），则（　　）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=0.6，则E（X）= .
13.已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中有理项共有 项.
14.把分别写有1、2、3、4、5、6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求f（x）在点A（1，e）处的切线方程；
（2）h（x）=x f（x），若h（x）的一条切线l恰好经过坐标原点，求切线l的方程.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点.
（1）求证：平面ACE⊥平面PCD；
（2）求二面角E-AC-D的正弦值.
17.(本小题15分)
拉萨市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字路口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据
月份 1 2 3 4 5
违章驾驶员人数 120 105 100 90 85
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程y=bx+a
（Ⅱ）预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数
参考公式：==，=-．
18.(本小题17分)
为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
次数
年龄 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
每周0～2次 70 55 36 59
每周3～4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
（1）若把年龄在[20，40）的锻炼者称为青年，年龄在[40，60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值α=0.01的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30，40）与[50，60]的人数分别为X，Y，ξ=|X-Y|，求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：.
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.(本小题17分)
如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A腔室出发，到达C腔室，粒子从A室经过1号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从B室经过2号门进入C室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从A室出发.
（1）求两粒子进入C室都为上旋状态的概率；
（2）若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后，共裂变为m个粒子，裂变后的每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立.
①m=4时，写出返回B室的粒子个数X的分布列、期望、方差；
②m=30时，记有r个粒子返回B室的概率为f（r），则r为何值时，f（r）取最大值.

1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】0.6．
13.【答案】6
14.【答案】60．
15.【答案】y-e=0； ex-y=0．
16.【答案】证明：因为△PAD是正三角形，E是PD的中点，所以AE⊥PD，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，AD⊥CD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
所以CD⊥侧面PAD，
AE 平面PAD，所以AE⊥CD，
又CD∩PD=D，且CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD，
又因为AE 平面ACE，所以平面ACE⊥平面PCD
17.【答案】解：（Ⅰ）由题意，计算=×（1+2+3+4+5）=3，
=×（120+105+100+90+85）=100，
所以====-8.5，
=-=100+8.5×3=125.5，
所以y关于x的回归直线方程为=-8.5x+125.5；
（Ⅱ）利用回归方程，计算x=7时=-8.5×7+125.5=66，
所以预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为66人．
18.【答案】解：（1）零假设：H0体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得2×2列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[30，40），[50，60]内的人数分别为1，2，
依题意，ξ的所有可能取值分别为0，1，2，
所以P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=+=，
P（ξ=1）=P（X=0，Y=1）+P（X=1，Y=0）+P（X=1，Y=2）=++=，
，
所以ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
所以ξ的数学期望为．
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，星期天选择跑步为事件D，
则，，
，，，
所以P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）
=，
所以小明星期天选择跑步的概率为．
19.【答案】解：（1）设Ai=“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为i个”，i=0，1，2，
B=“两个粒子通过2号门后进入C室都为上旋状态”，
则，，
，，
则
．
（2）①返回B室的粒子个数X的可能性为0，1，2，3，
X服从二项分布；
，
，
，
，
，
即分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以期望，方差；
②r的可能取值为0，1，2，……30，
则r个粒子返回B室的概率为，
则

，
所以 r=20，
当r=20时，f（r）取最大值．
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