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第一章 三角形的证明
1.3 直角三角形
（分层题型专练）
题型一 根据直角三角形的两个锐角互余求角度
1．直角中，，则另一个锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，则 ．
4．在中，，，垂足为，，那么的大小是 ．
题型二 利用直角三角形的两个锐角判断直角三角形
1．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．在中，若，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．在中，，若要使是直角三角形，则可以是 （写出一个即可）．
4．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是 ，这个三角形是 三角形．
题型三 写出原命题的逆命题
1．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
2．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ．
3．请写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ．
4．写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题 ．
14．命题“若，则或．”的逆命题为 ．
题型四 逆定理
1．定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是（ ）
A．对角线互相平分的图形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线不平分的四边形不是平行四边形
D．平行四边形的对角线不一定互相平分
2．定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（ ）
A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等
B．对应角相等的两个三角形全等
C．对应边不相等的两个三角形不全等
D．全等三角形的对应边相等
3．定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是（ ）
A．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．到角两边距离不相等的点不在这个角的角平分线上
C．角平分线上的点到角两边的距离不相等
D．不在角平分线上的点到角两边的距离不相等
4．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ．
题型一 直角三角形的两个锐角互余在求线段长中的应用
1．如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为( )
A．2 B． C．4 D．
2．如图，在中，于，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在等边中，E为的中点，过点E作于点D，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，若，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．如图，在中，，点在的延长线上，于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，垂足分别为点和点，，交于点，已知，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为 ．
8．如图，在中，，，为的平分线．若的长为，则 ．
9．如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为 ．
10．如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，则的周长是 ．
11．如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为 ．
12．如图，在中，，，那么 ．
13．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁的中点．若，则的长为
14．如图，在中， ， ， 于点 ， 若 ，求的长．
题型二 直角三角形的两个锐角互余与其它知识点融合求角度
1．如图，在中，，点在边上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在等腰中，，是的中线，过点作于点，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将一副直角三角尺按图所示的方式摆放，，，，点在边上．若，则的度数为 ．
9．如图，，，垂足分别为，，．若，则 ．
10．如图，在中，，，于点，则= °
11．如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
题型三 综合判断直角三角形
1．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列不能判定是直角三角形的是（ ）
A．
B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足
C．
D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足
4．下列三角形中，一定是直角三角形的有（ ）
①有两个内角互余的三角形
②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形
③三边之比为的三角形
④三个内角的比是的三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 判断命题的真假
1．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．若，则
C．全等三角形的对应角相等
D．两直线平行，同位角相等
2．下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．等边对等角
C．等边三角形是锐角三角形
D．全等三角形对应角相等
3．下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补
C．如果，那么 D．等边对等角
4．写出一个初中数学中的真命题，满足其逆命题也是真命题 ．
5．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假：
(1)如果，那么；
(2)周长相等的三角形的面积相等；
(3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数．
题型五 求角度中的一题多解问题
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B．60 C．或 D．或
2．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于( )
A．或 B． C． D．或
3．等腰三角形的一个内角为，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（ ）．
A． B． C．或 D．或
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
1．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在等腰中，，，点是的中点，点为内一点，，若已知的面积，则一定可以求出（ ）
A．线段的长 B．线段的长
C．的面积 D．的面积
3．如图，在中，，，AF是的平分线，交边BC于点D．过点C作中AD边上的高CE，则的度数为 ．
4．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则= ．
5．如图，在中，，，，．
(1)求的长．
(2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长．第一章 三角形的证明
1.3 直角三角形
（分层题型专练）
题型一 根据直角三角形的两个锐角互余求角度
1．直角中，，则另一个锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了直角三角形两个锐角互余，根据直角三角形两个锐角互余求解即可．
【详解】解：直角中，，
∴另一个锐角的度数为．
故选：B．
2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】解：直角三角形中，一个锐角等于，
另一个锐角的度数．
故选：B．
3．在中，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，在直角三角形中，两个锐角互余，根据，，即可解答．
【详解】解：在中，
∵，，
∴;
故答案为：．
4．在中，，，垂足为，，那么的大小是 ．
【答案】/42度
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，垂足为，
∴，
∴，
故答案为：．
题型二 利用直角三角形的两个锐角判断直角三角形
1．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
设中，，则，由三角形的内角和定理，即可判断三角形的形状．
【详解】解：不妨设中，，则，
又∵，
∴，
∴，
∴ 三角形为直角三角形．
故选：B．
2．在中，若，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．由且可求各角度数，从而判断三角形形状．
【详解】解：，设，
又，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
故选：C．
3．在中，，若要使是直角三角形，则可以是 （写出一个即可）．
【答案】
（或）
【分析】本题考查直角三角形的性质．
由已知可得为直角或为直角，即可得的度数．
【详解】解：在中，，要使是直角三角形，则为直角或为直角，
若为直角，则，
若为直角，即，则，
∴可以是或．
故答案为：（或）．
4．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是 ，这个三角形是 三角形．
【答案】 直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为，
∴第三个角是，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：，直角．
题型三 写出原命题的逆命题
1．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
2．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
【答案】C
【分析】交换题设和结论，即可得到答案．
【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论．
11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键．找出原命题的题设和结论，交换后即可得逆命题．
【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余，
交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
3．请写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ．
【答案】
两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】本题考查了命题与逆命题：判断一件事情的语句，叫做命题．逆命题，把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．根据逆命题的定义回答即可．
【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
4．写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题 ．
【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行
【分析】本题考查了写逆命题．
逆命题是通过交换原命题的条件和结论而得到的新命题．原命题“两直线平行，对顶角相等”是一个条件命题，可以表述为“如果两直线平行，那么对顶角相等”．
【详解】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”，
交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”．
故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行．
14．命题“若，则或．”的逆命题为 ．
【答案】若或，则
【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解题的关键．
【详解】解：命题“若，则或．”的逆命题为“若或，则”，
故答案为：若或，则．
题型四 逆定理
1．定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是（ ）
A．对角线互相平分的图形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线不平分的四边形不是平行四边形
D．平行四边形的对角线不一定互相平分
【答案】B
【分析】本题考查互逆定理．
将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理．
【详解】解：∵“平行四边形的对角线互相平分”的题设为“四边形是平行四边形”，结论为“对角线互相平分”，
∴“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，
∵“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题，
∴定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”．
故选：B．
2．定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（ ）
A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等
B．对应角相等的两个三角形全等
C．对应边不相等的两个三角形不全等
D．全等三角形的对应边相等
【答案】A
【分析】本题考查互逆定理．
将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理．
【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”，
∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题，
∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．
故选：A．
3．定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是（ ）
A．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．到角两边距离不相等的点不在这个角的角平分线上
C．角平分线上的点到角两边的距离不相等
D．不在角平分线上的点到角两边的距离不相等
【答案】A
【分析】本题考查互逆定理．
将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理．
【详解】解：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，
∵“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题，
∴定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，
故选：A．
4．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可．
【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，
故答案为：内错角相等，两直线平行 ．
题型一 直角三角形的两个锐角互余在求线段长中的应用
1．如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，的面积，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：C．
2．如图，在中，于，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据同角的余角相等，可得，进而可得，．
【详解】解： ，
，，
，
，
，
故选：B．
3．如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了含的直角三角形.
先求出，通过含的直角三角形性质得，，最后通过线段和差即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，在等边中，E为的中点，过点E作于点D，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，若，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，直角三角形两锐角互余，先由等边三角形的性质得，结合以及直角三角形的两个锐角互余得，，故，，证明得到，证明可得，据此可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．如图，在中，，点在的延长线上，于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查直角三角形的性质(角互余)、全等三角形的判定与性质，同时涉及对顶角相等、线段的和差计算等基础几何知识，核心是利用全等三角形实现线段的等量转化．先通过直角三角形的角互余关系推出，再利用证明，得到，结合线段的和差进而得到的长度．
【详解】解：∵，
∴。
∴，，
∴
∵在和中，
∴，
∴
∵，
∴．
故选：B．
6．如图，在中，，，垂足分别为点和点，，交于点，已知，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
由，得，证明，得，由即可求出的长．
【详解】解：，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
则．
故选：A．
7．如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，过点D作于点F，利用勾股定理求出的长，可证明，得到，则由三线合一定理得到的长，利用勾股定理可求出的长，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于点F，
∵在中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
8．如图，在中，，，为的平分线．若的长为，则 ．
【答案】22.5
【分析】本题考查了角平分线的定义，含直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
通过角平分线的定义、直角三角形两个锐角互余结合，可得，从而得到，最后通过直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，以及线段的和差关系即可求出的长．
【详解】解：∵在中，，，为的平分线，
，
，
，
，
在中，，,
，
，
故答案为：．
9．如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】解：过点A作交的延长线于点F，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
∵，，
，
，
故答案为：1．
10．如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，则的周长是 ．
【答案】16
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的周长为：．
故答案为：16．
11．如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由直角三角形的性质可得，又平分，所以，则有，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，，
∴，
故答案为：．
12．如图，在中，，，那么 ．
【答案】10
【分析】本题考查等角对等边，勾股定理，斜边上的中线，取的中点，连接，根据平行线的性质，得到，根据斜边上的中线得到，等边对等角，结合三角形的外角得到，进而得到，得到，即可得出结果．
【详解】解：取的中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：10．
13．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁的中点．若，则的长为
【答案】
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算．
【详解】解：，
，
是的中点，
，
故答案为：
14．如图，在中， ， ， 于点 ， 若 ，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
先后利用直角三角形的性质求出和长即可．
【详解】解：
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型二 直角三角形的两个锐角互余与其它知识点融合求角度
1．如图，在中，，点在边上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平角的定义、平行线的性质和直角三角形的性质，掌握这些性质的综合应用是解题的关键．
先利用平角定义求出，再根据平行线内错角相等的性质得到，最后在直角三角形中用两锐角互余求出．
【详解】解：∵与是邻补角，
∴
∵，
∴
在中，，根据两锐角互余：．
故选：C．
2．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得，再结合，则，即．
【详解】 是斜边上的高，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
3．如图，在等腰中，，是的中线，过点作于点，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形两锐角互余的性质及三角形外角性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
根据及直角三角形两锐角互余得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用三角形外角性质即可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，是的中线，
∴，，
∴．
故选：C．
4．在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是，
故选：．
5．如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可．
【详解】解：，是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
故选： B．
6．如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了与三角形相关的线段：角平分线与高，三角形内角和定理等知识，掌握这些基础知识是解题的关键；由对顶角相等及角平分线的定义、三角形的高可得的度数，从而求得，由即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵是的高，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质．先通过角平分线的定义及直角三角形两锐角互余得出的度数，再过点M作交于点E，证明得到，，由M是的中点得出，再证明，得出，，最终经过计算可求得结果．
【详解】解：∵平分，且，
∴，
又∵，
∴，
如图，过点M作交于点E，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵M是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．如图，将一副直角三角尺按图所示的方式摆放，，，，点在边上．若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：过点作．
∵，
∴．
∴．
在等腰直角三角形中，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质和角的和差计算．解题关键是通过作辅助线构造平行线，将分散的角度关系联系起来，从而进行角度求和．
9．如图，，，垂足分别为，，．若，则 ．
【答案】50
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：50．
10．如图，在中，，，于点，则= °
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、直角三角形两锐角互余是解题的关键．
先根据等腰三角形性质求出底角的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形的高与底边垂直是解题关键．
（1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出；
（2）根据，求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，然后利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出．
【详解】（1）解：在中，是高，
，
，
．
答：．
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
平分，
，
．
答：．
题型三 综合判断直角三角形
1．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案．
【详解】解：A、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
B、设，则，，
，
解得，
，，，
不是直角三角形，符合题意；
C、，，
，
解得，
是直角三角形，不符合题意；
D、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
故选B．
2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，根据直角三角形的判定条件，分别验证每个选项是否满足直角三角形条件．
【详解】解：在中，，
A项：∵，，
∴，
∴，
∴，故是直角三角形；
B项：设，，，则，
∴，
∴，，，均不为，故不是直角三角形；
C项：∵，由勾股定理逆定理，，故是直角三角形；
D项：设，，，则，，
∴，故，是直角三角形，
故选：B．
3．下列不能判定是直角三角形的是（ ）
A．
B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足
C．
D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定，
【详解】解：A项：设，，，则，解得，
∴，故是直角三角形；
B项：由，得，
∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形；
C项：∵，且，
∴，，故是直角三角形；
D项：设，，，
∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边，
∴，，，
∴不满足勾股定理，故不是直角三角形，
∴不能判定是直角三角形的是D，
故选：D．
4．下列三角形中，一定是直角三角形的有（ ）
①有两个内角互余的三角形
②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形
③三边之比为的三角形
④三个内角的比是的三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，通过直角三角形的定义和勾股定理的逆定理判断每个选项是否一定是直角三角形．
【详解】解：∵①有两个内角互余，∴第三个角为，∴是直角三角形；
∵②三边长为，，，且（其中m，n为正数，且），∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形；
∵③三边之比为，设三边为，，，则，∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形；
∵④三个内角的比是，设角度为x，，，则 ，解得 ，∴最大角为，∴是直角三角形．
∴①②③④都是直角三角形，共4个，
故选：D．
5．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查判定直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形角特征，勾股定理的逆定理，是解题的关键．
通过计算各选项中的角度或边长关系，判断三角形是否为直角三角形，即得．
【详解】∵三角形内角和为，
A：设，
则，，
∴，
是直角三角形．
B：，
∴，
∴是直角三角形（勾股定理逆定理）．
C：设，则，
∵，
∴，
，
，
，
∴不是直角三角形．
D：设，
则，
∴是直角三角形．
故选：C．
题型四 判断命题的真假
1．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．若，则
C．全等三角形的对应角相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，先写出每个命题的逆命题，再判断命题的真假即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，不符合题意；
、“若，则”的逆命题“若，则”，该逆命题是假命题，不符合题意；
、“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，不符合题意；
“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，该逆命题是真命题，符合题意；
故选：．
2．下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．等边对等角
C．等边三角形是锐角三角形
D．全等三角形对应角相等
【答案】B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，等边三角形的定义，全等三角形的概念等知识点，先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、等腰三角形的判定、三角形全等的判定、等边三角形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题；
B.逆命题：等角对等边，
由等腰三角形的判定可知，此逆命题是真命题；
C.逆命题：如果一个三角形是锐角三角形，则这个三角形是等边三角形，
由等边三角形的定义可知，此逆命题是假命题；
D.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形，
由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题，
故选：B．
3．下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．四边形是多边形 B．两直线平行，同旁内角互补
C．如果，那么 D．等边对等角
【答案】A
【分析】先明确逆命题的构造方法（交换原命题的条件和结论），再依据多边形定义、平行线判定与性质、乘法运算、等腰三角形性质，分别判断各选项原命题逆命题的真假．
【详解】解：A．逆命题为“多边形是四边形”．
∵ 多边形包含三角形、四边形、五边形等多种类型，存在多边形不是四边形，
∴ 该逆命题为假命题．故A项符合题意；
B．逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”．
∵ 这是平行线的判定定理，符合平行线判定规则，
∴ 该逆命题为真命题．故B项不符合题意；
C．逆命题为“如果，那么”．
∵ ，满足乘法运算结果，
∴ 该逆命题为真命题．故C项不符合题意；
D．逆命题为“等角对等边”（等腰三角形中，相等角对相等边 ）．
∵ 这是等腰三角形的判定性质，符合三角形边与角的关系，
∴ 该逆命题为真命题．故D项不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查命题的逆命题构造及真假判断，涉及多边形定义、平行线判定与性质、乘法运算、等腰三角形性质等知识．熟练掌握逆命题“交换原命题条件与结论”的构造方法，以及各知识点的基本性质（如多边形分类、平行线判定定理、乘法运算规则、等腰三角形边角关系 ）是解题关键，需准确写出逆命题并结合对应知识判断真假．
4．写出一个初中数学中的真命题，满足其逆命题也是真命题 ．
【答案】两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查了逆命题与真命题的知识，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题．
根据学过的真命题解答即可．
【详解】解：两直线平行，同位角相等是真命题，它的逆命题为：同位角相等，两直线平行也是真命题．
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
5．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假：
(1)如果，那么；
(2)周长相等的三角形的面积相等；
(3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键．
（1）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可．
（2）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可．
（3）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可．
【详解】（1）解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
原命题是真命题，逆命题是假命题；
（2）解：“周长相等的三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形的周长相等”，
原命题是假命题，逆命题是假命题；
（3）解：“如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数”的逆命题是“如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数”，
原命题是假命题，逆命题也是假命题．
题型五 求角度中的一题多解问题
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B．60 C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：设等腰中，，为边上的高，，．
①当为锐角三角形时，高在内部，如图
∵，
∴，
又∵，
∴．
②当为钝角三角形时，高在外部，如图
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
综上，顶角为或．
故选D．
2．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于( )
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴顶角，
当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
为等腰三角形腰上的高，并且，
同理可得，
∴顶角，
故选：D．
3．等腰三角形的一个内角为，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：设等腰中，，
①如图，当顶角时，
∵，
∴ ，
∵是边上的高，
∴，
∴ ．
②如图，当底角时，
∵是边上的高，
∴，
∴ ．
综上，高与底边的夹角为或．
故选：C．
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：如图，分两种情况：
如图①，，，，
，
；
如图②，，，，
，，
．
故选：D．
1．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵是的外角的平分线，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
设交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．如图，在等腰中，，，点是的中点，点为内一点，，若已知的面积，则一定可以求出（ ）
A．线段的长 B．线段的长
C．的面积 D．的面积
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，直角三角形的判定，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
过点作，交延长线于点，先由同角的余角相等得，再通过三角形内角和定理，等边对等角，证明，则，即可证，则，根据即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴若已知的面积，则一定可以求出线段的长．
故选：B．
3．如图，在中，，，AF是的平分线，交边BC于点D．过点C作中AD边上的高CE，则的度数为 ．
【答案】
【分析】先利用直角三角形的内角和求出的度数，再通过角平分线的定义得到的度数，接着在三角形中求出的邻补角的度数，最后结合高的性质，利用直角三角形的两锐角互余计算出的度数．
【详解】解：在中，，根据直角三角形两锐角互余，得：
，
∵是的平分线，
∴，
∴中，，根据三角形内角和为，得：
，
∵与是对顶角，
∴，
∵是边上的高，
∴，
在中，根据直角三角形两锐角互余，得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义及对顶角的性质，掌握直角三角形两锐角互余，结合角平分线、对顶角的性质推导角度是解题的关键．
4．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则= ．
【答案】或
【分析】本题考查直角三角形的性质及倍角三角形的定义，关键是通过角平分线的性质推导的内角关系，再结合倍角三角形的定义求解的度数．
【详解】解：∵平分，平分，且，
∴．
∵，
∴，
在中，．
又平分，故．
在中，，结合，
可得．
∵为4倍角三角形，且，
∴存在两种情况：
①直角是4倍的一个锐角，即，解得，则．
②一个锐角是4倍的另一个锐角，即，解得，则．
综上，的度数为或．
故答案为：或．
5．如图，在中，，，，．
(1)求的长．
(2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为或2．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，三角形面积与线段比的关系，分类讨论思想，掌握勾股定理及其逆定理，以及分类讨论的方法是解题的关键．
（1）先求出的长度，由得到的长度，再用勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到，最后在中用勾股定理求的长．
（2）分点在线段上和延长线上两种情况，由面积比得到与的比例，求出的长度，再通过角度关系证明，进而得到的长．
【详解】（1）解：，
．
，，
，
是直角三角形，且，
．
在中，．
（2）解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，
，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
，，
；
②当点在线段的延长线上时，如图．
，
，
．
，
．
同理可得，
．
综上所述，的长为或2．

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