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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第122中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知等差数列{an}，a1=3，a7=15，则a4=（　　）
A. 7 B. 9 C. 11 D. -9
2.一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为s（t）=2t2+t,则t=1时，其瞬时速度（单位：m/s）为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
3.在等比数列{an}中，a4+a6=24，a5+a7=72，则公比q=（　　）
A. 3 B. ±3 C. D.
4.已知在等差数列{an}中，a2+a9+a16=12，则其前17项和S17=（　　）
A. 85 B. 68 C. 51 D. 34
5.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2，a3+7，a4成等差数列，a2+a3=14，则=（　　）
A. 28 B. 14 C. 20 D. 10
6.若函数f（x）=x2+3x-4lnx,点P是曲线y=f（x）上任意一点，则点P到直线l：x-y-3=0的距离的最小值为（　　）
A. B. C. D.
7.若函数f（x）=2lnx+ax2-2在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A. [-e2，+∞） B. （-e2，+∞） C. D.
8.已知函数f（x）=-ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式-＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，] B. （-∞，） C. ．（-） D. ．（-∞，]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导运算正确的是（　　）
A. （ln7）′=0
B. [（x2+2）sinx]′=2xsinx+（x2+2）cosx
C.
D. （log2x）′=
10.设数列{an}的前n项和为Sn，满足.则下列说法中正确的是（　　）
A. a5=32
B. S4=62
C. {Sn+2}是等比数列
D. 若，数列前n项和Tn，则Tn＜1
11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列{an}满足a1=1，，设bn=a2n-1，记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.则（　　）
A. a2是a1=2，a3的等比中项 B. S2n=2Tn+1
C. D.
三、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。
12.函数f（x）=2x+ln（1-2x）在x=0处的导数f′（0）= .
13.已知数列{an}满足若，则a2026= .
14.若f（x）是定义在区间（-3，2）上的函数，其图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则的解集为 .
15.y=4x+a是函数f（x）=ex+3x-3b与g（x）=2x+2lnx的公切线，则ab= .
16.某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元.用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额f（x）（单位：万元）为+，则每年种植莲藕 万斤时，利润最大.
17.函数，则= .
四、解答题：本题共4小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题13分)
已知函数f（x）=ex-x.
（1）若直线y-ax+2=0与曲线y=f（x）在x=0处的切线平行，求a的值.
（2）求函数f（x）的单调区间和极值.
19.(本小题13分)
已知数列{an}的首项是，且.
（1）证明数列是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）若，求满足条件的最小整数n的值.
20.(本小题15分)
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（0，1]内的最大值为2，求a的值；
（3）若，求a的取值范围.
21.(本小题15分)
已知数列{an}中，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…，Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1P2 Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn；
（3）记，若恒成立，求实数λ的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABC
10.【答案】ACD
11.【答案】AD
12.【答案】ln2-2
13.【答案】
14.【答案】（-2，-1）∪（0，1）．
15.【答案】-2．
16.【答案】6
17.【答案】．
18.【答案】a=0 f（x）的单调减区间为（-∞，0），单调增区间为（0，+∞）；f（x）的极小值为f（0）=1，无极大值
19.【答案】an= n=2026
20.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在内单调递减，在（0，1）和上单调递增；
当a=1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，f（x）在区间内单调递减，在和（1，+∞）上单调递增．
a=e；

21.【答案】因为，
所以两边同时除以2n+1，得，
因为a1=2，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列
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