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2025-2026学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（　　）
A. B.
C. D.
2.对于事件A，B，P（A）=0.4，P（B|A）=0.2，P（A∪B）=0.8，则P（B）=（　　）
A. 0.4 B. 0.08 C. 0.6 D. 0.48
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7=28，则a1+a4+a7=（　　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4.离散型随机变量X的分布列如下，则P（0≤X＜2）=（　　）
X -1 0 1 2
P m 2m 0.3 0.1
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
5.已知等比数列{an}的公比为q.设甲：{an}为递减数列，乙：a1＞0，0＜q＜1，则甲是乙的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.将一张正方形纸片连续进行6次折叠操作，每次操作中，沿中线折叠（记为“直线操作”）的概率为p（0＜p＜1），沿对角线折叠（记为“斜线操作”）的概率为1-p,各次操作相互独立.记X为6次操作中“斜线操作”的次数，且P（X=3）=P（X=4），则6次操作中“直线操作”次数的期望为（　　）
A. B. C. D.
7.若数列{an}的前n项和为Sn=2an-3n,则an=（　　）
A. 3n-1 B. 3n C. 3 （2n-1） D. 3 2n-1
8.已知事件A，B满足P（A）=0.2，P（B）=0.7，若A与B互斥，记a=P（AB），若A与B相互独立，记，则b-a=（　　）
A. 0 B. 0.1 C. 0.14 D. 0.24
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（　　）
A. 有效数据的极差是10 B. 有效数据的平均数是80
C. 有效数据的第80百分位数是86 D. 有效数据的方差是50
10.下列事件中，A，B是相互独立事件的是（　　）
A. 一枚硬币掷两次，A=“第一次为反面朝上”，B=“第二次为正面朝上”
B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，A=“出现点数为偶数”，B=“出现点数为2或3”
D. 掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”
11.已知数列{an}的首项，且满足，则（　　）
A. 数列为等比数列 B.
C. 数列{an}是递增数列 D. 若，则n的最小值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量x,y相关关系最强的是 .
13.{2n+3}与{7n-1}的公共项从小到大构成新数列{an}，则的最小项为 .
14.已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量t～N（μ，σ2），若P（-3.4≤t≤0.6）=0.9755，则σ= .（若x～N（μ，σ2），则有P（μ-σ≤x≤μ+σ）≈68.3%，P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）≈95.4%，P（μ-3σ≤x≤μ+3σ）≈99.7%）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2=2，S5=15.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：.
16.(本小题15分)
某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为.现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复.若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”.
（1）求一个测试样片组为“智能组”的概率；
（2）现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望.
17.(本小题15分)
设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且an+1，，-a1成等差数列.
（1）若a1=1，求{an}的通项公式；
（2）若bn=1-Sn，存在a1，使数列{bn}为等比数列，求{nbn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销后得到一组销售数据（xi，yi）（i=1，2，3，4，5，6），如下表所示：
试销单价x（百元） 1 2 3 4 5 6
产品销量y（件） 47 44 m 37 35 27
（1）求m的值；
（2）已知变量x,y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的回归直线方程（计算结果精确到整数位）；
（3）用表示与xi对应的产品销量的估计值.当销售数据（xi，yi）的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效采集数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数X的分布列和期望.
附：参考公式
参考数据：.
19.(本小题17分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，a1=b1=1，2a3+a6=21，S12=16（b4+1）.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）对任意的正整数n,设，求数列{cn}的前2n项和T2n；
（3）若对于数列{an}，在ak和ak+1之间插入bk+1个1（k∈N*），组成一个新的数列{dn}，求数列{dn}的前2026项和.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】③．
13.【答案】-69
14.【答案】0.8．
15.【答案】an=n；
证明：由 知：数列{an}的通项公式为an=n，可得，
则，
因为n∈N*，可得，所以，
即．
16.【答案】 分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望为2
17.【答案】
18.【答案】m=44 “有效采集数据”个数X的分布列为：
X 0 1 2
P
期望为
19.【答案】 2116
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