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2025-2026 学年第二学期八年级期中测试数学试题（2026.5）
注意事项：本试题共 4 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。
答题前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡规定位置，并同时将考试答案填在答题卡的相应位置上。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一．选择题。（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。请将正确选项涂到答题卡上。）
1.（4分）下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2.（4分）若分式的值为0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
3.（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
4.（4分）若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．2x＞2y D．
5.（4分）在数轴上表示不等式x+5＞1的解集，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6.（4分）将点P（1，4）向上平移4个单位，得到点P的对应点P'的坐标是（　　）
A．（1，0） B．（1，8） C．（5，4） D．（﹣3，4）
7.（4分）如果把中x、y的值都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大10倍 C．扩大20倍 D．缩小为原来的
8.（4分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
9.（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的度数为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
10.（4分）若关于x的分式方程+=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2＞1，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．18 B．16 C．12 D．6
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
11.（4分）分解因式：x2﹣4＝　 　．
12.（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足的条件是 　 　．
13．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　．
（第13题图） （第15题图）
14.（4分）已知x+y＝6，xy＝4，则x2y+xy2的值为　 　．
15．（4分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为 　 　．
解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（6分）分解因式：（1）2x2﹣2； （2）5x2+10x+5．
17.（8分）（1）解不等式3（x﹣1）≤9，并把解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式组的所有整数解．
18.（8分）计算：（1）﹣； （2）+；
19.（8分）先化简，再求值：（1+）÷，请在﹣1，0，1，2当中选出一个合适的数a代入求值．
20.（8分）解方程：（1）=； （2）+2=．
21．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点C1的坐标为 　 　．
（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，点C2的坐标为 　 　．
22．（8分）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．
23．（12分）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
（1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
（2）若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
24.（12分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
25.（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，
（1）若点D为线段BC上一点（不与点B、C重合），如图1，则线段BD与CE的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
（2）若点D为△ABC内一点，BD的延长线与CE交于点F，
①如图2，BD与CE的数量关系和位置关系分别是什么？并请证明你的结论；
②如图3，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
八年级下学期期中数学试卷（答案）
一、选择题
1.B．
2.A．
3.C．
4.A．
5.C．
6.B．
7.B．
8.D．
9.C．
10.B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.（x+2）（x﹣2）．
12．x≠5．
13．．
14.24．
15．3．
三、解答题（本大题共9个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.解：（1）2x2﹣2
＝2（x2﹣1）
＝2（x﹣1）（x+1）；
（2）5x2+10x+5
＝5（x2+2x+1）
＝5（x+1）2．
17．解：（1）3（x﹣1）≤9，
3x﹣3≤9，
3x≤9+3，
3x≤12，
x≤4，
在数轴上表示为：；
（2），
解不等式①，得x≥﹣1，
解不等式②，得x＜4，
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜4，
所以不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，3．
18.解：（1）原式＝
＝
＝1；
（2）+
＝﹣
＝
＝1；
19.解：原式=·
=·
＝，
又∵a≠﹣1、0、1，
∴当a＝2时，
原式＝．
20.解：（1）=，
方程两边都乘x（x﹣3），得3x＝2（x﹣3），
解得：x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x（x﹣3）≠0，
所以x＝﹣6是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣6；
（2）+2=，
方程两边都乘x﹣2，得x﹣3+2（x﹣2）＝﹣3，
解得：x＝，
检验：当x＝时，x﹣2≠0，
所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝．
21．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．点C2的坐标为（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
23．解：（1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是（x+10）元，
依题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝20+10＝30．
答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元．
（2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品（100﹣m）件，
依题意得：20（100﹣m）+30m≤2800，
解得：m≤80．
答：最多购买B型学习用品80件．
24.．解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，
∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，
即a+b+c的值是8．
25．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）①BD⊥CE，
证明：如图2，设AC与BF交于O点，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BFC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE；
②AF∥CD，理由如下：
如图3，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴AG＝AH，
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE，
又∵∠BFE＝90°，
∴∠AFD＝45°，
∵∠BDC＝135°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴AF∥CD．

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